Metoda triunghiurilor congruente — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți metoda triunghiurilor congruente: ca să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, găsești două triunghiuri care le conțin, demonstrezi că triunghiurile sunt congruente și apoi compari elementele omoloage. Cu metoda aceasta demonstrezi proprietățile punctelor de pe bisectoarea unui unghi și de pe mediatoarea unui segment, folosite apoi în aproape toate problemele de geometrie, inclusiv la Evaluarea Națională.

Teorie

Ce este metoda triunghiurilor congruente

Când două triunghiuri sunt congruente, toate elementele lor omoloage sunt congruente: laturile și unghiurile care corespund. Folosim asta „invers”: ca să arătăm că $[MN]\equiv [PQ]$ (sau că două unghiuri sunt congruente), căutăm două triunghiuri în care aceste elemente să fie omoloage.

Pașii metodei:

1. Scrii ipoteza (ce se dă) și concluzia (ce trebuie arătat).
2. Alegi două triunghiuri care conțin elementele din concluzie, așezate „la fel” (omoloage). Uneori trebuie să unești două puncte sau să prelungești un segment ca să apară triunghiurile.
3. Găsești trei perechi de elemente congruente (două la triunghiuri dreptunghice) și numești cazul: LUL, ULU, LLL sau CC, CU, IU, IC.
4. Scrii congruența cu vârfurile în ordinea corespunzătoare și deduci concluzia din elementele omoloage.

Elemente congruente pe care le găsești des „gratuit”: o latură comună, un unghi comun, unghiuri opuse la vârf, unghiuri alterne interne sau corespondente (la drepte paralele), jumătățile unui segment (de la mijloc), unghiurile formate de o bisectoare.

Aplicația 1: punctele de pe bisectoarea unui unghi

Teoremă. Orice punct de pe bisectoarea unui unghi se află la aceeași distanță de laturile unghiului.

Demonstrație. Fie $P$ pe bisectoarea unghiului $xOy$, $PA\perp Ox$, $PB\perp Oy$ ($A\in Ox$, $B\in Oy$). Triunghiurile $OAP$ și $OBP$ sunt dreptunghice în $A$, respectiv $B$, au ipotenuza $[OP]$ comună și $\mathrm{\angle }AOP\equiv \mathrm{\angle }BOP$ ($OP$ e bisectoare). Cazul IU: $\mathrm{△}OAP\equiv \mathrm{△}OBP$, deci $PA=PB$. (În plus, $OA=OB$.)

Reciproca. Un punct din interiorul unui unghi, aflat la aceeași distanță de laturile lui, este pe bisectoarea unghiului. De ce? Dacă $PA=PB$, triunghiurile dreptunghice $OAP$ și $OBP$ au ipotenuza $[OP]$ comună și catetele $[PA]\equiv [PB]$; cazul IC dă $\mathrm{\angle }AOP\equiv \mathrm{\angle }BOP$.

Aplicația 2: punctele de pe mediatoarea unui segment

Mediatoarea unui segment $[AB]$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ în mijlocul său $M$.

Teoremă. Orice punct de pe mediatoarea unui segment se află la aceeași distanță de capetele segmentului: $PA=PB$.

Demonstrație. Pentru $P\ne M$, triunghiurile $PMA$ și $PMB$ sunt dreptunghice în $M$, au catetele $[MA]\equiv [MB]$ și $[PM]$ comună. Cazul CC: $\mathrm{△}PMA\equiv \mathrm{△}PMB$, deci $PA=PB$.

Reciproca. Un punct egal depărtat de capetele unui segment este pe mediatoarea segmentului. De ce? Dacă $PA=PB$ și $M$ este mijlocul lui $[AB]$, triunghiurile $PMA$ și $PMB$ au toate laturile congruente ($PA=PB$, $MA=MB$, $PM$ comună): cazul LLL. Deci $\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PMB$; fiind adiacente suplementare, fiecare are ${90}^{\circ }$, adică $PM\perp AB$ în mijlocul lui $[AB]$.

De reținut

• Concluzia „segmente / unghiuri congruente” se demonstrează de obicei cu triunghiuri congruente.
• Caută întâi elementele „gratuite”: latură comună, unghi comun, unghiuri opuse la vârf, alterne interne.
• Punct pe bisectoare ⇔ egal depărtat de laturile unghiului.
• Punct pe mediatoare ⇔ egal depărtat de capetele segmentului.
• Două puncte, fiecare egal depărtat de $A$ și $B$, determină mediatoarea lui $[AB]$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Segmentele $[AB]$ și $[CD]$ au același mijloc $O$ (punctele $A,C,B,D$ nu sunt coliniare). Arată că $AC=BD$ și $AC\parallel BD$. Dacă $AC=6$ cm și $m(\mathrm{\angle }OAC)={40}^{\circ }$, află $BD$ și $m(\mathrm{\angle }OBD)$.

Vezi rezolvarea

1. Ipoteză: $OA=OB$, $OC=OD$. Concluzie: $AC=BD$, $AC\parallel BD$.
2. Triunghiurile $AOC$ și $BOD$: $[OA]\equiv [OB]$, $\mathrm{\angle }AOC\equiv \mathrm{\angle }BOD$ (opuse la vârf), $[OC]\equiv [OD]$. Cazul LUL: $\mathrm{△}AOC\equiv \mathrm{△}BOD$.
3. Elementele omoloage: $AC=BD$ și $\mathrm{\angle }OAC\equiv \mathrm{\angle }OBD$.
4. $\mathrm{\angle }OAC$ și $\mathrm{\angle }OBD$ sunt alterne interne pentru dreptele $AC$, $BD$ și secanta $AB$; fiind congruente, $AC\parallel BD$.
5. $BD=6$ cm, $m(\mathrm{\angle }OBD)={40}^{\circ }$.

Răspuns: $BD=6$ cm, $m(\mathrm{\angle }OBD)={40}^{\circ }$

Exemplul 2. Unghiul $xOy$ are ${60}^{\circ }$, iar $P$ este un punct pe bisectoarea lui. Fie $PA\perp Ox$ și $PB\perp Oy$, cu $A\in Ox$, $B\in Oy$, și $PA=3$ cm. Află $PB$, $m(\mathrm{\angle }APO)$ și $m(\mathrm{\angle }APB)$.

Vezi rezolvarea

1. $P$ este pe bisectoare, deci este egal depărtat de laturi: $PB=PA=3$ cm (triunghiurile $OAP$ și $OBP$ sunt congruente, IU).
2. $m(\mathrm{\angle }AOP)={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$; în triunghiul dreptunghic $OAP$: $m(\mathrm{\angle }APO)={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$.
3. La fel, $m(\mathrm{\angle }BPO)={60}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }APB)={60}^{\circ }+{60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Răspuns: $PB=3$ cm, $m(\mathrm{\angle }APO)={60}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }APB)={120}^{\circ }$

Exemplul 3. În triunghiul $ABC$, cu $AB=8$ cm și $AC=12$ cm, mediatoarea laturii $[BC]$ intersectează latura $[AC]$ în punctul $D$. Calculează perimetrul triunghiului $ABD$.

Vezi rezolvarea

1. $D$ este pe mediatoarea lui $[BC]$, deci $DB=DC$.
2. $P_{ABD}=AB+BD+DA=AB+DC+DA$.
3. $D$ este pe latura $[AC]$, deci $DC+DA=AC=12$ cm.
4. $P_{ABD}=8+12=20$ cm (nu ai nevoie de lungimea lui $BC$).

Răspuns: $P_{ABD}=20$ cm

Exemplul 4. Punctele $C$ și $D$ sunt de o parte și de alta a segmentului $[AB]$, cu $CA=CB$ și $DA=DB$. Dreapta $CD$ intersectează $AB$ în $M$. Arată că $CD\perp AB$ și că $M$ este mijlocul lui $[AB]$. Dacă $AB=8$ cm, cât este $AM$?

Vezi rezolvarea

1. Varianta 1 (cu mediatoarea). $C$ este egal depărtat de $A$ și $B$, deci este pe mediatoarea lui $[AB]$; la fel $D$. Prin două puncte trece o singură dreaptă, deci $CD$ este mediatoarea lui $[AB]$: $CD\perp AB$ și $M$ este mijlocul lui $[AB]$.
2. Varianta 2 (direct, cu triunghiuri). $\mathrm{△}ACD\equiv \mathrm{△}BCD$ (LLL: $CA=CB$, $DA=DB$, $CD$ comună), deci $\mathrm{\angle }ACM\equiv \mathrm{\angle }BCM$. Apoi $\mathrm{△}ACM\equiv \mathrm{△}BCM$ (LUL: $CA=CB$, unghiurile de mai sus, $CM$ comună), deci $AM=MB$ și $\mathrm{\angle }AMC\equiv \mathrm{\angle }BMC$; unghiurile fiind adiacente suplementare, au câte ${90}^{\circ }$.
3. $AM=8:2=4$ cm.

Răspuns: $AM=4$ cm

Exemplul 5 (două congruențe la rând). Segmentele $[AB]$ și $[CD]$ au același mijloc $O$, ca în exemplul 1. O dreaptă care trece prin $O$ intersectează $[AC]$ în $M$ și $[BD]$ în $N$. Arată că $OM=ON$. Dacă $OM=3$ cm, află $MN$.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiurile care conțin $[OM]$ și $[ON]$ sunt $AOM$ și $BON$. Avem $[OA]\equiv [OB]$ și $\mathrm{\angle }AOM\equiv \mathrm{\angle }BON$ (opuse la vârf), dar ne mai trebuie un element.
2. Din exemplul 1, $\mathrm{△}AOC\equiv \mathrm{△}BOD$ (LUL), deci $\mathrm{\angle }OAC\equiv \mathrm{\angle }OBD$, adică $\mathrm{\angle }OAM\equiv \mathrm{\angle }OBN$.
3. Acum $\mathrm{△}AOM$ și $\mathrm{△}BON$: $\mathrm{\angle }OAM\equiv \mathrm{\angle }OBN$, $[OA]\equiv [OB]$, $\mathrm{\angle }AOM\equiv \mathrm{\angle }BON$. Cazul ULU: $\mathrm{△}AOM\equiv \mathrm{△}BON$, deci $OM=ON$.
4. $M,O,N$ sunt coliniare: $MN=3+3=6$ cm.

Răspuns: $OM=ON$, $MN=6$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). În triunghiul $ABC$, $m(\mathrm{\angle }A)={70}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }B)={50}^{\circ }$. Bisectoarele unghiurilor $B$ și $C$ se intersectează în $I$.
a) Arată că $I$ este egal depărtat de cele trei laturi și că $AI$ este bisectoarea unghiului $A$.
b) Calculează $m(\mathrm{\angle }BIC)$ și $m(\mathrm{\angle }IAB)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Fie $IE\perp AB$, $IF\perp BC$, $IG\perp AC$. $I$ este pe bisectoarea unghiului $B$, deci $IE=IF$; $I$ este pe bisectoarea unghiului $C$, deci $IF=IG$. Rezultă $IE=IF=IG$.
2. Din $IE=IG$, punctul $I$ (din interiorul unghiului $A$) este egal depărtat de laturile $AB$ și $AC$, deci este pe bisectoarea unghiului $A$ (reciproca). Așa se explică de ce cele trei bisectoare sunt concurente.
3. b) $m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-{70}^{\circ }-{50}^{\circ }={60}^{\circ }$. $m(\mathrm{\angle }IBC)={25}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }ICB)={30}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }BIC)={180}^{\circ }-{25}^{\circ }-{30}^{\circ }={125}^{\circ }$.
4. $AI$ este bisectoare: $m(\mathrm{\angle }IAB)={70}^{\circ }:2={35}^{\circ }$.

Răspuns: b) $m(\mathrm{\angle }BIC)={125}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }IAB)={35}^{\circ }$

Greșeli frecvente

• Alegi triunghiuri în care elementele nu sunt omoloage: ca să obții $AC=BD$, segmentele trebuie să fie laturi corespunzătoare în cele două triunghiuri. Verifică la final ordinea vârfurilor în congruență.
• Folosești concluzia ca ipoteză: nu ai voie să scrii $OM=ON$ printre elementele congruente atunci când tocmai $OM=ON$ trebuie demonstrat.
• Iei „LLU” drept caz de congruență: două laturi și un unghi care nu e cuprins între ele nu ajung (excepție: unghiul drept, cazul IC).
• Confunzi bisectoarea cu mediatoarea: punctele de pe bisectoare sunt egal depărtate de laturile unghiului (distanțe la drepte, pe perpendiculare); punctele de pe mediatoare sunt egal depărtate de capetele segmentului.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: congruența triunghiurilor, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri; ultimele exerciții sunt demonstrații prin metoda triunghiurilor congruente).
• Recapitulează cazurile pentru triunghiuri dreptunghice: congruența triunghiurilor dreptunghice; bisectoarea și mediatoarea în triunghi: liniile importante în triunghi.
• La Evaluarea Națională: EN 2023, Subiectul al III-lea, problema 5 b) (primul pas: triunghiurile $MCE$ și $MDA$ sunt congruente, deci $ME=MA$, rezolvat aici) și EN 2021, Subiectul al III-lea, problema 5 b) (un punct de pe mediatoarea lui $[BC]$ este egal depărtat de $B$ și $C$, rezolvat aici).
• Reciproca proprietății mediatoarei: EN 2020, Subiectul al III-lea, problema 1 c) (două puncte egal depărtate de capetele lui $[BE]$ determină mediatoarea, rezolvat aici).
• EN clasa a VI-a 2026, itemul 7 (triunghiuri congruente, apoi unghiuri alterne interne, rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Ce este metoda triunghiurilor congruente? Este o metodă de demonstrație: ca să arăți că două segmente sau două unghiuri sunt congruente, alegi două triunghiuri în care ele sunt elemente omoloage, arăți că triunghiurile sunt congruente cu un caz de congruență și deduci concluzia.

Cum demonstrez că un punct este pe bisectoarea unui unghi? Arăți că punctul (din interiorul unghiului) este egal depărtat de laturile unghiului: perpendicularele duse din el pe laturi sunt congruente. Triunghiurile dreptunghice formate sunt congruente prin cazul IC.

Ce proprietate au punctele de pe mediatoarea unui segment? Fiecare punct de pe mediatoare este la aceeași distanță de capetele segmentului și, reciproc, orice punct egal depărtat de capete se află pe mediatoare.