Congruența triunghiurilor dreptunghice — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cele patru cazuri de congruență ale triunghiurilor dreptunghice: catetă–catetă (CC), catetă–unghi (CU), ipotenuză–unghi (IU) și ipotenuză–catetă (IC). Pentru că unghiurile drepte sunt mereu congruente, la triunghiurile dreptunghice ajung doar două perechi de elemente congruente. Cazurile acestea apar în demonstrațiile de la Evaluarea Națională, mai ales când lucrezi cu distanțe și perpendiculare.

Teorie

Elementele unui triunghi dreptunghic

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ dacă $m(\mathrm{\angle }A)={90}^{\circ }$. Laturile $[AB]$ și $[AC]$, care formează unghiul drept, se numesc catete; latura $[BC]$, opusă unghiului drept, se numește ipotenuză. Celelalte două unghiuri, $\mathrm{\angle }B$ și $\mathrm{\angle }C$, sunt ascuțite și complementare: $m(\mathrm{\angle }B)+m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$.

De ce ajung două elemente?

La triunghiurile oarecare ai nevoie de trei perechi de elemente congruente (cazurile LUL, ULU, LLL). La două triunghiuri dreptunghice o pereche este deja dată: unghiurile drepte sunt congruente (au amândouă ${90}^{\circ }$). De aceea mai trebuie doar două perechi de elemente, iar cel puțin una dintre ele trebuie să fie o latură.

Cele patru cazuri

Fie $\mathrm{△}ABC$ și $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dreptunghice în $A$, respectiv $A^{\prime }$.

Cazul	Ce elemente sunt congruente	De unde provine
CC (catetă–catetă)	$[AB]\equiv [A^{\prime }{B}^{\prime }]$ și $[AC]\equiv [A^{\prime }{C}^{\prime }]$	LUL (unghiul drept este între catete)
CU (catetă–unghi ascuțit)	o catetă și un unghi ascuțit așezat la fel față de ea (alăturat în ambele sau opus în ambele)	ULU
IU (ipotenuză–unghi ascuțit)	$[BC]\equiv [B^{\prime }{C}^{\prime }]$ și $\mathrm{\angle }B\equiv \mathrm{\angle }{B}^{\prime }$	ULU, după ce afli al treilea unghi
IC (ipotenuză–catetă)	$[BC]\equiv [B^{\prime }{C}^{\prime }]$ și $[AB]\equiv [A^{\prime }{B}^{\prime }]$	se demonstrează cu o construcție (mai jos)

De ce sunt adevărate?

• CC: catetele $[AB]$ și $[AC]$ formează unghiul drept $A$. Avem $[AB]\equiv [A^{\prime }{B}^{\prime }]$, $\mathrm{\angle }A\equiv \mathrm{\angle }{A}^{\prime }$, $[AC]\equiv [A^{\prime }{C}^{\prime }]$, deci congruența rezultă din cazul LUL.
• CU cu unghiul alăturat: dacă $[AB]\equiv [A^{\prime }{B}^{\prime }]$ și $\mathrm{\angle }B\equiv \mathrm{\angle }{B}^{\prime }$, atunci latura $[AB]$ este cuprinsă între unghiurile $A$ și $B$: cazul ULU.
• CU cu unghiul opus și IU: din $\mathrm{\angle }C\equiv \mathrm{\angle }{C}^{\prime }$ rezultă și $\mathrm{\angle }B\equiv \mathrm{\angle }{B}^{\prime }$, pentru că $m(\mathrm{\angle }B)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }C)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }{C}^{\prime })=m(\mathrm{\angle }{B}^{\prime })$. Acum ai o latură și ambele unghiuri alăturate ei: cazul ULU.
• IC: prelungim cateta $[CA]$ dincolo de $A$ cu $[AD]\equiv [A^{\prime }{C}^{\prime }]$. Triunghiurile $ABD$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt congruente (CC), deci $BD=B^{\prime }{C}^{\prime }=BC$. În triunghiul $BCD$ avem $BC=BD$; triunghiurile $BCD$ și $BDC$ (același triunghi, cu vârfurile citite în altă ordine) sunt congruente prin LLL, deci $\mathrm{\angle }BCD\equiv \mathrm{\angle }BDC$. Atunci triunghiurile dreptunghice $ABC$ și $ABD$ au ipotenuzele congruente și $\mathrm{\angle }C\equiv \mathrm{\angle }D$, deci sunt congruente (IU): $AC=AD=A^{\prime }{C}^{\prime }$. Triunghiurile $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ au acum toate laturile congruente (LLL).

Atenție: două unghiuri ascuțite congruente nu ajung (nu există „cazul UU”): un triunghi dreptunghic mic și unul mare pot avea aceleași unghiuri. Iar „două laturi și un unghi care nu e între ele” funcționează doar când unghiul este cel drept (cazul IC), nu în general.

Cum scrii o demonstrație

Scrii perechile de elemente congruente, cazul folosit și congruența, cu vârfurile în ordinea corespunzătoare:

$$\begin{array}{rl}& m(\mathrm{\angle }A)=m(\mathrm{\angle }D)={90}^{\circ }\\ & [BC]\equiv [EF]\text{(ipotenuze)}\\ & \mathrm{\angle }B\equiv \mathrm{\angle }E\end{array}\}\stackrel{\text{IU}}{⟹}\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$$

Din congruență rezultă că și celelalte elemente omoloage (corespunzătoare) sunt congruente: $[AB]\equiv [DE]$, $[AC]\equiv [DF]$, $\mathrm{\angle }C\equiv \mathrm{\angle }F$.

De reținut

• Catetele formează unghiul drept; ipotenuza este opusă lui.
• La triunghiuri dreptunghice ajung două perechi de elemente, dintre care cel puțin o latură: CC, CU, IU, IC.
• La CU, unghiul trebuie să fie așezat la fel față de catetă în ambele triunghiuri.
• Ipotenuza corespunde întotdeauna ipotenuzei, iar unghiul drept unghiului drept.
• Cazurile acestea apar ori de câte ori ai perpendiculare: înălțimi, distanțe de la un punct la o dreaptă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt dreptunghice în $A$, respectiv $D$, cu $AB=DE=5$ cm și $AC=DF=12$ cm. Știind că $BC=13$ cm, află $EF$. Ce unghi al triunghiului $DEF$ este congruent cu $\mathrm{\angle }B$?

Vezi rezolvarea

1. Unghiurile drepte $A$ și $D$ sunt congruente, iar catetele sunt congruente două câte două: $[AB]\equiv [DE]$, $[AC]\equiv [DF]$.
2. Cazul CC: $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$ ($A\to D$, $B\to E$, $C\to F$).
3. Ipotenuzele sunt elemente omoloage: $EF=BC=13$ cm; unghiul omolog lui $B$ este $E$.

Răspuns: $EF=13$ cm, $\mathrm{\angle }B\equiv \mathrm{\angle }E$

Exemplul 2. Triunghiurile $ABC$ și $MNP$ sunt dreptunghice în $A$, respectiv $M$, cu $BC=NP$ și $m(\mathrm{\angle }B)=m(\mathrm{\angle }N)={35}^{\circ }$. Știind că $AC=7$ cm, află $MP$ și măsurile unghiurilor $C$ și $P$.

Vezi rezolvarea

1. Ipotenuzele $[BC]$ și $[NP]$ sunt congruente, iar unghiurile ascuțite $B$ și $N$ sunt congruente: cazul IU, $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}MNP$.
2. Latura $[AC]$ se opune unghiului $B$; în celălalt triunghi, latura opusă unghiului $N$ este $[MP]$. Deci $MP=AC=7$ cm.
3. $m(\mathrm{\angle }C)={90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$ și, la fel, $m(\mathrm{\angle }P)={55}^{\circ }$.

Răspuns: $MP=7$ cm, $m(\mathrm{\angle }C)=m(\mathrm{\angle }P)={55}^{\circ }$

Exemplul 3. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$. Prin $A$ și $B$ se duc perpendicularele $d_1$ și $d_2$ pe $AB$. O dreaptă care trece prin $M$ intersectează $d_1$ în $C$ și $d_2$ în $D$, ca în figură. Arată că $MC=MD$ și $AC=BD$. Dacă $AC=4$ cm și $MC=5$ cm, află $BD$ și $CD$.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiurile $MAC$ și $MBD$ sunt dreptunghice în $A$, respectiv $B$.
2. $[MA]\equiv [MB]$ ($M$ este mijlocul lui $[AB]$) — catete; $\mathrm{\angle }AMC\equiv \mathrm{\angle }BMD$ (unghiuri opuse la vârf) — unghiuri alăturate catetelor.
3. Cazul CU: $\mathrm{△}MAC\equiv \mathrm{△}MBD$, deci $MC=MD$ și $AC=BD$.
4. $BD=AC=4$ cm, $MD=MC=5$ cm, iar $C,M,D$ sunt coliniare: $CD=5+5=10$ cm.

Răspuns: $BD=4$ cm, $CD=10$ cm

Exemplul 4. În triunghiul $ABC$ avem $AB=AC$. Fie $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ ($D$ se află pe latura $[BC]$). Arată că $D$ este mijlocul lui $[BC]$ și că $[AD$ este bisectoarea unghiului $BAC$. Dacă $BC=10$ cm și $m(\mathrm{\angle }BAC)={80}^{\circ }$, află $BD$, $m(\mathrm{\angle }BAD)$ și $m(\mathrm{\angle }ABC)$.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiurile $ADB$ și $ADC$ sunt dreptunghice în $D$.
2. Ipotenuzele: $[AB]\equiv [AC]$; catetele: $[AD]$ este comună. Cazul IC: $\mathrm{△}ADB\equiv \mathrm{△}ADC$.
3. Elementele omoloage: $BD=DC$, deci $D$ este mijlocul lui $[BC]$, și $\mathrm{\angle }BAD\equiv \mathrm{\angle }CAD$, deci $[AD$ este bisectoare.
4. $BD=10:2=5$ cm, $m(\mathrm{\angle }BAD)={80}^{\circ }:2={40}^{\circ }$.
5. În triunghiul dreptunghic $ADB$: $m(\mathrm{\angle }ABC)={90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$.

Răspuns: $BD=5$ cm, $m(\mathrm{\angle }BAD)={40}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }ABC)={50}^{\circ }$

Exemplul 5. În triunghiul ascuțitunghic $ABC$ avem $AB=AC=10$ cm. Fie $BD\perp AC$, $D\in (AC)$, și $CE\perp AB$, $E\in (AB)$. Arată că $BD=CE$. Știind că $AE=6$ cm, află $AD$ și $DC$.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiurile $ADB$ și $AEC$ sunt dreptunghice în $D$, respectiv $E$.
2. Ipotenuzele: $[AB]\equiv [AC]$; unghiul ascuțit $\mathrm{\angle }BAD\equiv \mathrm{\angle }CAE$ (este chiar unghiul $A$, comun).
3. Cazul IU: $\mathrm{△}ADB\equiv \mathrm{△}AEC$, deci $BD=CE$ și $AD=AE$.
4. $AD=AE=6$ cm, iar $DC=AC-AD=10-6=4$ cm.

Răspuns: $BD=CE$; $AD=6$ cm, $DC=4$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Punctele $C$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$, astfel încât $m(\mathrm{\angle }ACB)=m(\mathrm{\angle }ADB)={90}^{\circ }$ și $AC=AD$. Segmentul $[CD]$ intersectează dreapta $AB$ în $O$.
a) Arată că $BC=BD$ și că $[AB$ este bisectoarea unghiului $CAD$.
b) Demonstrează că $AB\perp CD$.
c) Dacă $m(\mathrm{\angle }CAD)={70}^{\circ }$, află $m(\mathrm{\angle }ABC)$ și $m(\mathrm{\angle }CBD)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Triunghiurile $ACB$ și $ADB$ sunt dreptunghice în $C$, respectiv $D$, au ipotenuza $[AB]$ comună și catetele $[AC]\equiv [AD]$. Cazul IC: $\mathrm{△}ACB\equiv \mathrm{△}ADB$, deci $BC=BD$ și $\mathrm{\angle }CAB\equiv \mathrm{\angle }DAB$: $[AB$ este bisectoarea unghiului $CAD$.
2. b) Triunghiurile $ACO$ și $ADO$: $[AC]\equiv [AD]$, $\mathrm{\angle }CAO\equiv \mathrm{\angle }DAO$ (de la a), $[AO]$ comună. Cazul LUL: $\mathrm{△}ACO\equiv \mathrm{△}ADO$, deci $\mathrm{\angle }AOC\equiv \mathrm{\angle }AOD$. Aceste unghiuri sunt adiacente suplementare ($C,O,D$ coliniare), deci fiecare are ${180}^{\circ }:2={90}^{\circ }$: $AB\perp CD$.
3. c) $m(\mathrm{\angle }CAB)={70}^{\circ }:2={35}^{\circ }$; în triunghiul dreptunghic $ACB$: $m(\mathrm{\angle }ABC)={90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$.
4. La fel, $m(\mathrm{\angle }ABD)={55}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }CBD)={55}^{\circ }+{55}^{\circ }={110}^{\circ }$.

Răspuns: c) $m(\mathrm{\angle }ABC)={55}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }CBD)={110}^{\circ }$

Greșeli frecvente

• Pui ipotenuza în pereche cu o catetă: ipotenuza (latura opusă unghiului drept) corespunde doar ipotenuzei. Dacă $BC$ e ipotenuză într-un triunghi și $EF$ e catetă în celălalt, $BC=EF$ nu te ajută la IC sau IU.
• La CU iei unghiuri așezate diferit: dacă într-un triunghi unghiul este alăturat catetei, iar în celălalt este opus ei, triunghiurile pot să nu fie congruente. Verifică poziția unghiului față de catetă în ambele triunghiuri.
• Te oprești la două unghiuri: „unghi drept + un unghi ascuțit congruent” nu este un caz de congruență; îți trebuie și o latură.
• Scrii vârfurile în altă ordine: $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$ înseamnă $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$. Dacă ordinea e greșită, deduci elemente omoloage greșite.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: congruența triunghiurilor, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri; are și exerciții cu triunghiuri dreptunghice).
• Următoarea lecție, în care folosești aceste cazuri în demonstrații: metoda triunghiurilor congruente.
• La Evaluarea Națională la finalul clasei a VI-a: EN clasa a VI-a 2026, itemul 7 (triunghiuri dreptunghice congruente prin cazul ipotenuză–unghi, rezolvat aici).
• La Evaluarea Națională la finalul clasei a VIII-a: EN 2025, subiect de rezervă, Subiectul al III-lea, problema 5 a) (pătrat, triunghiuri dreptunghice congruente prin cazul catetă–unghi, rezolvat aici).
• Înălțimi, bisectoare, mediatoare: liniile importante în triunghi.

Întrebări frecvente

Care sunt cazurile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice? Sunt patru: catetă–catetă (CC), catetă–unghi ascuțit (CU), ipotenuză–unghi ascuțit (IU) și ipotenuză–catetă (IC). În fiecare caz ajung două perechi de elemente congruente, pentru că unghiurile drepte sunt deja congruente.

De ce la triunghiurile dreptunghice ajung doar două elemente? Pentru că a treia pereche, unghiurile drepte, este dată din enunț. Cazurile CC, CU și IU se reduc la LUL sau ULU, iar cazul IC se demonstrează printr-o construcție.

Ce înseamnă cazul IC? Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă, atunci ele sunt congruente. Este singurul caz cu două laturi și un unghi care nu este cuprins între ele, și funcționează doar pentru că acel unghi este drept.