Bisectoarea unghiului. Bisectoarele triunghiului și centrul cercului înscris — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este bisectoarea unui unghi, de ce orice punct de pe ea este la aceeași distanță de laturile unghiului și de ce cele trei bisectoare ale unui triunghi trec prin același punct $I$, centrul cercului înscris. Proprietățile acestea apar des la Evaluarea Națională, la Subiectul al II-lea (unghiuri, bisectoare și paralele) și în demonstrațiile de la Subiectul al III-lea. Pe scurt, toate liniile importante sunt în toate liniile importante pe scurt.

Teorie

1. Bisectoarea unui unghi

Definiție. Bisectoarea unghiului $AOB$ este semidreapta $[OC$, cu $C$ în interiorul unghiului, care formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente: $\mathrm{\angle }AOC\equiv \mathrm{\angle }COB$. Deci

$$m(\mathrm{\angle }AOC)=m(\mathrm{\angle }COB)=\frac{m(\mathrm{\angle }AOB)}{2}.$$

Construcție. Cu raportorul: măsori unghiul, împarți la 2 și marchezi semidreapta. Cu rigla și compasul: cu vârful compasului în $O$ trasezi un arc care taie laturile în $M$ și $N$; din $M$ și din $N$, cu aceeași deschidere, trasezi două arce care se taie în $P$, în interiorul unghiului. Semidreapta $[OP$ este bisectoarea. De ce? Triunghiurile $OMP$ și $ONP$ au $OM=ON$, $MP=NP$ și latura $OP$ comună, deci sunt congruente (LLL), de unde $\mathrm{\angle }MOP\equiv \mathrm{\angle }NOP$.

Proprietăți utile (clasa a VI-a, capitolul „Noțiuni geometrice fundamentale”):

• Bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare (figura de mai jos): dacă $m(\mathrm{\angle }AOC)=2x$ și $m(\mathrm{\angle }COB)=2y$, atunci $2x+2y={180}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }MON)=x+y={90}^{\circ }$.
• Bisectoarele a două unghiuri adiacente complementare formează un unghi de ${45}^{\circ }$ (din $2x+2y={90}^{\circ }$).
• Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt semidrepte opuse (sunt în prelungire, formează un unghi de ${180}^{\circ }$).

2. Proprietatea punctelor de pe bisectoare

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din punct pe dreaptă (vezi distanța de la un punct la o dreaptă).

Teoremă. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Reciproca. Orice punct din interiorul unui unghi, egal depărtat de laturile unghiului, se află pe bisectoarea acestuia.

Demonstrație (după ce ai învățat congruența triunghiurilor dreptunghice). Fie $P$ pe bisectoarea unghiului $AOB$, $PE\perp OA$, $PF\perp OB$. Triunghiurile dreptunghice $OEP$ și $OFP$ au ipotenuza $OP$ comună și $\mathrm{\angle }EOP\equiv \mathrm{\angle }FOP$, deci sunt congruente (cazul IU). Rezultă $PE=PF$ și, în plus, $OE=OF$.
Reciproc, dacă $PE=PF$, triunghiurile dreptunghice $OEP$ și $OFP$ au ipotenuza $OP$ comună și catetele $PE$, $PF$ congruente, deci sunt congruente (cazul IC); rezultă $\mathrm{\angle }EOP\equiv \mathrm{\angle }FOP$, adică $[OP$ este bisectoare.

Altfel spus: bisectoarea unui unghi este mulțimea punctelor din interiorul unghiului (plus vârful) egal depărtate de laturile lui.

3. Bisectoarele triunghiului

Bisectoarea unui triunghi este segmentul determinat de un vârf și de punctul în care bisectoarea unghiului din acel vârf intersectează latura opusă. În triunghiul $ABC$ din figură, $[AD]$, $[BE]$, $[CF]$ sunt bisectoarele triunghiului. Orice triunghi are trei bisectoare, iar ele sunt mereu în interiorul triunghiului.

Teoremă (concurența bisectoarelor). Bisectoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează $I$; el este egal depărtat de cele trei laturi ale triunghiului.

În manual, la începutul capitolului, concurența se enunță fără demonstrație (așa cere programa clasei a VI-a). După ce înveți metoda triunghiurilor congruente, o poți demonstra cu proprietatea de mai sus:

1. Bisectoarele din $B$ și din $C$ se intersectează într-un punct $I$, aflat în interiorul triunghiului.
2. $I$ este pe bisectoarea unghiului $B$, deci $d(I,AB)=d(I,BC)$.
3. $I$ este pe bisectoarea unghiului $C$, deci $d(I,BC)=d(I,AC)$.
4. Rezultă $d(I,AB)=d(I,AC)$. Cum $I$ este în interiorul unghiului $A$, din reciprocă $I$ este pe bisectoarea unghiului $A$. Deci toate cele trei bisectoare trec prin $I$.

4. Cercul înscris în triunghi

Notăm cu $r$ distanța comună de la $I$ la laturi. Cercul cu centrul $I$ și raza $r$ are, cu fiecare latură, un singur punct comun (piciorul perpendicularei din $I$), pentru că distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza — dreapta este tangentă la cerc (vezi pozițiile unei drepte față de un cerc). Acest cerc se numește cercul înscris în triunghi, iar $I$ este centrul cercului înscris.

• $I$ este întotdeauna în interiorul triunghiului, indiferent dacă triunghiul este ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic (spre deosebire de centrul cercului circumscris și de ortocentru).
• Unghiul sub care se vede latura $BC$ din $I$: în triunghiul $BIC$, $m(\mathrm{\angle }IBC)+m(\mathrm{\angle }ICB)=\frac{m(\mathrm{\angle }B)+m(\mathrm{\angle }C)}{2}=\frac{{180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }A)}{2}$, deci $$m(\mathrm{\angle }BIC)={90}^{\circ }+\frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}.$$ Unghiul $BIC$ este mereu obtuz.

5. Bisectoarea în triunghiul isoscel și în cel echilateral

• În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, bisectoarea din vârful $A$ este și mediană, și înălțime, și se află pe mediatoarea bazei. De ce? Dacă $[AD]$ este bisectoare, triunghiurile $ABD$ și $ACD$ au $AB=AC$, $\mathrm{\angle }BAD\equiv \mathrm{\angle }CAD$, $AD$ comună, deci sunt congruente (LUL): $BD=DC$ și $\mathrm{\angle }ADB\equiv \mathrm{\angle }ADC$; două unghiuri congruente și suplementare au câte ${90}^{\circ }$.
• Reciproc, dacă într-un triunghi bisectoarea dintr-un vârf este și înălțime (sau și mediană), triunghiul este isoscel.
• În triunghiul echilateral fiecare bisectoare este și mediană, înălțime și mediatoare; centrul cercului înscris coincide cu centrul cercului circumscris, cu centrul de greutate și cu ortocentrul.

Rezumat: centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris

De reținut

• Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare cu jumătate din măsura lui.
• Punct pe bisectoare ⇔ egal depărtat de laturile unghiului (distanțe măsurate pe perpendiculare).
• Bisectoarele triunghiului sunt concurente în $I$, centrul cercului înscris, mereu în interiorul triunghiului.
• $m(\mathrm{\angle }BIC)={90}^{\circ }+\frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}$.
• În triunghiul isoscel, bisectoarea unghiului din vârf este și mediană, și înălțime.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente suplementare, iar $m(\mathrm{\angle }AOC)={64}^{\circ }$. Semidreptele $[OM$ și $[ON$ sunt bisectoarele unghiurilor $AOC$, respectiv $COB$. Află $m(\mathrm{\angle }MOC)$, $m(\mathrm{\angle }CON)$ și $m(\mathrm{\angle }MON)$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }COB)={180}^{\circ }-{64}^{\circ }={116}^{\circ }$.
2. $m(\mathrm{\angle }MOC)={64}^{\circ }:2={32}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }CON)={116}^{\circ }:2={58}^{\circ }$.
3. $m(\mathrm{\angle }MON)={32}^{\circ }+{58}^{\circ }={90}^{\circ }$, așa cum spune proprietatea bisectoarelor unghiurilor adiacente suplementare.

Răspuns: ${32}^{\circ }$, ${58}^{\circ }$, ${90}^{\circ }$

Exemplul 2. Punctul $P$ se află pe bisectoarea unghiului $AOB$. Fie $E$ și $F$ picioarele perpendicularelor din $P$ pe $OA$, respectiv $OB$. Știind că $PE=7$ cm și $OE=24$ cm, află $PF$, $OF$ și perimetrul patrulaterului $OEPF$.

Vezi rezolvarea

1. $P$ este pe bisectoare, deci este egal depărtat de laturi: $PF=PE=7$ cm.
2. Triunghiurile $OEP$ și $OFP$ sunt congruente (IU: ipotenuza $OP$ comună, $\mathrm{\angle }EOP\equiv \mathrm{\angle }FOP$), deci $OF=OE=24$ cm.
3. $P_{OEPF}=OE+EP+PF+FO=24+7+7+24=62$ cm.

Răspuns: $PF=7$ cm, $OF=24$ cm, perimetrul 62 cm

Exemplul 3. În triunghiul $ABC$, $m(\mathrm{\angle }A)={80}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$, iar bisectoarele se intersectează în $I$. Află $m(\mathrm{\angle }BIC)$, $m(\mathrm{\angle }AIB)$ și $m(\mathrm{\angle }AIC)$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{60}^{\circ }={40}^{\circ }$. Jumătățile unghiurilor: ${40}^{\circ }$, ${30}^{\circ }$, ${20}^{\circ }$.
2. În triunghiul $BIC$: $m(\mathrm{\angle }BIC)={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{20}^{\circ }={130}^{\circ }$ (verificare: ${90}^{\circ }+{80}^{\circ }:2={130}^{\circ }$).
3. În triunghiul $AIB$: $m(\mathrm{\angle }AIB)={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{30}^{\circ }={110}^{\circ }$.
4. În triunghiul $AIC$: $m(\mathrm{\angle }AIC)={180}^{\circ }-{40}^{\circ }-{20}^{\circ }={120}^{\circ }$.
5. Verificare: cele trei unghiuri din jurul lui $I$ au suma ${130}^{\circ }+{110}^{\circ }+{120}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }BIC)={130}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AIB)={110}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AIC)={120}^{\circ }$

Exemplul 4. Bisectoarele unghiurilor $B$ și $C$ ale triunghiului $ABC$ se intersectează în $I$, iar $m(\mathrm{\angle }BIC)={125}^{\circ }$. Știind că $m(\mathrm{\angle }B)-m(\mathrm{\angle }C)={20}^{\circ }$, află măsurile unghiurilor triunghiului.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiul $BIC$: $\frac{m(\mathrm{\angle }B)}{2}+\frac{m(\mathrm{\angle }C)}{2}={180}^{\circ }-{125}^{\circ }={55}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }B)+m(\mathrm{\angle }C)={110}^{\circ }$.
2. $m(\mathrm{\angle }A)={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$.
3. Suma 110° și diferența 20°: $m(\mathrm{\angle }B)=({110}^{\circ }+{20}^{\circ }):2={65}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }C)={65}^{\circ }-{20}^{\circ }={45}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }A)={70}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }B)={65}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }C)={45}^{\circ }$

Exemplul 5 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\mathrm{\angle }C)={30}^{\circ }$. Bisectoarea unghiului $B$ intersectează latura $AC$ în $D$, iar $E$ este piciorul perpendicularei din $D$ pe $BC$. Știind că $AD=4$ cm:
a) arată că $DE=4$ cm și că triunghiul $DBC$ este isoscel;
b) calculează lungimile segmentelor $DC$ și $AC$.

Vezi rezolvarea

1. a) $DA\perp AB$ (unghiul $A$ este drept) și $DE\perp BC$, deci $DA$ și $DE$ sunt distanțele de la $D$ la laturile unghiului $B$. $D$ este pe bisectoare, deci $DE=DA=4$ cm.
2. $m(\mathrm{\angle }B)={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }DBC)={30}^{\circ }=m(\mathrm{\angle }C)$: triunghiul $DBC$ are două unghiuri congruente, deci este isoscel, cu $DB=DC$.
3. b) În triunghiul $DEC$, dreptunghic în $E$, cateta $DE$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuză: $DC=2\cdot DE=8$ cm.
4. $AC=AD+DC=4+8=12$ cm.

Răspuns: $DC=8$ cm, $AC=12$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul $ABC$ are $AB=8$ cm, $BC=10$ cm și $AC=12$ cm, iar $I$ este punctul de intersecție a bisectoarelor. Fie $D,E,F$ picioarele perpendicularelor din $I$ pe $AB$, $BC$, respectiv $CA$ (punctele în care cercul înscris atinge laturile).
a) Demonstrează că $BD=BE$.
b) Calculează $BD$, $CE$ și $AF$.

Vezi rezolvarea

1. a) Triunghiurile $BDI$ și $BEI$ sunt dreptunghice (în $D$, respectiv $E$), au ipotenuza $BI$ comună și $\mathrm{\angle }DBI\equiv \mathrm{\angle }EBI$ ($BI$ bisectoare). Din cazul IU sunt congruente, deci $BD=BE$.
2. La fel, $CE=CF$ și $AF=AD$. Notăm $BD=BE=x$, $CE=CF=y$, $AF=AD=z$.
3. b) Din laturi: $x+y=10$, $y+z=12$, $z+x=8$. Adunând: $2(x+y+z)=30$, deci $x+y+z=15$ (semiperimetrul).
4. $x=15-12=3$, $y=15-8=7$, $z=15-10=5$.
5. Verificare: $BC=3+7=10$, $CA=7+5=12$, $AB=5+3=8$.

Răspuns: $BD=3$ cm, $CE=7$ cm, $AF=5$ cm

Greșeli frecvente

• Confunzi bisectoarea cu mediana: bisectoarea din $A$ împarte unghiul $A$ în două; în general nu trece prin mijlocul laturii $BC$. Coincid doar dacă $AB=AC$.
• Măsori distanța pe o oblică: distanța de la un punct de pe bisectoare la o latură se ia pe perpendiculara pe latură, nu pe un segment oarecare spre latură.
• Spui că $I$ este egal depărtat de vârfuri: $I$ este egal depărtat de laturi; punctul egal depărtat de vârfuri este $O$, centrul cercului circumscris, obținut din mediatoare.
• Scrii $m(\mathrm{\angle }BIC)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }A)$ sau ${90}^{\circ }-\frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}$: corect este ${90}^{\circ }+\frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}$; pentru $m(\mathrm{\angle }A)={60}^{\circ }$ obții ${120}^{\circ }$. Dacă nu ești sigur, refă calculul în triunghiul $BIC$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a (are exerciții cu bisectoare și mediatoare) și fișă de lucru: unghiuri, clasa a 6-a (bisectoarea unui unghi); exerciții rezolvate: unghiuri, clasa a 6-a.
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2024, Subiectul al II-lea, itemul 9 (bisectoarele din $B$ și $C$ și paralela prin $I$ la $BC$: triunghiuri isoscele, rezolvat aici) și EN 2021, Subiectul al II-lea, itemul 8 (bisectoarea unui unghi din două unghiuri adiacente suplementare, rezolvat aici).
• Evaluarea Națională clasa a VI-a 2022, itemul 7 (punct pe bisectoare, paralele și unghiul de ${30}^{\circ }$, rezolvat aici).
• Celelalte linii importante: mediatoarea segmentului și cercul circumscris, înălțimea triunghiului și ortocentrul, mediana triunghiului și centrul de greutate, apoi în clasa a VII-a linia mijlocie în triunghi. Demonstrații cu bisectoare: metoda triunghiurilor congruente.

Întrebări frecvente

Ce este bisectoarea unui unghi? Este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul lui, care împarte unghiul în două unghiuri congruente. Orice punct al ei este egal depărtat de laturile unghiului.

Unde se intersectează bisectoarele unui triunghi? Într-un singur punct $I$, aflat mereu în interiorul triunghiului și egal depărtat de cele trei laturi. El este centrul cercului înscris în triunghi.

Cum se demonstrează că bisectoarele unui triunghi sunt concurente? Bisectoarele din $B$ și $C$ se taie în $I$. Ca punct de pe ambele, $I$ este egal depărtat de $AB$ și $BC$, respectiv de $BC$ și $CA$, deci de $AB$ și $CA$; din reciproca proprietății, $I$ este și pe bisectoarea unghiului $A$.