Pozițiile unei drepte față de un cerc; pozițiile a două cercuri — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli cum stabilești poziția unei drepte față de un cerc și poziția a două cercuri, comparând distanțe cu razele: secantă, tangentă sau exterioară; cercuri exterioare, tangente, secante sau interioare. Tangenta la cerc apare în problemele de la Evaluarea Națională, iar în clasa a 7-a vei învăța proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior.

Teorie

Pozițiile unei drepte față de un cerc

Fie cercul $\mathcal{C}(O,r)$, o dreaptă $a$ și $d$ distanța de la centrul $O$ la dreaptă (lungimea perpendicularei din $O$ pe $a$). Comparăm $d$ cu $r$:

Distanța	Puncte comune	Dreapta este
$d<r$	două	secantă
$d=r$	unul	tangentă
$d>r$	niciunul	exterioară cercului

De ce? Fie $T$ piciorul perpendicularei din $O$ pe dreaptă, deci $OT=d$. Dacă $d=r$, punctul $T$ este pe cerc. Orice alt punct $M$ al dreptei dă o oblică $OM$, mai lungă decât perpendiculara: $OM>OT=r$, deci $M$ este în exteriorul cercului. Așadar dreapta are un singur punct comun cu cercul, $T$, numit punctul de tangență. Rezultă și proprietatea importantă:

Tangenta este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență: $OT\perp t$.

Dacă $d>r$, toate punctele dreptei sunt la distanță mai mare decât $r$ de $O$, deci dreapta nu are puncte comune cu cercul. Dacă $d<r$, punctul $T$ este în interiorul cercului și dreapta „intră” în disc, tăind cercul în două puncte.

Pozițiile relative a două cercuri

Fie cercurile $\mathcal{C}(O_1,R)$ și $\mathcal{C}(O_2,r)$, cu $R\ge r$, și $d=O_1{O}_2$ distanța dintre centre. Poziția lor depinde de comparația lui $d$ cu suma și cu diferența razelor:

Distanța dintre centre	Puncte comune	Cercurile sunt
$d>R+r$	niciunul	exterioare
$d=R+r$	unul	tangente exterior
$R-r<d<R+r$	două	secante
$d=R-r$ (și $d\ne 0$)	unul	tangente interior
$d<R-r$	niciunul	interioare (unul în interiorul celuilalt)

Dacă $d=0$, cercurile au același centru și se numesc concentrice (ca inelele unei ținte). La cercurile tangente, punctul de tangență se află pe dreapta centrelor $O_1{O}_2$. Poți verifica tabelul desenând cu compasul: păstrezi razele și apropii treptat centrele.

De reținut

• Dreaptă–cerc: compari distanța de la centru la dreaptă cu raza.
• Tangenta are un singur punct comun cu cercul și este perpendiculară pe rază în acel punct.
• Două cercuri: compari distanța dintre centre cu $R+r$ și cu $R-r$.
• Tangente exterior: $O_1{O}_2=R+r$; tangente interior: $O_1{O}_2=R-r$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Cercul $\mathcal{C}(O,5\text{ cm})$ și dreptele $a,b,c$ se află la distanțele de 3 cm, 5 cm, respectiv 7 cm de centrul $O$. Precizează poziția fiecărei drepte față de cerc.

Vezi rezolvarea

1. $3<5$: dreapta $a$ este secantă (două puncte comune).
2. $5=5$: dreapta $b$ este tangentă (un punct comun).
3. $7>5$: dreapta $c$ este exterioară cercului.

Răspuns: $a$ secantă, $b$ tangentă, $c$ exterioară

Exemplul 2. Dreapta $t$ este tangentă în punctul $T$ la cercul de centru $O$ și diametru 12 cm. Află $OT$, distanța de la $O$ la dreapta $t$ și măsura unghiului format de $OT$ cu $t$.

Vezi rezolvarea

1. $OT$ este rază: $OT=12:2=6$ cm.
2. Tangenta este perpendiculară pe raza $OT$, deci $T$ este piciorul perpendicularei și $d(O,t)=OT=6$ cm.
3. Unghiul dintre $OT$ și $t$ este drept.

Răspuns: $OT=6$ cm, $d(O,t)=6$ cm, unghiul are ${90}^{\circ }$

Exemplul 3. Cercurile $\mathcal{C}(O_1,7\text{ cm})$ și $\mathcal{C}(O_2,3\text{ cm})$ au centrele la distanța $d$. Precizează poziția lor pentru $d=12$ cm, $10$ cm, $6$ cm, $4$ cm și $2$ cm.

Vezi rezolvarea

1. Calculăm $R+r=10$ cm și $R-r=4$ cm.
2. $d=12>10$: exterioare; $d=10$: tangente exterior.
3. $4<6<10$: secante.
4. $d=4=R-r$: tangente interior; $d=2<4$: interioare.

Răspuns: exterioare, tangente exterior, secante, tangente interior, interioare

Exemplul 4. Cercul $\mathcal{C}(O_1,5\text{ cm})$ și cercul $\mathcal{C}(O_2,r)$ sunt tangente, iar $O_1{O}_2=8$ cm. Află raza $r$.

Vezi rezolvarea

1. Dacă sunt tangente exterior: $O_1{O}_2=5+r\Rightarrow r=8-5=3$ cm.
2. Dacă sunt tangente interior: distanța dintre centre este raza mare minus raza mică. Dacă $r<5$, ar trebui $5-r=8$, imposibil. Deci $r>5$ și $r-5=8\Rightarrow r=13$ cm (cercul de rază 5 cm este în interiorul celuilalt).

Răspuns: $r=3$ cm (tangente exterior) sau $r=13$ cm (tangente interior)

Exemplul 5. Punctul $O$ se află la distanța de 4 cm de dreapta $a$. Pentru ce valori naturale nenule ale razei $r$ (în cm) cercul $\mathcal{C}(O,r)$ este secant, tangent, respectiv exterior dreptei $a$?

Vezi rezolvarea

1. Secantă: $4<r$, adică $r\in \{5,6,7,\dots \}$.
2. Tangentă: $r=4$.
3. Exterioară: $r<4$, adică $r\in \{1,2,3\}$.

Răspuns: secantă pentru $r\ge 5$, tangentă pentru $r=4$, exterioară pentru $r\in \{1,2,3\}$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Trei cercuri de centre $A,B,C$ sunt tangente exterior două câte două. Știind că $AB=7$ cm, $BC=9$ cm și $AC=10$ cm, află razele celor trei cercuri.

Vezi rezolvarea

1. Notăm razele cu $a,b,c$. Pentru cercuri tangente exterior, distanța dintre centre este suma razelor: $a+b=7$, $b+c=9$, $a+c=10$.
2. Adunăm cele trei egalități: $2(a+b+c)=26$, deci $a+b+c=13$.
3. $c=13-(a+b)=13-7=6$; $a=13-9=4$; $b=13-10=3$.
4. Verificare: $4+3=7$, $3+6=9$, $4+6=10$.

Răspuns: razele sunt 4 cm (centrul $A$), 3 cm (centrul $B$) și 6 cm (centrul $C$)

Greșeli frecvente

• Compari raza cu o distanță oarecare: pentru o dreaptă contează distanța de la centru la dreaptă, adică perpendiculara, nu distanța până la un punct oarecare al dreptei.
• Compari diametrele în loc de raze: la două cercuri folosești $R+r$ și $R-r$ cu razele. Dacă se dau diametrele, împarte-le întâi la 2.
• Uiți cazul tangentelor interior: „cercuri tangente” poate însemna tangente exterior sau interior; dacă enunțul nu precizează, analizezi ambele cazuri (exemplul 4).
• Crezi că cercurile interioare se intersectează: dacă $d<R-r$, cercul mic este în întregime în interiorul celui mare și nu au puncte comune.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul isoscel, echilateral și cercul, clasa a 6-a (poziția unui punct față de cerc, rază și diametru) și testul de recapitulare la geometrie, clasa a 6-a.
• Recapitulează distanța de la un punct la o dreaptă: drepte perpendiculare; distanța de la un punct la o dreaptă.
• La Evaluarea Națională: Simulare EN 2024, Subiectul al II-lea, itemul 11 (tangentele $PA$ și $PB$, cu tangenta perpendiculară pe rază, rezolvat aici; restul calculului folosește noțiuni din clasa a 7-a).
• Mai departe, în clasa a 7-a: tangentele dintr-un punct exterior la cerc și toate problemele cu cercul de la EN: geometrie plană — cercul.

Întrebări frecvente

Când este o dreaptă tangentă la un cerc? Când distanța de la centrul cercului la dreaptă este egală cu raza. Atunci dreapta are un singur punct comun cu cercul, iar raza dusă în acel punct este perpendiculară pe dreaptă.

Cum îți dai seama dacă două cercuri sunt secante? Calculezi suma și diferența razelor. Cercurile sunt secante dacă distanța dintre centre este mai mare decât diferența razelor și mai mică decât suma lor; atunci au două puncte comune.

Ce sunt cercurile concentrice? Sunt cercuri care au același centru și raze diferite. Ele nu au puncte comune: cercul cu raza mai mică se află în interiorul celuilalt.