Mediatoarea unui segment. Mediatoarele triunghiului și centrul cercului circumscris — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este mediatoarea unui segment, de ce punctele ei sunt egal depărtate de capetele segmentului, ce este simetricul unui punct sau al unei figuri față de o dreaptă și de ce cele trei mediatoare ale unui triunghi trec prin centrul cercului circumscris. Mediatoarea și simetria apar la Evaluarea Națională în probleme cu triunghiuri isoscele, dreptunghiuri și cercuri. Pe scurt, toate liniile importante sunt în toate liniile importante pe scurt.

Teorie

1. Mediatoarea unui segment

Definiție. Mediatoarea segmentului $[AB]$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ care trece prin mijlocul $M$ al segmentului.

Construcție cu rigla și compasul. Cu o deschidere a compasului mai mare decât jumătate din $AB$, trasezi din $A$ și din $B$ câte un arc, deasupra și dedesubtul segmentului; arcele se taie în $P$ și $Q$. Dreapta $PQ$ este mediatoarea lui $[AB]$: ambele puncte sunt egal depărtate de $A$ și $B$, deci sunt pe mediatoare (reciproca de mai jos), iar prin două puncte trece o singură dreaptă.

2. Proprietatea punctelor de pe mediatoare

Teoremă. Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.

Reciproca. Orice punct egal depărtat de capetele unui segment se află pe mediatoarea segmentului.

Demonstrație. Fie $P$ pe mediatoarea $d$ a lui $[AB]$, $P\ne M$. Triunghiurile $PMA$ și $PMB$ au $MA=MB$, $\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PMB$ (drepte) și latura $PM$ comună, deci sunt congruente (LUL, sau cazul CC al triunghiurilor dreptunghice): $PA=PB$.
Reciproc, fie $PA=PB$ și $M$ mijlocul lui $[AB]$. Triunghiurile $PMA$ și $PMB$ au toate laturile congruente ($PA=PB$, $MA=MB$, $PM$ comună), deci sunt congruente (LLL): $\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PMB$. Cele două unghiuri sunt și suplementare, deci au câte ${90}^{\circ }$: $PM\perp AB$, adică $P$ este pe mediatoare.

Altfel spus: mediatoarea unui segment este mulțimea punctelor egal depărtate de capetele segmentului. De aici: dacă $PA=PB$, triunghiul $PAB$ este isoscel, iar mediatoarea bazei trece prin vârful $P$.

3. Simetria față de o dreaptă

Definiție. Punctul $A^{\prime }$ este simetricul punctului $A$ față de dreapta $d$ dacă $d$ este mediatoarea segmentului $[A{A}^{\prime }]$. Dacă $A\in d$, simetricul lui $A$ este chiar $A$.

Cum construiești simetricul. Duci din $A$ perpendiculara pe $d$, cu piciorul $M$, și o prelungești dincolo de $d$ cu $M{A}^{\prime }=MA$. Simetricul unei figuri se obține luând simetricele tuturor punctelor ei (pentru un triunghi ajung simetricele vârfurilor).

• Simetria față de o dreaptă păstrează lungimile și unghiurile: simetricul unui segment este un segment congruent cu el, simetricul unui unghi este un unghi congruent, simetricul unui triunghi este un triunghi congruent (exemplul 3 arată de ce).
• Dacă $B\in d$, atunci $BA=B{A}^{\prime }$ ($B$ este pe mediatoarea lui $[A{A}^{\prime }]$), iar $d$ este bisectoarea unghiului $AB{A}^{\prime }$.
• O dreaptă este axă de simetrie a unei figuri dacă simetricul figurii față de ea este chiar figura. Exemple: segmentul are ca axe de simetrie mediatoarea și dreapta pe care se află; unghiul — dreapta bisectoarei; triunghiul isoscel — mediatoarea bazei; triunghiul echilateral — trei axe (mediatoarele laturilor); cercul — orice dreaptă care conține un diametru.

4. Mediatoarele triunghiului și cercul circumscris

Teoremă (concurența mediatoarelor). Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează $O$; el este egal depărtat de cele trei vârfuri.

Ca și la bisectoare, manualul de clasa a VI-a enunță întâi concurența fără demonstrație; după metoda triunghiurilor congruente o poți justifica:

1. Mediatoarele lui $[AB]$ și $[AC]$ nu sunt paralele (sunt perpendiculare pe două drepte concurente), deci se intersectează într-un punct $O$.
2. $O$ este pe mediatoarea lui $[AB]$: $OA=OB$. $O$ este pe mediatoarea lui $[AC]$: $OA=OC$.
3. Rezultă $OB=OC$, deci, din reciprocă, $O$ este și pe mediatoarea lui $[BC]$.

Cercul cu centrul $O$ și raza $R=OA=OB=OC$ trece prin toate vârfurile: este cercul circumscris triunghiului, iar $O$ este centrul cercului circumscris.

5. Unde se află $O$? Depinde de tipul triunghiului

• Triunghi ascuțitunghic: $O$ este în interiorul triunghiului.
• Triunghi dreptunghic: $O$ este mijlocul ipotenuzei, iar $R$ este jumătate din ipotenuză. Motivul este teorema din clasa a VI-a: mediana corespunzătoare ipotenuzei are jumătate din ipotenuză (lecția mediana triunghiului), deci mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri.
• Triunghi obtuzunghic: $O$ este în exteriorul triunghiului, de cealaltă parte a laturii opuse unghiului obtuz.
• Triunghi isoscel ($AB=AC$): mediatoarea bazei trece prin $A$ și este și bisectoare, mediană, înălțime; $O$ se află pe ea. Triunghi echilateral: $O$ coincide cu $I$, $G$ și $H$.

Rezumat: mediatoarea și bisectoarea

De reținut

• Mediatoarea lui $[AB]$: perpendiculara pe $AB$ prin mijlocul lui $[AB]$.
• Punct pe mediatoare ⇔ egal depărtat de $A$ și $B$.
• $A^{\prime }$ simetricul lui $A$ față de $d$ ⇔ $d$ este mediatoarea lui $[A{A}^{\prime }]$. Simetria păstrează lungimile și unghiurile.
• Mediatoarele triunghiului sunt concurente în $O$, centrul cercului circumscris: $OA=OB=OC=R$.
• În triunghiul dreptunghic, $O$ este mijlocul ipotenuzei și $R=\frac{\text{ipotenuza}}{2}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Punctul $P$ se află pe mediatoarea segmentului $[AB]$, cu $AB=10$ cm și $PA=7$ cm. Fie $M$ mijlocul lui $[AB]$. Află $PB$, $AM$ și perimetrul triunghiului $PAB$.

Vezi rezolvarea

1. $P$ este pe mediatoare, deci $PB=PA=7$ cm.
2. $M$ este mijlocul: $AM=10:2=5$ cm.
3. $P_{PAB}=7+7+10=24$ cm.

Răspuns: $PB=7$ cm, $AM=5$ cm, perimetrul 24 cm

Exemplul 2. În triunghiul $ABC$, $AC=9$ cm și $BC=14$ cm. Mediatoarea segmentului $[AB]$ intersectează latura $[BC]$ în punctul $D$. Calculează perimetrul triunghiului $ADC$.

Vezi rezolvarea

1. $D$ este pe mediatoarea lui $[AB]$, deci $DA=DB$.
2. $P_{ADC}=AD+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC$ (pentru că $D\in [BC]$).
3. $P_{ADC}=14+9=23$ cm. Lungimea lui $AB$ nici nu era necesară.

Răspuns: 23 cm

Exemplul 3. Punctele $A^{\prime }$ și $B^{\prime }$ sunt simetricele punctelor $A$ și $B$ față de dreapta $d$, iar $A$ și $B$ sunt de aceeași parte a lui $d$, cu $AB$ neperpendiculară pe $d$. Demonstrează că $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$.

Vezi rezolvarea

1. Fie $M$ și $N$ mijloacele lui $[A{A}^{\prime }]$ și $[B{B}^{\prime }]$; ele sunt pe $d$, iar $A{A}^{\prime }\perp d$, $B{B}^{\prime }\perp d$.
2. Triunghiurile $AMN$ și $A^{\prime }MN$ au $AM=A^{\prime }M$, $\mathrm{\angle }AMN\equiv \mathrm{\angle }{A}^{\prime }MN$ (drepte) și $MN$ comună, deci sunt congruente (LUL): $NA=N{A}^{\prime }$ și $\mathrm{\angle }ANM\equiv \mathrm{\angle }{A}^{\prime }NM$.
3. Unghiurile $ANB$ și $A^{\prime }N{B}^{\prime }$ sunt complementele unghiurilor congruente $ANM$, $A^{\prime }NM$ (pentru că $\mathrm{\angle }MNB$ și $\mathrm{\angle }MN{B}^{\prime }$ sunt drepte), deci $\mathrm{\angle }ANB\equiv \mathrm{\angle }{A}^{\prime }N{B}^{\prime }$.
4. Triunghiurile $ANB$ și $A^{\prime }N{B}^{\prime }$ au $NA=N{A}^{\prime }$, $\mathrm{\angle }ANB\equiv \mathrm{\angle }{A}^{\prime }N{B}^{\prime }$, $NB=N{B}^{\prime }$, deci sunt congruente (LUL): $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Concluzie: simetria față de o dreaptă păstrează lungimile segmentelor. (Dacă $A$ și $B$ sunt de o parte și de alta a lui $d$, raționamentul este asemănător.)

Exemplul 4. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $BC=18$ cm și $m(\mathrm{\angle }B)={30}^{\circ }$. Fie $O$ centrul cercului circumscris triunghiului. Află raza cercului circumscris, lungimea $AO$ și arată că triunghiul $AOC$ este echilateral.

Vezi rezolvarea

1. Triunghiul este dreptunghic, deci $O$ este mijlocul ipotenuzei $[BC]$: $R=OB=OC=18:2=9$ cm și $AO=R=9$ cm.
2. Cateta $AC$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$, deci $AC=\frac{BC}{2}=9$ cm.
3. Triunghiul $AOC$ are $AO=OC=AC=9$ cm, deci este echilateral.

Răspuns: $R=9$ cm, $AO=9$ cm; triunghiul $AOC$ are toate laturile de 9 cm

Exemplul 5. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\mathrm{\angle }A)={40}^{\circ }$, iar $O$ este centrul cercului circumscris. Află $m(\mathrm{\angle }OAB)$, $m(\mathrm{\angle }AOB)$ și $m(\mathrm{\angle }BOC)$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }B)=m(\mathrm{\angle }C)=({180}^{\circ }-{40}^{\circ }):2={70}^{\circ }$; triunghiul este ascuțitunghic, deci $O$ este în interior.
2. $O$ este pe mediatoarea bazei $[BC]$, care în triunghiul isoscel este și bisectoarea unghiului $A$: $m(\mathrm{\angle }OAB)=m(\mathrm{\angle }OAC)={20}^{\circ }$.
3. $OA=OB$, deci triunghiul $AOB$ este isoscel: $m(\mathrm{\angle }OBA)={20}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }AOB)={180}^{\circ }-{40}^{\circ }={140}^{\circ }$. La fel $m(\mathrm{\angle }AOC)={140}^{\circ }$.
4. În jurul lui $O$: $m(\mathrm{\angle }BOC)={360}^{\circ }-{140}^{\circ }-{140}^{\circ }={80}^{\circ }$.

Răspuns: ${20}^{\circ }$, ${140}^{\circ }$, ${80}^{\circ }$ (observă: ${80}^{\circ }=2\cdot {40}^{\circ }$; vei învăța de ce în clasa a VII-a)

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\mathrm{\angle }ACB)={30}^{\circ }$ și $AB=5$ cm. Punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de dreapta $AC$.
a) Arată că punctele $B,A,D$ sunt coliniare și că $CB=CD$.
b) Demonstrează că triunghiul $BCD$ este echilateral și calculează-i perimetrul.

Vezi rezolvarea

1. a) $BA\perp AC$, deci perpendiculara din $B$ pe $AC$ are piciorul $A$. Simetricul $D$ se află pe această perpendiculară, cu $AD=AB=5$ cm, deci $B,A,D$ sunt coliniare.
2. $AC$ este mediatoarea lui $[BD]$, iar $C\in AC$, deci $CB=CD$.
3. b) Simetria păstrează unghiurile: $\mathrm{\angle }ACD\equiv \mathrm{\angle }ACB$, deci $m(\mathrm{\angle }BCD)=2\cdot {30}^{\circ }={60}^{\circ }$. Un triunghi isoscel cu un unghi de ${60}^{\circ }$ este echilateral.
4. În triunghiul $ABC$, cateta $AB$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$: $BC=2\cdot AB=10$ cm. Verificare: $BD=2\cdot 5=10$ cm.
5. $P_{BCD}=3\cdot 10=30$ cm.

Răspuns: perimetrul triunghiului $BCD$ este 30 cm

Greșeli frecvente

• Confunzi mediatoarea cu mediana: mediana pornește dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse; mediatoarea este perpendiculara pe latură în mijlocul ei și, în general, nu trece prin niciun vârf.
• Crezi că $O$ este mereu în interiorul triunghiului: la triunghiul dreptunghic este pe ipotenuză (mijlocul ei), la cel obtuzunghic este în exterior.
• Spui că $O$ este egal depărtat de laturi: $O$ este egal depărtat de vârfuri; punctul egal depărtat de laturi este $I$, din bisectoare.
• Construiești simetricul pe o oblică: segmentul $[A{A}^{\prime }]$ trebuie să fie perpendicular pe $d$, iar $d$ să treacă prin mijlocul lui. Nu ajunge ca $A$ și $A^{\prime }$ să fie la aceeași distanță de $d$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a (are exerciții cu mediatoare și bisectoare) și fișă de lucru: triunghiul isoscel, echilateral și cercul.
• La Evaluarea Națională: testul de antrenament 5 din 2022, Subiectul al II-lea, itemul 10 ($PO\perp AC$ în mijlocul lui $[AC]$, deci $PA=PC$, rezolvat aici) și Modelul EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 5 (dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $[AP]$, adică $P$ este simetricul lui $A$ față de $BC$, rezolvat aici).
• Testul de antrenament 3 din 2022, Subiectul al III-lea, problema 4 (simetricul unui vârf al triunghiului echilateral față de o latură, rezolvat aici; punctul b) folosește noțiuni de clasa a VII-a).
• Celelalte linii importante: bisectoarea și cercul înscris, înălțimea triunghiului și ortocentrul, mediana triunghiului și centrul de greutate, apoi în clasa a VII-a linia mijlocie în triunghi. Demonstrații cu mediatoare: metoda triunghiurilor congruente.

Întrebări frecvente

Ce este mediatoarea unui segment? Este dreapta perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui. Orice punct al mediatoarei este egal depărtat de capetele segmentului și, reciproc, orice punct egal depărtat de capete este pe mediatoare.

Ce înseamnă simetricul unui punct față de o dreaptă? Punctul $A^{\prime }$ este simetricul lui $A$ față de dreapta $d$ dacă $d$ este mediatoarea segmentului $[A{A}^{\prime }]$: $A{A}^{\prime }\perp d$, iar $d$ trece prin mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$.

Unde se află centrul cercului circumscris unui triunghi? La intersecția mediatoarelor laturilor. Este în interior la triunghiul ascuțitunghic, la mijlocul ipotenuzei la cel dreptunghic și în exterior la cel obtuzunghic.