Model Bac 2027 matematică M4 pedagogic

Modelul oficial de subiect pentru Bacalaureat 2027 la matematică M_pedagogic (M4), publicat de Ministerul Educației și Cercetării pe subiecte.edu.ro, rezolvat complet, pas cu pas, după baremul oficial. Găsești enunțul fiecărui item (Subiectul I 1–6, Subiectul II 1–6, Subiectul III 1–6), rezolvarea detaliată, răspunsul final și formulele de care ai nevoie.

Proba E. c), filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Modelul arată structura și nivelul subiectului din 2027: toate subiectele sunt obligatorii, timpul de lucru este de 3 ore, iar punctajul este 3 × 30 de puncte + 10 puncte din oficiu. Subiectul al II-lea este construit în jurul unei legi de compoziție, iar Subiectul al III-lea în jurul unei matrice de ordinul 2. Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare item, apoi deschide rezolvarea.

Subiectul și baremul originale (PDF, în arhiva oficială cu modelele la matematică): Bac_2027_E_c_Matematica_modele.zip (fișierele E_c_matematica_M_pedagogic_2027_var_model.pdf și …_bar_model.pdf), pe pagina Modele de subiecte 2027 — probe scrise.

Cuprins: Subiectul I · Subiectul al II-lea · Subiectul al III-lea · Răspunsuri pe scurt

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · Progresii aritmetice)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice

(a_{n})_{n \geq 1}

, în care

a_{3} = 14

și

a_{4} = 19

Vezi rezolvarea pas cu pas

Rația progresiei: $r = a_{4} - a_{3} = 19 - 14 = 5$ .

Atunci $a_{2} = a_{3} - r = 9$ și $a_{1} = a_{2} - r = 4$ , deci

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 4 + 9 + 14 = 27.$

Răspuns: $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 27$

Formule utile: Progresia aritmetică

Subiectul I.2 (5p · Funcția de gradul I)

Se consideră funcția

f : R \to R

f (x) = 5 x - 6

. Determinați numărul real

a

pentru care punctul

A (a, 4)

aparține graficului funcției

f

Vezi rezolvarea pas cu pas

Punctul $A (a, 4)$ aparține graficului dacă $f (a) = 4$ :

$5 a - 6 = 4 ⟺ 5 a = 10 ⟺ a = 2.$

Răspuns: $a = 2$

Formule utile: Funcția de gradul I

Subiectul I.3 (5p · Ecuație logaritmică)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_{\frac{1}{2}} (x + 1)

= - 2

Vezi rezolvarea pas cu pas

Condiție de existență: $x + 1 > 0$ , adică $x > - 1$ .

Din definiția logaritmului, $\log_{b} y$ $= c$ $⟺ y$ $= b^{c}$ :

$x + 1 = {(\frac{1}{2})}^{- 2} = 2^{2} = 4,$

deci $x = 3$ , care convine ( $3 > - 1$ ).

Răspuns: $x = 3$

Formule utile: Logaritmi, calculator logaritmi

Subiectul I.4 (5p · Procente)

După două scumpiri succesive cu câte

10 %

fiecare, prețul unui obiect este de

484

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două scumpiri.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm cu $x$ prețul inițial (în lei). După prima scumpire prețul este

$x + \frac{10}{100} \cdot x = \frac{11 x}{10} .$

A doua scumpire se aplică noului preț:

$\frac{11 x}{10} + \frac{10}{100} \cdot \frac{11 x}{10} = \frac{11 x}{10} \cdot \frac{11}{10} = \frac{121 x}{100} .$

Din $\frac{121 x}{100}$ $= 484$ obținem $x$ $= \frac{484 \cdot 100}{121}$ $= 400$ .

Verificare: $400 \to 440 \to 484$ .

Răspuns: Prețul inițial a fost $400$ de lei.

Formule utile: Procente, calculator procente

Subiectul I.5 (5p · Ecuația dreptei)

În reperul cartezian

x O y

se consideră punctul

A (- 1, 3)

și dreapta

d

de ecuație

y = x + 3

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

A

și este paralelă cu dreapta

d

Vezi rezolvarea pas cu pas

Panta dreptei $d$ este coeficientul lui $x$ : $m = 1$ . Dreptele paralele au aceeași pantă.

Ecuația dreptei care trece prin $A (x_{A}, y_{A})$ și are panta $m$ este $y - y_{A} = m (x - x_{A})$ :

$y - 3 = 1 \cdot (x - (- 1)) ⟺ y = x + 4.$

Răspuns: $y = x + 4$

Formule utile: Panta unei drepte, Drepte paralele, calculator ecuația dreptei

Subiectul I.6 (5p · Triunghiul dreptunghic)

Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

B C = 2 \sqrt{10}

și

tg C

= \frac{1}{3}

. Arătați că aria triunghiului

A B C

este egală cu

6

Vezi rezolvarea pas cu pas

În triunghiul dreptunghic în $A$ , $tg C$ $= \frac{A B}{A C}$ (cateta opusă supra cateta alăturată), deci $\frac{1}{3}$ $= \frac{A B}{A C}$ și $A C = 3 A B$ .

Din teorema lui Pitagora:

$A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} ⟺ A B^{2} + 9 A B^{2} = 40 ⟺ A B^{2} = 4,$

deci $A B = 2$ și $A C = 6$ . Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$A_{A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{2 \cdot 6}{2} = 6.$

Răspuns: $A_{A B C}$ $= 6$

Formule utile: Triunghiul dreptunghic, Teorema lui Pitagora, Aria triunghiului

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y + 6 x + 6 y + 30$ .

Subiectul II.1 (5p · Lege de compoziție)

Arătați că

(- 1) * 2 = 34

Vezi rezolvarea pas cu pas

$(- 1) * 2 = (- 1) \cdot 2 + 6 \cdot (- 1) + 6 \cdot 2 + 30 = - 2 - 6 + 12 + 30 = 34.$

Răspuns: $(- 1) * 2 = 34$

Formule utile: Legi de compoziție

Subiectul II.2 (5p · Ecuație cu lege de compoziție)

Determinați numărul real

x

pentru care

x * (- 3) = 0

Vezi rezolvarea pas cu pas

$x * (- 3) = - 3 x + 6 x - 18 + 30 = 3 x + 12.$

Ecuația devine $3 x + 12 = 0$ , de unde $x = - 4$ .

Răspuns: $x = - 4$

Formule utile: Legi de compoziție

Subiectul II.3 (5p · Element neutru)

Arătați că

e = - 5

este elementul neutru al legii de compoziție „

*

”.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Trebuie să arătăm că $x * (- 5) = (- 5) * x = x$ pentru orice număr real $x$ .

$x * (- 5) = - 5 x + 6 x - 30 + 30 = x,$

$(- 5) * x = - 5 x - 30 + 6 x + 30 = x,$

pentru orice număr real $x$ , deci $e = - 5$ este elementul neutru al legii „ $*$ ”.

Răspuns: $x * (- 5) = (- 5) * x = x$ pentru orice $x$ real, deci $e = - 5$ .

Formule utile: Legi de compoziție (element neutru)

Subiectul II.4 (5p · Forma factorizată a legii)

Determinați numărul real

a

pentru care

x * y = (x + 6) (y + 6) + a

, pentru orice numere reale

x

și

y

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scriem $30 = 36 - 6$ și grupăm termenii:

$x * y = x y + 6 x + 6 y + 36 - 6 = x (y + 6) + 6 (y + 6) - 6 = (x + 6) (y + 6) - 6.$

Din $(x + 6) (y + 6) + a$ $= (x + 6) (y + 6) - 6$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ , obținem $a = - 6$ .

Răspuns: $a = - 6$

Formule utile: Legi de compoziție

Subiectul II.5 (5p · Inecuație de gradul al II-lea)

Determinați mulțimea numerelor reale

x

pentru care

x * (x - 5) \leq x

Vezi rezolvarea pas cu pas

Folosind forma de la itemul 4:

$x * (x - 5) = (x + 6) (x + 1) - 6 = x^{2} + 7 x + 6 - 6 = x^{2} + 7 x .$

Inecuația devine $x^{2} + 7 x$ $\leq x$ $⟺ x^{2} + 6 x$ $\leq 0$ $⟺ x (x + 6)$ $\leq 0$ .

Rădăcinile trinomului sunt $- 6$ și $0$ ; trinomul (cu coeficientul lui $x^{2}$ pozitiv) este negativ sau zero între rădăcini, deci $x \in [- 6, 0]$ .

Răspuns: $x \in [- 6, 0]$

Formule utile: Inecuații de gradul al II-lea, Legi de compoziție

Subiectul II.6 (5p · Divizibilitate și paritate)

Determinați numerele naturale nenule

n

pentru care

N = n * \frac{2}{n}

este număr natural impar.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Calculăm:

$N = n \cdot \frac{2}{n} + 6 n + 6 \cdot \frac{2}{n} + 30 = 2 + 6 n + \frac{12}{n} + 30 = 32 + 6 n + \frac{12}{n} .$

Scriem $N$ $= 2 (16 + 3 n) + \frac{12}{n}$ . Primul termen este un număr natural par, deci $N$ este număr natural impar dacă și numai dacă $\frac{12}{n}$ este număr natural impar.

$\frac{12}{n}$ este natural pentru $n \in {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ , cu valorile $12, 6, 4, 3, 2, 1$ ; dintre acestea sunt impare doar $3$ (pentru $n = 4$ ) și $1$ (pentru $n = 12$ ).

Verificare: $n$ $= 4$ $\Rightarrow N$ $= 32 + 24 + 3$ $= 59$ ; $n$ $= 12$ $\Rightarrow N$ $= 32 + 72 + 1$ $= 105$ , ambele impare.

Răspuns: $n = 4$ și $n = 12$

Formule utile: Legi de compoziție, Fracții

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea $A (a)$ $= (\begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix})$ , unde $a$ este număr real.

Subiectul III.1 (5p · Determinanți)

Arătați că

det (A (3))

= 18

Vezi rezolvarea pas cu pas

$A (3)$ $= (\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 6 & 0 \end{matrix})$ , deci

$det (A (3)) = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 6 & 0 \end{matrix} | = 1 \cdot 0 - (- 3) \cdot 6 = 0 + 18 = 18.$

Răspuns: $det (A (3))$ $= 18$

Formule utile: Determinanți, calculator determinant

Subiectul III.2 (5p · Operații cu matrice)

Determinați numărul real

a

pentru care

A (- 3) + 2 A (3) = 3 A (a)

Vezi rezolvarea pas cu pas

$A (- 3) + 2 A (3) = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 6 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 & - 6 \\ 12 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 6 & 0 \end{matrix}) = 3 (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) = 3 A (1) .$

Din $3 A (1) = 3 A (a)$ obținem $A (a) = A (1)$ , adică $- a = - 1$ și $2 a = 2$ , deci $a = 1$ .

Răspuns: $a = 1$

Formule utile: Matrice și determinanți

Subiectul III.3 (5p · Matrice inversabilă)

Arătați că matricea

A (a)

este inversabilă, pentru orice număr real nenul

a

Vezi rezolvarea pas cu pas

$det (A (a)) = | \begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix} | = 1 \cdot 0 - (- a) \cdot 2 a = 2 a^{2} .$

Pentru orice număr real nenul $a$ , $2 a^{2} \neq 0$ , deci $det (A (a))$ $\neq 0$ și matricea $A (a)$ este inversabilă.

Răspuns: $det (A (a))$ $= 2 a^{2}$ $\neq 0$ pentru $a \neq 0$ , deci $A (a)$ este inversabilă.

Formule utile: Matrice inversabilă

Subiectul III.4 (5p · Ecuație matriceală)

Calculați

det X

, unde

X \in M_{2} (R)

, astfel încât

X + A (1) = A (5) - X

Vezi rezolvarea pas cu pas

Din $X + A (1) = A (5) - X$ obținem $2 X = A (5) - A (1)$ , deci $X$ $= \frac{1}{2} (A (5) - A (1))$ .

$A (5) - A (1) = (\begin{matrix} 1 & - 5 \\ 10 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 4 \\ 8 & 0 \end{matrix}), X = (\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 4 & 0 \end{matrix}) .$

$det X = 0 \cdot 0 - (- 2) \cdot 4 = 8.$

Răspuns: $det X = 8$

Formule utile: Determinanți

Subiectul III.5 (5p · Produs de matrice)

Demonstrați că, dacă

a

b

și

c

sunt numere reale astfel încât

A (0) \cdot A (a) + A (b) \cdot A (0)

= 2 A (c)

, atunci

a = b = 2 c

Vezi rezolvarea pas cu pas

$A (0)$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ . Calculăm produsele (linie × coloană):

$A (0) \cdot A (a) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - a \\ 0 & 0 \end{matrix}),$

$A (b) \cdot A (0) = (\begin{matrix} 1 & - b \\ 2 b & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 b & 0 \end{matrix}) .$

Suma lor este $(\begin{matrix} 2 & - a \\ 2 b & 0 \end{matrix})$ , iar $2 A (c)$ $= (\begin{matrix} 2 & - 2 c \\ 4 c & 0 \end{matrix})$ .

Egalând elementele: $- a = - 2 c$ și $2 b = 4 c$ , deci $a = 2 c$ și $b = 2 c$ , adică $a = b = 2 c$ .

Răspuns: $a = b = 2 c$

Formule utile: Matrice (înmulțirea matricelor)

Subiectul III.6 (5p · Inversa unei matrice)

Determinați numerele reale nenule

a

pentru care

A (a) + (A (a))^{- 1}

= I_{2}

, unde

(A (a))^{- 1}

este inversa matricei

A (a)

și

I_{2}

= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pentru $a \neq 0$ , $A (a)$ este inversabilă (itemul 3). Înmulțim egalitatea la stânga cu $A (a)$ și folosim $A (a) \cdot (A (a))^{- 1}$ $= I_{2}$ :

$A (a) \cdot A (a) + I_{2} = A (a) .$

$A (a) \cdot A (a) = (\begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 - 2 a^{2} & - a \\ 2 a & - 2 a^{2} \end{matrix}),$

deci

$(\begin{matrix} 2 - 2 a^{2} & - a \\ 2 a & 1 - 2 a^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - a \\ 2 a & 0 \end{matrix}) .$

Obținem $2 - 2 a^{2} = 1$ și $1 - 2 a^{2} = 0$ , adică $a^{2} = \frac{1}{2}$ , deci $a$ $= - \frac{\sqrt{2}}{2}$ sau $a$ $= \frac{\sqrt{2}}{2}$ , care convin (sunt nenule).

Răspuns: $a \in {- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Formule utile: Matrice inversabilă, calculator matrice inversă

Răspunsuri pe scurt — model Bac 2027 M4

Item	Rezultat
I.1	$r = 5$ , suma $= 27$
I.2	$a = 2$
I.3	$x = 3$
I.4	400 de lei
I.5	$y = x + 4$
I.6	$A B = 2$ , $A C = 6$ , aria $= 6$
II.1–II.3	34; $x = - 4$ ; $e = - 5$
II.4–II.6	$a = - 6$ ; $x \in [- 6, 0]$ ; $n \in {4, 12}$
III.1–III.3	18; $a = 1$ ; $det A (a) = 2 a^{2}$
III.4–III.6	$det X = 8$ ; $a = b = 2 c$ ; $a$ $= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Întrebări frecvente

Unde găsesc modelul oficial de subiect la matematică M4 pentru Bac 2027? Pe subiecte.edu.ro, la Bacalaureat 2027 — Modele de subiecte — Probe scrise: arhiva cu modelele la matematică conține subiectul și baremul pentru M_pedagogic, alături de M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic.

Ce capitole apar în modelul de Bac 2027 M4? Subiectul I: progresii aritmetice, funcția de gradul I, o ecuație logaritmică, procente (scumpiri succesive), ecuația unei drepte paralele și triunghiul dreptunghic. Subiectul II: o lege de compoziție (element neutru, forma factorizată, o inecuație, paritate). Subiectul III: o matrice de ordinul 2 (determinant, matrice inversabilă, ecuații matriceale, inversa).

Modelul de subiect este același cu subiectul din iunie 2027? Nu. Modelul arată structura, tipul itemilor și nivelul de dificultate; subiectele din sesiuni sunt variante noi, construite după aceeași programă și același format.

Cum se calculează nota la proba de matematică? Se adună punctele obținute la cele trei subiecte (maximum 90) cu 10 puncte din oficiu, iar totalul se împarte la 10.

Alte subiecte de Bacalaureat rezolvate

Recapitulează înainte de examen cu formulele de Bacalaureat la matematică (memorator pe capitole) și verifică-ți calculele cu calculatorul de determinanți și matrice inversă sau calculatorul de procente. Media finală o poți estima cu calculatorul de medie la Bacalaureat.

← Toate subiectele de Bacalaureat rezolvate (M1, M2, M3, M4)

Model de subiect și barem oficiale © Ministerul Educației și Cercetării / Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, preluate de pe subiecte.edu.ro. Rezolvările și explicațiile: Matepenet.ro.

Model Bac 2027 matematică M4 (pedagogic) — subiect și rezolvare completă

Subiectul I (30 de puncte)

Subiectul I.1 (5p · Progresii aritmetice)

Subiectul I.2 (5p · Funcția de gradul I)

Subiectul I.3 (5p · Ecuație logaritmică)

Subiectul I.4 (5p · Procente)

Subiectul I.5 (5p · Ecuația dreptei)

Subiectul I.6 (5p · Triunghiul dreptunghic)

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Subiectul II.1 (5p · Lege de compoziție)

Subiectul II.2 (5p · Ecuație cu lege de compoziție)

Subiectul II.3 (5p · Element neutru)

Subiectul II.4 (5p · Forma factorizată a legii)

Subiectul II.5 (5p · Inecuație de gradul al II-lea)

Subiectul II.6 (5p · Divizibilitate și paritate)

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Subiectul III.1 (5p · Determinanți)

Subiectul III.2 (5p · Operații cu matrice)

Subiectul III.3 (5p · Matrice inversabilă)

Subiectul III.4 (5p · Ecuație matriceală)

Subiectul III.5 (5p · Produs de matrice)

Subiectul III.6 (5p · Inversa unei matrice)

Răspunsuri pe scurt — model Bac 2027 M4

Întrebări frecvente

Alte subiecte de Bacalaureat rezolvate

Formule conexe