Înălțimea triunghiului. Ortocentrul — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este înălțimea unui triunghi, cum o construiești cu echerul (și când trebuie să prelungești latura), de ce cele trei înălțimi trec prin același punct, ortocentrul $H$, și unde se află acesta: în interior, în vârful unghiului drept sau în exterior. Înălțimile apar în aproape orice problemă de geometrie de la Evaluarea Națională: la arii, la distanțe și la triunghiuri isoscele.

Pe scurt, toate liniile importante sunt rezumate în liniile importante în triunghi — toate pe scurt. Lecții dedicate: bisectoarea · mediatoarea · înălțimea (aici) · mediana · linia mijlocie.

Teorie

Definiția înălțimii

Definiție. Se numește înălțime a triunghiului $ABC$ corespunzătoare laturii $[BC]$ segmentul $[AD]$, unde $D\in BC$ și $AD\perp BC$. Punctul $D$ se numește piciorul înălțimii. Cu alte cuvinte, înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe dreapta care conține latura opusă.

Lungimea înălțimii $AD$ este distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ (vezi lecția drepte perpendiculare; distanța de la un punct la o dreaptă). Orice triunghi are trei înălțimi: $[AD]\perp BC$, $[BE]\perp AC$, $[CF]\perp AB$. Lungimea înălțimii din $A$ se notează uneori $h_a$.

Construcția cu echerul

1. Așezi o catetă a echerului pe dreapta $BC$.
2. Glisezi echerul de-a lungul dreptei până când cealaltă catetă trece prin vârful $A$.
3. Trasezi segmentul de la $A$ până la dreapta $BC$ și notezi piciorul $D$; marchezi unghiul drept.

Dacă unghiul $B$ sau unghiul $C$ este obtuz, perpendiculara din $A$ nu ajunge pe segmentul $[BC]$: trebuie să prelungești latura $BC$ și piciorul înălțimii cade pe prelungire.

Unde cade piciorul înălțimii

• Unghiurile $B$ și $C$ ascuțite ⇒ $D$ se află pe latura $(BC)$, între $B$ și $C$.
• Unghiul $B$ drept ⇒ $D=B$: înălțimea din $A$ este chiar cateta $[AB]$.
• Unghiul $B$ obtuz ⇒ $D$ se află pe prelungirea laturii $[CB]$, dincolo de $B$.

De ce? Să presupunem că $m(\mathrm{\angle }ABC)>{90}^{\circ }$ și că $D$ ar fi pe segmentul $(BC)$. Atunci triunghiul $ABD$ ar avea un unghi obtuz în $B$ și un unghi drept în $D$, deci suma unghiurilor lui ar depăși ${180}^{\circ }$ — imposibil. Analog, dacă $B$ este ascuțit, $D$ nu poate fi pe prelungirea dincolo de $B$: atunci $\mathrm{\angle }ABD$ ar fi suplementul lui $\mathrm{\angle }ABC$, adică obtuz, în triunghiul $ABD$ dreptunghic în $D$.

Teorema: înălțimile sunt concurente. Ortocentrul

Teoremă. Dreptele care conțin cele trei înălțimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se notează $H$ și se numește ortocentrul triunghiului.

În clasa a VI-a teorema se învață fără demonstrație (așa cere programa). Poziția ortocentrului depinde de tipul triunghiului:

Triunghi ascuțitunghic: toate picioarele înălțimilor sunt pe laturi, iar $H$ este în interiorul triunghiului.

Triunghi dreptunghic în $A$: $AB\perp AC$, deci cateta $[AB]$ este înălțimea din $B$, iar cateta $[AC]$ este înălțimea din $C$. Ele se întâlnesc în $A$, deci ortocentrul este vârful unghiului drept: $H=A$. A treia înălțime este $[AD]$, perpendiculara pe ipotenuză.

Triunghi obtuzunghic în $A$: înălțimile din $B$ și $C$ cad pe prelungirile laturilor $[CA]$ și $[BA]$; se intersectează doar dreptele lor, iar $H$ este în exteriorul triunghiului, de aceeași parte a lui $BC$ ca vârful $A$, dincolo de el.

Demonstrația concurenței (se face în clasa a VII-a, după paralelogram)

Prin fiecare vârf ducem paralela la latura opusă: prin $A$ paralela la $BC$, prin $B$ paralela la $AC$, prin $C$ paralela la $AB$. Ele formează un triunghi mai mare $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ($A^{\prime }$ opus lui $A$ etc.).

1. $ABC{B}^{\prime }$ și $A{C}^{\prime }BC$ sunt paralelograme (au laturile opuse paralele), deci $A{B}^{\prime }=BC$ și $A{C}^{\prime }=BC$. Așadar $A$ este mijlocul lui $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$. La fel, $B$ este mijlocul lui $[A^{\prime }{C}^{\prime }]$, iar $C$ mijlocul lui $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$.
2. Înălțimea din $A$ este perpendiculară pe $BC$, deci și pe $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, și trece prin mijlocul $A$ al lui $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$: ea este mediatoarea laturii $[B^{\prime }{C}^{\prime }]$. La fel pentru celelalte două înălțimi.
3. Mediatoarele triunghiului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt concurente (în centrul cercului circumscris lui — vezi lecția mediatoarea unui segment). Deci înălțimile triunghiului $ABC$ sunt concurente: ortocentrul lui $ABC$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Înălțimea în triunghiul isoscel și în cel echilateral

• În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, înălțimea $[AD]$ dusă pe bază este și mediană, și bisectoare, și se află pe mediatoarea bazei. De ce: triunghiurile dreptunghice $ADB$ și $ADC$ au ipotenuzele $AB=AC$ și cateta $AD$ comună, deci sunt congruente (cazul IC, vezi congruența triunghiurilor dreptunghice); rezultă $BD=DC$ și $\mathrm{\angle }BAD\equiv \mathrm{\angle }CAD$.
• Tot în triunghiul isoscel, înălțimile duse pe laturile congruente sunt congruente: $BE=CF$ (triunghiurile $BEC$ și $CFB$ au ipotenuza $BC$ comună și $\mathrm{\angle }ECB\equiv \mathrm{\angle }FBC$, cazul IU).
• În triunghiul echilateral toate cele trei înălțimi sunt congruente și fiecare este și mediană, bisectoare, mediatoare; ortocentrul coincide cu centrul de greutate, cu centrul cercului înscris și cu centrul cercului circumscris.

Două proprietăți utile ale ortocentrului

• Unghiul dintre două înălțimi. Într-un triunghi ascuțitunghic, $m(\mathrm{\angle }BHC)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }A)$. Justificare: în triunghiul $BEC$, dreptunghic în $E$, $m(\mathrm{\angle }HBD)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }C)$; în triunghiul $BHD$, dreptunghic în $D$, $m(\mathrm{\angle }BHD)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }HBD)=m(\mathrm{\angle }C)$. La fel $m(\mathrm{\angle }CHD)=m(\mathrm{\angle }B)$, deci $m(\mathrm{\angle }BHC)=m(\mathrm{\angle }B)+m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }A)$.
• Rolurile se pot schimba. Dacă $H$ este ortocentrul lui $ABC$, atunci $A$ este ortocentrul triunghiului $HBC$: dreptele $HA\perp BC$, $BA\perp HC$ și $CA\perp HB$ sunt înălțimile triunghiului $HBC$ și trec toate prin $A$.

Rezumat: poziția ortocentrului

De reținut

• Înălțimea = segmentul perpendicular din vârf pe dreapta laturii opuse; lungimea ei este distanța de la vârf la acea dreaptă.
• La un unghi obtuz prelungești latura; în triunghiul dreptunghic două înălțimi sunt catetele.
• Înălțimile sunt concurente în ortocentrul $H$: interior / vârful unghiului drept / exterior.
• În triunghiul isoscel, înălțimea pe bază este și mediană, și bisectoare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În triunghiul $ABC$, $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }C)={70}^{\circ }$, iar $[AD]$ este înălțime, $D\in BC$. Află $m(\mathrm{\angle }BAD)$, $m(\mathrm{\angle }DAC)$ și $m(\mathrm{\angle }BAC)$.

Vezi rezolvarea

1. Unghiurile $B$ și $C$ sunt ascuțite, deci $D$ este pe latura $(BC)$.
2. În triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$: $m(\mathrm{\angle }BAD)={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$.
3. În triunghiul $ADC$, dreptunghic în $D$: $m(\mathrm{\angle }DAC)={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$.
4. $m(\mathrm{\angle }BAC)={30}^{\circ }+{20}^{\circ }={50}^{\circ }$ (verificare: ${180}^{\circ }-{60}^{\circ }-{70}^{\circ }={50}^{\circ }$).

Răspuns: ${30}^{\circ }$, ${20}^{\circ }$, ${50}^{\circ }$

Exemplul 2. Triunghiul $ABC$ are $m(\mathrm{\angle }ABC)={120}^{\circ }$ și $AB=8$ cm. Fie $[AD]$ înălțimea din $A$. Unde se află punctul $D$? Calculează $m(\mathrm{\angle }BAD)$ și lungimea segmentului $BD$.

Vezi rezolvarea

1. Unghiul $B$ este obtuz, deci $D$ se află pe prelungirea laturii $[CB]$, dincolo de $B$.
2. $\mathrm{\angle }ABD$ și $\mathrm{\angle }ABC$ sunt adiacente suplementare: $m(\mathrm{\angle }ABD)={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$.
3. În triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$: $m(\mathrm{\angle }BAD)={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$.
4. Cateta $[BD]$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$, deci este jumătate din ipotenuza $[AB]$: $BD=8:2=4$ cm.

Răspuns: $D$ pe prelungirea lui $CB$; $m(\mathrm{\angle }BAD)={30}^{\circ }$, $BD=4$ cm

Exemplul 3. Triunghiul ascuțitunghic $ABC$ are $m(\mathrm{\angle }A)={70}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }B)={60}^{\circ }$, iar $H$ este ortocentrul lui. Calculează $m(\mathrm{\angle }BHC)$, $m(\mathrm{\angle }AHB)$ și $m(\mathrm{\angle }AHC)$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-{70}^{\circ }-{60}^{\circ }={50}^{\circ }$.
2. Din proprietatea demonstrată mai sus, $m(\mathrm{\angle }BHC)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }A)={110}^{\circ }$.
3. La fel, $m(\mathrm{\angle }AHB)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }C)={130}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }AHC)={180}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }B)={120}^{\circ }$.
4. Verificare: cele trei unghiuri din jurul lui $H$ au suma ${110}^{\circ }+{130}^{\circ }+{120}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Răspuns: ${110}^{\circ }$, ${130}^{\circ }$, ${120}^{\circ }$

Exemplul 4. Triunghiul $ABC$ este isoscel, cu $AB=AC$ și $m(\mathrm{\angle }A)={40}^{\circ }$. Fie $BE\perp AC$, $E\in AC$, și $CF\perp AB$, $F\in AB$. Află $m(\mathrm{\angle }EBC)$ și $m(\mathrm{\angle }ABE)$ și arată că $BE=CF$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }B)=m(\mathrm{\angle }C)=({180}^{\circ }-{40}^{\circ }):2={70}^{\circ }$; toate unghiurile sunt ascuțite, deci $E\in (AC)$, $F\in (AB)$.
2. În triunghiul $BEC$, dreptunghic în $E$: $m(\mathrm{\angle }EBC)={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$; apoi $m(\mathrm{\angle }ABE)={70}^{\circ }-{20}^{\circ }={50}^{\circ }$.
3. Triunghiurile dreptunghice $BEC$ și $CFB$ au ipotenuza $[BC]$ comună și $\mathrm{\angle }ECB\equiv \mathrm{\angle }FBC$ (unghiurile bazei). După cazul IU, $\mathrm{△}BEC\equiv \mathrm{△}CFB$, deci $BE=CF$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }EBC)={20}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }ABE)={50}^{\circ }$, iar $BE=CF$

Exemplul 5. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\mathrm{\angle }C)={30}^{\circ }$ și $BC=20$ cm, iar $[AD]$ este înălțimea pe ipotenuză. Calculează $AB$, $m(\mathrm{\angle }BAD)$, $BD$ și $DC$. Unde se află ortocentrul?

Vezi rezolvarea

1. Cateta opusă unghiului de ${30}^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AB=20:2=10$ cm.
2. $m(\mathrm{\angle }B)={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$; în triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$: $m(\mathrm{\angle }BAD)={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$.
3. În triunghiul $ABD$, cateta $[BD]$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$: $BD=AB:2=5$ cm, deci $DC=20-5=15$ cm.
4. Triunghiul este dreptunghic în $A$, deci ortocentrul este $H=A$.

Răspuns: $AB=10$ cm, $m(\mathrm{\angle }BAD)={30}^{\circ }$, $BD=5$ cm, $DC=15$ cm; $H=A$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul ascuțitunghic $ABC$ are $m(\mathrm{\angle }BAC)={45}^{\circ }$. Înălțimile $[AD]$ și $[BE]$ se intersectează în $H$.
a) Arată că $AE=BE$.
b) Demonstrează că $AH=BC$ și $EH=EC$.
c) Dacă $BC=7$ cm, află $AH$.

Vezi rezolvarea

1. a) În triunghiul $ABE$, dreptunghic în $E$, $m(\mathrm{\angle }BAE)={45}^{\circ }$, deci $m(\mathrm{\angle }ABE)={45}^{\circ }$: triunghiul este isoscel, $AE=BE$.
2. b) În triunghiul $ADC$, dreptunghic în $D$: $m(\mathrm{\angle }DAC)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }C)$. În triunghiul $BEC$, dreptunghic în $E$: $m(\mathrm{\angle }EBC)={90}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }C)$. Deci $\mathrm{\angle }EAH\equiv \mathrm{\angle }EBC$.
3. Triunghiurile dreptunghice $AEH$ și $BEC$ au catetele $AE=BE$ și unghiurile ascuțite alăturate lor congruente, $\mathrm{\angle }EAH\equiv \mathrm{\angle }EBC$. După cazul CU, $\mathrm{△}AEH\equiv \mathrm{△}BEC$, deci $AH=BC$ și $EH=EC$.
4. c) $AH=BC=7$ cm.

Răspuns: c) $AH=7$ cm

Greșeli frecvente

• Înălțimea „dusă la mijlocul laturii”. Înălțimea cade în mijlocul laturii doar dacă triunghiul este isoscel (pe bază). În general, piciorul înălțimii nu este mijlocul: acela este piciorul medianei.
• Înălțimea desenată mereu în interior. La un unghi obtuz în $B$, înălțimea din $A$ cade pe prelungirea lui $CB$ (exemplul 2). Dacă o forțezi pe latură, desenul este greșit.
• „Triunghiul dreptunghic are o singură înălțime.” Are trei: două sunt chiar catetele, iar a treia este perpendiculara pe ipotenuză. De aceea ortocentrul este vârful unghiului drept.
• Confuzia înălțime – mediatoare. Ambele sunt perpendiculare pe latură, dar înălțimea trece prin vârful opus, iar mediatoarea prin mijlocul laturii. Ele coincid doar pentru baza unui triunghi isoscel.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul, clasa a 6-a și fișă: triunghiul isoscel, echilateral și cercul (printabile, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 4 (triunghi isoscel, înălțimile $AD$ și $BE$ concurente în $H$; punctul a) se rezolvă exact ca exemplul 6, cu unghiuri complementare; punctul b) folosește asemănarea, din clasa a VII-a) — rezolvată aici.
• Toate problemele cu triunghiuri date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — triunghiul.
• Lecțiile vecine: mediana triunghiului și centrul de greutate, bisectoarea și centrul cercului înscris, mediatoarea și centrul cercului circumscris; recapitulare: toate liniile importante pe scurt.

Întrebări frecvente

Ce este înălțimea unui triunghi? Este segmentul dus dintr-un vârf perpendicular pe dreapta care conține latura opusă. Lungimea ei este distanța de la vârf la acea dreaptă; fiecare triunghi are trei înălțimi.

Ce este ortocentrul? Ortocentrul $H$ este punctul în care se intersectează (dreptele suport ale) celor trei înălțimi. Este în interior la triunghiul ascuțitunghic, în vârful unghiului drept la cel dreptunghic și în exterior la cel obtuzunghic.

Care este diferența dintre înălțime și mediană? Înălțimea este perpendiculară pe latura opusă; mediana unește vârful cu mijlocul laturii opuse. Ele coincid doar în triunghiul isoscel (din vârful opus bazei) și în triunghiul echilateral.