Drepte perpendiculare; distanța de la un punct la o dreaptă — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli când două drepte sunt perpendiculare, cum duci perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă și de ce lungimea ei este distanța de la punct la dreaptă. Distanța de la un punct la o dreaptă este, mai târziu, înălțimea triunghiurilor și a paralelogramelor din problemele de arie de la Evaluarea Națională.

Teorie

Drepte perpendiculare

Două drepte concurente formează patru unghiuri. Dacă unul dintre ele este drept (${90}^{\circ }$), atunci toate patru sunt drepte: unghiurile opuse la vârf sunt congruente, iar cele vecine sunt suplementare (${180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$). În acest caz spunem că dreptele sunt perpendiculare și scriem $a\perp b$. Două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc oblice una față de cealaltă.

Construcție. Cu echerul: așezi o latură a unghiului drept pe dreapta $d$ și o deplasezi până când cealaltă latură trece prin punctul dat $P$; trasezi de-a lungul ei. Printr-un punct dat (situat pe dreaptă sau în afara ei) trece, în plan, o singură dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată.

Perpendiculara și oblicele dintr-un punct

Fie $P$ un punct care nu se află pe dreapta $d$. Perpendiculara din $P$ pe $d$ taie dreapta în punctul $A$, numit piciorul perpendicularei. Segmentele $PB$, $PC$, cu $B,C$ pe $d$, diferite de $A$, se numesc oblice.

Proprietate. Segmentul perpendicular $PA$ este mai scurt decât orice oblică: $PA<PB$, $PA<PC$. Iar oblica al cărei capăt e mai departe de piciorul perpendicularei este mai lungă: dacă $AB<AC$, atunci $PB<PC$. Poți verifica măsurând în figură; demonstrația o vei face în capitolul „Triunghiul”, cu inegalitățile dintre laturile și unghiurile unui triunghi (în triunghiul $PAB$, latura $PB$ se opune unghiului drept, cel mai mare unghi, deci este cea mai lungă latură).

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ este lungimea segmentului perpendicular $PA$, adică cea mai mică distanță dintre $P$ și un punct al dreptei:

$$d(P,d)=PA,\text{unde }PA\perp d,A\in d.$$

Dacă $P$ se află pe dreapta $d$, distanța este 0. Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct oarecare al uneia la cealaltă; ea este aceeași pentru toate punctele (de aceea liniile caietului sunt „la aceeași distanță”).

Perpendiculare și paralele

• Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele: dacă $a\perp c$ și $b\perp c$, atunci $a\parallel b$ (unghiurile corespondente formate cu secanta $c$ sunt drepte, deci congruente).
• Dacă $a\parallel b$ și $c\perp a$, atunci $c\perp b$ (unghiul corespondent este tot de ${90}^{\circ }$).
• În poligoane: laturile vecine ale unui dreptunghi sunt perpendiculare; la un cub, fiecare muchie este perpendiculară pe muchiile cu care are un vârf comun.

De reținut

• $a\perp b$ dacă dreptele formează un unghi de ${90}^{\circ }$ (atunci toate patru unghiurile sunt drepte).
• Printr-un punct trece o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.
• Perpendiculara este mai scurtă decât orice oblică dusă din același punct.
• Distanța de la punct la dreaptă = lungimea perpendicularei, măsurată până la piciorul ei.
• Două perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$, iar $m(\mathrm{\angle }AOC)={90}^{\circ }$. Află măsurile celorlalte trei unghiuri formate și precizează poziția dreptelor.

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{\angle }BOD$ este opus la vârf cu $\mathrm{\angle }AOC$: $m(\mathrm{\angle }BOD)={90}^{\circ }$.
2. $\mathrm{\angle }AOC$ și $\mathrm{\angle }COB$ sunt adiacente suplementare: $m(\mathrm{\angle }COB)={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$; la fel $m(\mathrm{\angle }AOD)={90}^{\circ }$.
3. Dreptele formează unghiuri drepte, deci sunt perpendiculare.

Răspuns: toate unghiurile au ${90}^{\circ }$; $AB\perp CD$

Exemplul 2. Punctele $A,O,B$ sunt coliniare, în această ordine, iar $OC\perp AB$. Semidreapta $OD$ este în interiorul unghiului $BOC$, astfel încât $m(\mathrm{\angle }BOD)=2\cdot m(\mathrm{\angle }COD)$. Află $m(\mathrm{\angle }COD)$, $m(\mathrm{\angle }BOD)$ și $m(\mathrm{\angle }AOD)$.

Vezi rezolvarea

1. $OC\perp AB$, deci $m(\mathrm{\angle }BOC)={90}^{\circ }$.
2. Notăm $m(\mathrm{\angle }COD)=x$; atunci $m(\mathrm{\angle }BOD)=2x$ și $x+2x={90}^{\circ }$, deci $x={30}^{\circ }$.
3. $m(\mathrm{\angle }BOD)={60}^{\circ }$, iar $\mathrm{\angle }AOD$ și $\mathrm{\angle }DOB$ sunt adiacente suplementare: $m(\mathrm{\angle }AOD)={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }COD)={30}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }BOD)={60}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AOD)={120}^{\circ }$

Exemplul 3. Punctele $A,B,C$ se află pe dreapta $d$, iar punctul $P$ nu se află pe $d$. Știind că $PA\perp d$, $PA=4$ cm, $PB=5$ cm și $PC=7$ cm, află distanța de la $P$ la dreapta $d$. Poate exista pe $d$ un punct $M$ cu $PM=3$ cm?

Vezi rezolvarea

1. Distanța este lungimea perpendicularei: $d(P,d)=PA=4$ cm. $PB$ și $PC$ sunt oblice, deci sunt mai lungi.
2. Orice segment $PM$ cu $M\in d$ are cel puțin lungimea perpendicularei, 4 cm. Deci nu există $M$ pe $d$ cu $PM=3$ cm.

Răspuns: $d(P,d)=4$ cm; nu există un astfel de punct $M$

Exemplul 4. Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=8$ cm și $BC=5$ cm. Află distanța de la $D$ la dreapta $AB$, distanța de la $A$ la dreapta $BC$ și distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$.

Vezi rezolvarea

1. În dreptunghi, laturile vecine sunt perpendiculare: $DA\perp AB$, deci $d(D,AB)=DA=BC=5$ cm.
2. $AB\perp BC$, deci $d(A,BC)=AB=8$ cm.
3. $AB\parallel CD$, iar $BC$ este perpendiculară pe amândouă: distanța dintre ele este $BC=5$ cm.

Răspuns: 5 cm, 8 cm, 5 cm

Exemplul 5. Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, iar $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele lor. Arată că $OM\perp ON$.

Vezi rezolvarea

1. Notăm $m(\mathrm{\angle }AOB)=2x$ și $m(\mathrm{\angle }BOC)=2y$. Unghiurile sunt suplementare: $2x+2y={180}^{\circ }$, deci $x+y={90}^{\circ }$.
2. Bisectoarele împart unghiurile în jumătăți: $m(\mathrm{\angle }MOB)=x$, $m(\mathrm{\angle }BON)=y$.
3. $OB$ este în interiorul unghiului $MON$, deci $m(\mathrm{\angle }MON)=x+y={90}^{\circ }$, adică $OM\perp ON$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }MON)={90}^{\circ }$, deci $OM\perp ON$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt la distanța de 6 cm una de alta. Punctul $M$ se află la 2 cm de dreapta $a$. Află distanța de la $M$ la dreapta $b$.

Vezi rezolvarea

1. Ducem prin $M$ perpendiculara pe $a$; fiind $a\parallel b$, ea este perpendiculară și pe $b$. Fie $A\in a$, $B\in b$ picioarele ei: $AB=6$ cm și $MA=2$ cm.
2. Cazul 1: $M$ este între cele două drepte, deci $M$ este pe segmentul $AB$: $MB=6-2=4$ cm.
3. Cazul 2: $M$ nu este între drepte, iar $a$ este între $M$ și $b$: $MB=2+6=8$ cm.

Răspuns: 4 cm (dacă $M$ e între drepte) sau 8 cm (dacă $M$ e în afara lor)

Greșeli frecvente

• Iei o oblică drept distanță: distanța de la punct la dreaptă se măsoară numai pe perpendiculară. În exemplul 3, distanța este 4 cm, nu 5 cm sau 7 cm.
• Crezi că perpendiculare înseamnă „una verticală, alta orizontală”: dreptele perpendiculare pot fi desenate în orice poziție; contează doar unghiul de ${90}^{\circ }$, verificat cu echerul.
• Măsori distanța până la segment, nu până la dreaptă: distanța de la un punct la dreapta $AB$ folosește dreapta întreagă; piciorul perpendicularei poate cădea și în afara segmentului $[AB]$.
• Dai un singur răspuns când sunt două cazuri: dacă enunțul nu spune de ce parte este punctul, analizează toate pozițiile posibile (exemplul 6).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: drepte paralele și secantă, clasa a 6-a (exercițiile 3, 11 și 12 sunt despre drepte perpendiculare) și fișa de unghiuri (bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare).
• Unghiuri — exerciții rezolvate, clasa a 6-a și teoria pe scurt: unghiuri — formule.
• La Evaluarea Națională: Model EN 2026, Subiectul al III-lea, problema 5 b) („distanța de la punctul D la dreapta AB este egală cu 8 cm”, adică înălțimea paralelogramului, rezolvată aici) și Model EN 2027, Subiectul al III-lea, problema 5 (trapez cu $DM\perp AD$, rezolvată aici).
• Mai departe: înălțimile unui triunghi (perpendicularele din vârfuri pe laturi) în liniile importante în triunghi.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două drepte sunt perpendiculare? Înseamnă că se intersectează și formează un unghi drept, de ${90}^{\circ }$. Atunci toate cele patru unghiuri formate sunt drepte. Se notează $a\perp b$.

Cum se află distanța de la un punct la o dreaptă? Duci din punct perpendiculara pe dreaptă și măsori segmentul de la punct până la piciorul perpendicularei. Este cea mai mică distanță de la punct la un punct al dreptei.

Ce este o oblică? Este un segment care unește un punct exterior unei drepte cu un punct al dreptei, fără să fie perpendicular pe ea. Orice oblică este mai lungă decât perpendiculara dusă din același punct.