Mediana triunghiului. Centrul de greutate — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este mediana unui triunghi, de ce cele trei mediane se întâlnesc în centrul de greutate $G$ și o teoremă foarte folosită: în triunghiul dreptunghic, mediana dusă pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză (și reciproca ei). Le vei folosi la triunghiul isoscel, la unghiul de ${30}^{\circ }$ și, la Evaluarea Națională, în problemele cu centrul de greutate.

Pe scurt, toate liniile importante sunt rezumate în liniile importante în triunghi — toate pe scurt. Lecții dedicate: bisectoarea · mediatoarea · înălțimea · mediana (aici) · linia mijlocie.

Teorie

Definiția medianei

Definiție. Se numește mediană a triunghiului $ABC$ segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Dacă $M$ este mijlocul lui $[BC]$ (adică $M\in (BC)$ și $BM=MC$), atunci $[AM]$ este mediana din $A$ (sau mediana corespunzătoare laturii $[BC]$).

Orice triunghi are trei mediane: $[AM]$, $[BN]$, $[CP]$, cu $M,N,P$ mijloacele laturilor $[BC]$, $[AC]$, $[AB]$. Pentru că unește un vârf cu un punct de pe latura opusă, mediana se află mereu în interiorul triunghiului, indiferent de tipul lui.

Construcția

1. Afli mijlocul $M$ al laturii $[BC]$: măsori latura cu rigla și împarți la 2 sau, mai precis, construiești cu compasul mediatoarea lui $[BC]$, care taie latura chiar în mijloc (vezi mediatoarea unui segment).
2. Unești vârful $A$ cu $M$.

Teorema: medianele sunt concurente. Centrul de greutate

Teoremă. Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează $G$ și se numește centrul de greutate al triunghiului.

În clasa a VI-a teorema se învață fără demonstrație. $G$ este întotdeauna în interiorul triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic). Numele vine din fizică: dacă decupezi un triunghi din carton, el stă în echilibru pe vârful unui creion așezat exact în $G$.

În clasa a VII-a vei demonstra și unde se află $G$ pe fiecare mediană: la două treimi de vârf și o treime de latură, $AG=\frac{2}{3}AM$, $GM=\frac{1}{3}AM$. Demonstrația, cu linia mijlocie, este în lecția linia mijlocie în triunghi. Centrul de greutate.

Mediana în triunghiul isoscel și în cel echilateral

• În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, mediana $[AM]$ dusă pe bază este și înălțime, și bisectoare. De ce: triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au $AB=AC$, $BM=MC$ și $AM$ comună, deci sunt congruente (LLL). Rezultă $\mathrm{\angle }AMB\equiv \mathrm{\angle }AMC$, iar cum sunt suplementare, fiecare are ${90}^{\circ }$; și $\mathrm{\angle }BAM\equiv \mathrm{\angle }CAM$.
• Tot în triunghiul isoscel, medianele duse pe laturile congruente sunt congruente: $BN=CP$ (triunghiurile $BCN$ și $CBP$ au $BC$ comună, $\mathrm{\angle }C\equiv \mathrm{\angle }B$ și $CN=BP$, jumătăți ale laturilor egale — cazul LUL).
• Reciproc, dacă într-un triunghi mediana din $A$ este și înălțime, triunghiul este isoscel cu $AB=AC$ (mediana este atunci pe mediatoarea lui $[BC]$, iar $A$ este egal depărtat de $B$ și $C$).
• În triunghiul echilateral, medianele sunt congruente și coincid cu înălțimile și bisectoarele; $G$ coincide cu $H$, $I$ și $O$.

Mediana corespunzătoare ipotenuzei

Teoremă. În orice triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei:

$$m(\mathrm{\angle }BAC)={90}^{\circ },M\text{ mijlocul lui }[BC]\Rightarrow AM=\frac{BC}{2}=BM=MC.$$

Consecință. $MA=MB=MC$, deci mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri: el este centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic, iar raza acestui cerc este jumătate din ipotenuză.

Demonstrație (clasa a VI-a, cu triunghiuri congruente).

1. Prelungim mediana $[AM]$ cu $[MD]\equiv [AM]$.
2. Triunghiurile $AMB$ și $DMC$ au $AM=DM$, $BM=CM$ și $\mathrm{\angle }AMB\equiv \mathrm{\angle }DMC$ (opuse la vârf), deci sunt congruente (LUL). Rezultă $CD=AB$ și $\mathrm{\angle }MAB\equiv \mathrm{\angle }MDC$.
3. Unghiurile $\mathrm{\angle }BAD$ și $\mathrm{\angle }CDA$ sunt alterne interne pentru dreptele $AB$, $CD$ și secanta $AD$, deci $CD\parallel AB$. Cum $AB\perp AC$, rezultă $CD\perp AC$, adică $m(\mathrm{\angle }ACD)={90}^{\circ }$.
4. Triunghiurile dreptunghice $BAC$ și $DCA$ au catetele $AB=CD$ și $AC$ comună, deci sunt congruente (CC). Rezultă $BC=AD=2\cdot AM$, adică $AM=\frac{BC}{2}$.

Reciproca. Dacă într-un triunghi $ABC$ mediana $[AM]$ are lungimea egală cu jumătate din $BC$, atunci triunghiul este dreptunghic în $A$. De ce: din $MA=MB=MC$, triunghiurile $AMB$ și $AMC$ sunt isoscele, deci $m(\mathrm{\angle }MAB)=m(\mathrm{\angle }B)$ și $m(\mathrm{\angle }MAC)=m(\mathrm{\angle }C)$. Adunând, $m(\mathrm{\angle }A)=m(\mathrm{\angle }B)+m(\mathrm{\angle }C)$. Cum suma unghiurilor triunghiului este ${180}^{\circ }$, $2\cdot m(\mathrm{\angle }A)={180}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }A)={90}^{\circ }$.

Legătura cu unghiul de ${30}^{\circ }$. Dacă $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $m(\mathrm{\angle }C)={30}^{\circ }$, atunci $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$. Triunghiul $ABM$ are $MA=MB$ și un unghi de ${60}^{\circ }$, deci este echilateral: $AB=BM=\frac{BC}{2}$. Aceasta este chiar teorema catetei opuse unghiului de ${30}^{\circ }$ (vezi triunghiul dreptunghic).

Rezumat

De reținut

• Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse și este mereu în interiorul triunghiului.
• Medianele sunt concurente în centrul de greutate $G$, mereu interior.
• Triunghi dreptunghic ⇔ mediana dusă pe latura cea mai lungă este jumătate din ea.
• În triunghiul isoscel, mediana pe bază este și înălțime, și bisectoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În triunghiul $ABC$, $AB=10$ cm, $AC=8$ cm și $BC=14$ cm, iar $[AM]$ este mediană. Află $BM$ și cu cât este mai mare perimetrul triunghiului $ABM$ decât perimetrul triunghiului $ACM$.

Vezi rezolvarea

1. $M$ este mijlocul lui $[BC]$: $BM=MC=14:2=7$ cm.
2. $P_{ABM}=AB+BM+AM=17+AM$, iar $P_{ACM}=AC+CM+AM=15+AM$.
3. Diferența: $P_{ABM}-P_{ACM}=17-15=2$ cm (latura $AM$ este comună și se reduce).

Răspuns: $BM=7$ cm; diferența perimetrelor este 2 cm

Exemplul 2. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\mathrm{\angle }BAC)={50}^{\circ }$, iar $[AM]$ este mediana din $A$. Află $m(\mathrm{\angle }BAM)$, $m(\mathrm{\angle }AMB)$ și $m(\mathrm{\angle }ABC)$.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiul isoscel, mediana pe bază este și bisectoare: $m(\mathrm{\angle }BAM)={50}^{\circ }:2={25}^{\circ }$.
2. Este și înălțime: $m(\mathrm{\angle }AMB)={90}^{\circ }$.
3. $m(\mathrm{\angle }ABC)={90}^{\circ }-{25}^{\circ }={65}^{\circ }$ (sau $({180}^{\circ }-{50}^{\circ }):2={65}^{\circ }$).

Răspuns: ${25}^{\circ }$, ${90}^{\circ }$, ${65}^{\circ }$

Exemplul 3. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=18$ cm și $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$. Fie $[AM]$ mediana corespunzătoare ipotenuzei. Calculează $AM$, $AB$ și $m(\mathrm{\angle }AMC)$.

Vezi rezolvarea

1. Mediana pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză: $AM=18:2=9$ cm, deci $MA=MB=9$ cm.
2. Triunghiul $ABM$ este isoscel ($MA=MB$) și are $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$, deci este echilateral: $AB=9$ cm.
3. $m(\mathrm{\angle }AMB)={60}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }AMC)={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$.

Răspuns: $AM=9$ cm, $AB=9$ cm, $m(\mathrm{\angle }AMC)={120}^{\circ }$

Exemplul 4. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $[BC]$, $AM=\frac{BC}{2}$ și $m(\mathrm{\angle }B)={35}^{\circ }$. Află măsurile unghiurilor triunghiului $ABC$ și $m(\mathrm{\angle }AMC)$.

Vezi rezolvarea

1. Din reciproca teoremei medianei pe ipotenuză, triunghiul este dreptunghic în $A$: $m(\mathrm{\angle }A)={90}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }C)={90}^{\circ }-{35}^{\circ }={55}^{\circ }$.
2. $MA=MB$, deci triunghiul $AMB$ este isoscel: $m(\mathrm{\angle }MAB)={35}^{\circ }$.
3. $\mathrm{\angle }AMC$ este unghi exterior triunghiului $AMB$: $m(\mathrm{\angle }AMC)={35}^{\circ }+{35}^{\circ }={70}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }A)={90}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }C)={55}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AMC)={70}^{\circ }$

Exemplul 5. Triunghiul $ABC$ are $AB=AC=12$ cm și $BC=8$ cm. Medianele $[BN]$ și $[CP]$ se intersectează în $G$. Arată că $BN=CP$ și că triunghiul $GBC$ este isoscel. Calculează $CN$.

Vezi rezolvarea

1. $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $[AC]$ și $[AB]$: $CN=BP=12:2=6$ cm.
2. Triunghiurile $BCN$ și $CBP$: $BC$ latură comună, $\mathrm{\angle }BCN\equiv \mathrm{\angle }CBP$ (unghiurile bazei triunghiului isoscel), $CN=BP$. După cazul LUL, $\mathrm{△}BCN\equiv \mathrm{△}CBP$, deci $BN=CP$.
3. Din aceeași congruență, $\mathrm{\angle }NBC\equiv \mathrm{\angle }PCB$, adică $\mathrm{\angle }GBC\equiv \mathrm{\angle }GCB$: triunghiul $GBC$ este isoscel, cu $GB=GC$.

Răspuns: $CN=6$ cm; $BN=CP$, $GB=GC$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\mathrm{\angle }C)={30}^{\circ }$ și $BC=16$ cm. Fie $[AM]$ mediana și $[AD]$ înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
a) Arată că triunghiul $ABM$ este echilateral.
b) Arată că $BD=\frac{BC}{4}$ și calculează $DC$.

Vezi rezolvarea

1. a) Cateta opusă unghiului de ${30}^{\circ }$: $AB=16:2=8$ cm. Mediana pe ipotenuză: $AM=BM=16:2=8$ cm. Deci $AB=BM=AM=8$ cm: triunghiul $ABM$ este echilateral.
2. b) În triunghiul echilateral $ABM$, înălțimea $[AD]$ este și mediană, deci $D$ este mijlocul lui $[BM]$: $BD=8:2=4$ cm $=\frac{16}{4}=\frac{BC}{4}$.
3. $DC=BC-BD=16-4=12$ cm.

Răspuns: b) $BD=4$ cm $=\frac{BC}{4}$, $DC=12$ cm

Greșeli frecvente

• Confuzia mediană – mediatoare. Mediana pleacă din vârf și ajunge în mijlocul laturii opuse; mediatoarea este perpendiculara pe latură prin mijlocul ei și, în general, nu trece prin niciun vârf.
• „Mediana este perpendiculară pe latură.” Doar în triunghiul isoscel (mediana pe bază). În general, mediana și înălțimea din același vârf sunt diferite.
• Mediana pe ipotenuză aplicată la o catetă. Regula $AM=\frac{BC}{2}$ este valabilă doar pentru mediana dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză, nu pentru medianele duse pe catete.
• $G$ pus la mijlocul medianei. Centrul de greutate nu este mijlocul medianei: este la două treimi de vârf (vei demonstra în clasa a VII-a).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a și fișă: triunghiul isoscel, echilateral și cercul (printabile, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: Testul de antrenament 3 din 2021, Subiectul al II-lea, itemul 9 (triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 12 cm și centrul de greutate: mediana pe ipotenuză are 6 cm, iar $AG$ este două treimi din ea) — rezolvat aici; EN 2026, Subiectul al II-lea, itemul 9 (mijlocul laturii, centrul de greutate și arii) — rezolvat aici. Ambele folosesc și poziția lui $G$ la două treimi, din lecția de clasa a VII-a.
• Toate problemele cu triunghiuri date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — triunghiul.
• Lecțiile vecine: înălțimea triunghiului și ortocentrul, mediatoarea și centrul cercului circumscris, bisectoarea și centrul cercului înscris; recapitulare: toate liniile importante pe scurt.

Întrebări frecvente

Ce este mediana unui triunghi? Este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Orice triunghi are trei mediane, iar ele se intersectează într-un punct, centrul de greutate $G$.

Cât este mediana corespunzătoare ipotenuzei? Este jumătate din ipotenuză: dacă $BC$ este ipotenuza și $M$ mijlocul ei, $AM=\frac{BC}{2}$. De aceea mijlocul ipotenuzei este centrul cercului circumscris triunghiului dreptunghic.

Unde se află centrul de greutate al unui triunghi? Întotdeauna în interiorul triunghiului, la intersecția medianelor, pe fiecare mediană la două treimi de vârf și o treime de mijlocul laturii ($AG=2\cdot GM$).