Tangentele dintr-un punct exterior la cerc — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți că tangenta la cerc este perpendiculară pe rază în punctul de tangență și că, dintr-un punct exterior, cele două tangente la cerc au segmentele egale. Cu aceste două proprietăți rezolvi problemele cu tangente de la Evaluarea Națională și calculezi segmentele determinate de cercul înscris într-un triunghi.

Teorie

Pozițiile unei drepte față de un cerc (recapitulare din clasa a VI-a)

Fie $d$ distanța de la centrul $O$ la dreaptă și $r$ raza cercului:

Distanța	Puncte comune	Dreapta este
$d<r$	două	secantă
$d=r$	unul (punctul de tangență)	tangentă
$d>r$	niciunul	exterioară cercului

Tangenta este perpendiculară pe rază

Tangenta într-un punct $T$ al cercului este perpendiculară pe raza $OT$. Reciproc, dreapta perpendiculară pe o rază în capătul ei de pe cerc este tangentă la cerc.

De ce? Toate punctele tangentei, în afară de $T$, sunt în exteriorul cercului, deci se află la o distanță mai mare decât $r$ de $O$. Așadar $OT$ este cel mai scurt segment dintre $O$ și un punct al dreptei, adică perpendiculara din $O$ pe tangentă (orice oblică este mai lungă decât perpendiculara).

Tangentele dintr-un punct exterior

Dintr-un punct $P$ exterior cercului se pot duce exact două tangente la cerc, $PA$ și $PB$ ($A,B$ sunt punctele de tangență). Atunci:

• segmentele tangente sunt congruente: $PA=PB$;
• $PO$ este bisectoarea unghiului $APB$ și a unghiului $AOB$;
• $PO$ este mediatoarea coardei $[AB]$: $PO\perp AB$ și $AM=MB$;
• $m(\mathrm{\angle }APB)+m(\mathrm{\angle }AOB)={180}^{\circ }$, deci arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }APB)$.

De ce? $OA\perp PA$ și $OB\perp PB$, deci triunghiurile $OAP$ și $OBP$ sunt dreptunghice. Ele au ipotenuza comună $[OP]$ și catetele $OA=OB$ (raze), deci sunt congruente (cazul IC). Rezultă $PA=PB$, $\mathrm{\angle }APO\equiv \mathrm{\angle }BPO$ și $\mathrm{\angle }AOP\equiv \mathrm{\angle }BOP$. Punctele $P$ și $O$ sunt fiecare egal depărtate de $A$ și de $B$, deci ambele sunt pe mediatoarea lui $[AB]$: dreapta $PO$ este chiar această mediatoare. În patrulaterul $OAPB$, suma unghiurilor este ${360}^{\circ }$ și două unghiuri sunt drepte, deci celelalte două au împreună ${180}^{\circ }$.

Construcție. Pentru a desena tangentele din $P$, iei mijlocul $K$ al segmentului $[OP]$ și trasezi cercul de centru $K$ și rază $KO$. El taie cercul dat în $A$ și $B$. Unghiul $OAP$ este înscris în semicercul de diametru $[OP]$, deci este drept: $PA$ este tangentă.

De reținut

• Tangentă ⊥ rază în punctul de tangență (apare un unghi drept!).
• Din punct exterior: $PA=PB$, $PO$ bisectoare, $PO\perp AB$.
• $m(\mathrm{\angle }APB)+m(\mathrm{\angle }AOB)={180}^{\circ }$.
• Tangentele în capetele unui diametru sunt paralele (ambele sunt perpendiculare pe diametru).
• Cercul înscris în triunghi este tangent laturilor: din fiecare vârf, cele două segmente tangente sunt egale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Din punctul $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la cercul de centru $O$, iar $m(\mathrm{\angle }APB)={50}^{\circ }$. Află $m(\mathrm{\angle }AOB)$, măsura arcului mic $\stackrel{⌢}{AB}$ și $m(\mathrm{\angle }PAB)$.

Vezi rezolvarea

1. În patrulaterul $OAPB$, unghiurile din $A$ și $B$ sunt drepte: $m(\mathrm{\angle }AOB)$ $={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-{50}^{\circ }$ $={130}^{\circ }$.
2. Arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are măsura unghiului la centru: ${130}^{\circ }$.
3. $PA=PB$, deci triunghiul $PAB$ este isoscel: $m(\mathrm{\angle }PAB)=\frac{{180}^{\circ }-{50}^{\circ }}{2}={65}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }AOB)={130}^{\circ }$, arcul mic ${130}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }PAB)={65}^{\circ }$

Exemplul 2. Din punctul $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$ la un cerc, cu $PA=7$ cm și $m(\mathrm{\angle }APB)={60}^{\circ }$. Află lungimea coardei $[AB]$.

Vezi rezolvarea

1. Segmentele tangente sunt egale: $PB=PA=7$ cm.
2. Triunghiul $PAB$ este isoscel și are un unghi de ${60}^{\circ }$, deci este echilateral.
3. $AB=PA=7$ cm.

Răspuns: $AB=7$ cm

Exemplul 3. Cercul de centru $O$ are raza 5 cm, iar punctul $P$ se află la 10 cm de centru. Din $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$. Află $m(\mathrm{\angle }APB)$ și măsura arcului mic $\stackrel{⌢}{AB}$, apoi arată că triunghiul $PAB$ este echilateral.

Vezi rezolvarea

1. $OA\perp PA$, deci triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP=10$ cm și cateta $OA=5$ cm.
2. Cateta $OA$ este jumătate din ipotenuză, deci se opune unghiului de ${30}^{\circ }$: $m(\mathrm{\angle }APO)={30}^{\circ }$.
3. $PO$ este bisectoarea unghiului $APB$: $m(\mathrm{\angle }APB)=2\cdot {30}^{\circ }={60}^{\circ }$.
4. $m(\mathrm{\angle }AOB)$ $={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$, deci arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${120}^{\circ }$.
5. $PA=PB$ și $m(\mathrm{\angle }APB)={60}^{\circ }$, deci triunghiul $PAB$ este echilateral.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }APB)={60}^{\circ }$, arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${120}^{\circ }$

Exemplul 4. Triunghiul $ABC$ are $AB=8$ cm, $BC=10$ cm și $AC=12$ cm. Cercul înscris în triunghi este tangent laturilor $BC,CA,AB$ în punctele $D,E,F$. Află lungimile segmentelor $AF$, $BD$ și $CE$.

Vezi rezolvarea

1. Din fiecare vârf, cele două segmente tangente sunt egale: $AF=AE=x$, $BF=BD=y$, $CD=CE=z$.
2. Scrii laturile: $x+y=8$, $y+z=10$, $x+z=12$.
3. Aduni cele trei relații: $2(x+y+z)=30$, deci $x+y+z=15$.
4. $x=15-10=5$, $y=15-12=3$, $z=15-8=7$.
5. Verificare: $AF+FB=5+3=8$, $BD+DC=3+7=10$, $CE+EA=7+5=12$.

Răspuns: $AF=5$ cm, $BD=3$ cm, $CE=7$ cm

Exemplul 5. $[AB]$ este diametru al cercului de centru $O$. Tangentele în $A$ și în $B$ sunt intersectate de tangenta într-un punct $T$ al cercului în punctele $C$, respectiv $D$, cu $AC=4$ cm și $BD=9$ cm.
a) Arată că tangentele în $A$ și $B$ sunt paralele.
b) Află lungimea segmentului $CD$.
c) Arată că $m(\mathrm{\angle }COD)={90}^{\circ }$.

Vezi rezolvarea

1. a) Ambele tangente sunt perpendiculare pe diametrul $AB$; două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.
2. b) Din $C$ pornesc tangentele $CA$ și $CT$, deci $CT=CA=4$ cm; din $D$ pornesc $DB$ și $DT$, deci $DT=DB=9$ cm. $T$ este între $C$ și $D$: $CD=4+9=13$ cm.
3. c) $OC$ este bisectoarea unghiului $AOT$, iar $OD$ este bisectoarea unghiului $TOB$. Unghiurile $AOT$ și $TOB$ sunt adiacente suplementare ($A,O,B$ coliniare), iar bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare: $m(\mathrm{\angle }COD)=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$.

Răspuns: b) $CD=13$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională; folosește teorema lui Pitagora și aria triunghiului). Cercul de centru $O$ are raza 6 cm, iar $OP=10$ cm. Din $P$ se duc tangentele $PA$ și $PB$. Calculează $PA$ și lungimea coardei $[AB]$.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$: $P{A}^2=O{P}^2-O{A}^2$ $=100-36=64$, deci $PA=8$ cm.
2. Fie $M$ intersecția lui $OP$ cu $AB$; știm că $AM\perp OP$, deci $AM$ este înălțimea din $A$ în triunghiul $OAP$.
3. Scrii aria triunghiului $OAP$ în două moduri: $\frac{OA\cdot PA}{2}=\frac{OP\cdot AM}{2}$, deci $6\cdot 8=10\cdot AM$ și $AM=4,8$ cm.
4. $M$ este mijlocul coardei: $AB=2\cdot 4,8=9,6$ cm.

Răspuns: $PA=8$ cm, $AB=9,6$ cm

Greșeli frecvente

• Nu observi unghiul drept: în aproape orice problemă cu tangentă, primul pas este să unești centrul cu punctul de tangență: $OT\perp$ tangenta.
• Confunzi $PA$ cu $PO$: segmentele tangente $PA$ și $PB$ sunt egale între ele, dar $PO$ este ipotenuza, deci este mai lung decât ele.
• Scrii $m(\mathrm{\angle }AOB)=2\cdot m(\mathrm{\angle }APB)$: relația corectă este $m(\mathrm{\angle }AOB)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }APB)$; $\mathrm{\angle }APB$ nu este unghi înscris (vârful $P$ nu e pe cerc).
• Iei o secantă drept tangentă: tangenta are un singur punct comun cu cercul și $d=r$. Dacă dreapta taie cercul în două puncte, proprietățile tangentei nu se aplică.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: cercul, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2024, Subiectul al II-lea, itemul 11 (tangentele $PA,PB$, raza 3 cm și $OP=6$ cm, măsura arcului $AB$, rezolvat aici) și testul de antrenament 5 din 2021, Subiectul al II-lea, itemul 11 (tangenta perpendiculară pe rază, rezolvat aici).
• Toate problemele cu cercul date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — cercul.
• Cercul înscris și bisectoarele: liniile importante în triunghi; formulele cercului: cercul — lungime, arie.

Întrebări frecvente

Ce proprietate are tangenta la cerc? Tangenta are un singur punct comun cu cercul și este perpendiculară pe raza dusă în acel punct. Distanța de la centru la tangentă este egală cu raza.

Câte tangente se pot duce dintr-un punct exterior la un cerc? Exact două. Segmentele determinate de punct și punctele de tangență sunt congruente, iar dreapta care unește punctul cu centrul este bisectoarea unghiului dintre tangente.

Cum se calculează unghiul dintre două tangente? Unghiul dintre tangente și unghiul la centru dintre razele duse în punctele de tangență sunt suplementare: $m(\mathrm{\angle }APB)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }AOB)$.