Linia mijlocie în triunghi. Centrul de greutate — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți teorema liniei mijlocii (segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei), reciproca ei și, cu ajutorul ei, de ce centrul de greutate $G$ se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf. Ambele se demonstrează cu proprietățile paralelogramului și apar des la Evaluarea Națională, la Subiectul al II-lea și al III-lea.

Pe scurt, toate liniile importante sunt rezumate în liniile importante în triunghi — toate pe scurt. Lecții dedicate (clasa a VI-a): bisectoarea · mediatoarea · înălțimea · mediana · linia mijlocie (aici, clasa a VII-a).

Teorie

Ce este linia mijlocie

Definiție. Se numește linie mijlocie a unui triunghi segmentul care unește mijloacele a două laturi. Dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$ și $N$ mijlocul lui $[AC]$, $[MN]$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $[BC]$. Orice triunghi are trei linii mijlocii.

Teorema liniei mijlocii

Teoremă. Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia:

$$M\text{ mijlocul lui }[AB],N\text{ mijlocul lui }[AC]\Rightarrow MN\parallel BC\text{și}MN=\frac{BC}{2}.$$

Demonstrație.

1. Prelungim $[MN]$ cu $[NP]\equiv [MN]$.
2. Patrulaterul $AMCP$ are diagonalele $[AC]$ și $[MP]$ cu același mijloc $N$ ($AN=NC$, $MN=NP$), deci este paralelogram. Rezultă $CP\parallel AM$ și $CP=AM$.
3. Dar $AM=MB$ și $M\in AB$, deci $CP\parallel MB$ și $CP=MB$. Patrulaterul $MBCP$ are două laturi opuse paralele și congruente, deci este tot paralelogram.
4. Din paralelogramul $MBCP$: $MP\parallel BC$ și $MP=BC$. Cum $MN=\frac{MP}{2}$, obținem $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$.

Reciproca teoremei liniei mijlocii

Teoremă. Paralela dusă prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la o altă latură intersectează a treia latură în mijlocul ei. Altfel spus: dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$, $N\in (AC)$ și $MN\parallel BC$, atunci $N$ este mijlocul lui $[AC]$ (și deci $MN=\frac{BC}{2}$).

Demonstrație. Fie $N^{\prime }$ mijlocul lui $[AC]$. După teorema directă, $M{N}^{\prime }\parallel BC$. Prin punctul $M$ trece o singură paralelă la $BC$ (axioma paralelelor), deci dreptele $MN$ și $M{N}^{\prime }$ coincid. Ambele puncte $N$ și $N^{\prime }$ sunt la intersecția acestei drepte cu $AC$, deci $N=N^{\prime }$.

Cele trei linii mijlocii: triunghiul median

Fie $M,N,P$ mijloacele laturilor $[AB]$, $[AC]$, $[BC]$. Fiecare linie mijlocie este jumătate dintr-o latură: $MN=\frac{BC}{2}$, $NP=\frac{AB}{2}$, $MP=\frac{AC}{2}$. De aici:

• triunghiurile $AMN$, $MBP$, $NPC$ și $PNM$ au laturile egale cu $\frac{AB}{2}$, $\frac{AC}{2}$, $\frac{BC}{2}$, deci sunt congruente (LLL);
• perimetrul triunghiului $MNP$ este jumătate din perimetrul lui $ABC$, iar aria lui este un sfert din aria lui $ABC$;
• $AMPN$, $MBPN$ și $MPCN$ sunt paralelograme.

Centrul de greutate se află la două treimi pe mediană

Teoremă. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct $G$, numit centrul de greutate, situat pe fiecare mediană la două treimi de vârf și la o treime de mijlocul laturii opuse:

$$AG=\frac{2}{3}AM,GM=\frac{1}{3}AM,AG=2\cdot GM.$$

Demonstrație. Fie $[BN]$ și $[CP]$ două mediane ($N$ mijlocul lui $[AC]$, $P$ mijlocul lui $[AB]$) și $G$ punctul lor de intersecție. Fie $X$ mijlocul lui $[BG]$ și $Y$ mijlocul lui $[CG]$.

1. $[PN]$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$: $PN\parallel BC$ și $PN=\frac{BC}{2}$.
2. $[XY]$ este linie mijlocie în triunghiul $GBC$: $XY\parallel BC$ și $XY=\frac{BC}{2}$.
3. Deci $PN\parallel XY$ și $PN=XY$: patrulaterul $PNYX$ este paralelogram, iar diagonalele lui se înjumătățesc: $GX=GN$ și $GY=GP$.
4. Atunci $BX=XG=GN$, adică mediana $[BN]$ este împărțită în trei segmente egale: $BG=\frac{2}{3}BN$, $GN=\frac{1}{3}BN$. La fel, $CG=\frac{2}{3}CP$.
5. Pentru a treia mediană: medianele $[AM]$ și $[BN]$ se intersectează, după același raționament, într-un punct aflat pe $[BN]$ la două treimi de $B$ — adică tot în $G$. Deci și $[AM]$ trece prin $G$, iar $AG=\frac{2}{3}AM$.

Astfel am demonstrat și concurența medianelor, enunțată fără demonstrație în lecția despre mediană din clasa a VI-a.

Consecințe des folosite

• Triunghi dreptunghic (în $A$): mediana pe ipotenuză este $AM=\frac{BC}{2}$, deci $AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}$.
• Triunghi echilateral de înălțime $h$: medianele sunt înălțimile, deci $G$ (care coincide cu ortocentrul și centrele cercurilor) este la $\frac{2h}{3}$ de vârf și la $\frac{h}{3}$ de latură.
• Mijloacele laturilor unui patrulater formează un paralelogram (cu două linii mijlocii paralele cu fiecare diagonală) — vezi exemplul 4.
• Trapezul. Linia mijlocie a trapezului (care unește mijloacele laturilor neparalele) este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor; se demonstrează tot cu linia mijlocie în triunghi. O găsești la patrulatere — trapezul și la linia mijlocie în triunghi și în trapez.

Rezumat

De reținut

• Linia mijlocie: paralelă cu a treia latură și jumătate din ea.
• Prin mijlocul unei laturi, paralela la altă latură taie a treia latură în mijloc.
• $G$ împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, socotind de la vârf.
• Demonstrațiile folosesc doar paralelogramul: diagonalele se înjumătățesc, laturile opuse sunt paralele și congruente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Triunghiul $ABC$ are $AB=10$ cm, $AC=12$ cm și $BC=14$ cm. Punctele $M,N,P$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$, $[AC]$, respectiv $[BC]$. Calculează laturile și perimetrul triunghiului $MNP$.

Vezi rezolvarea

1. $[MN]$ este linie mijlocie, paralelă cu $BC$: $MN=14:2=7$ cm.
2. $[NP]$ este linie mijlocie, paralelă cu $AB$: $NP=10:2=5$ cm.
3. $[MP]$ este linie mijlocie, paralelă cu $AC$: $MP=12:2=6$ cm.
4. $P_{MNP}=7+5+6=18$ cm, adică jumătate din $P_{ABC}=36$ cm.

Răspuns: $MN=7$ cm, $NP=5$ cm, $MP=6$ cm; perimetrul 18 cm

Exemplul 2. În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $[AB]$, iar paralela prin $M$ la $BC$ intersectează $AC$ în $N$. Știind că $AC=9$ cm și $MN=5$ cm, află $AN$ și $BC$.

Vezi rezolvarea

1. Din reciproca teoremei liniei mijlocii, $N$ este mijlocul lui $[AC]$: $AN=9:2=4,5$ cm.
2. Atunci $[MN]$ este linie mijlocie: $BC=2\cdot MN=10$ cm.

Răspuns: $AN=4,5$ cm, $BC=10$ cm

Exemplul 3. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=15$ cm, iar $G$ este centrul lui de greutate. Calculează $AG$ și $GM$, unde $M$ este mijlocul ipotenuzei.

Vezi rezolvarea

1. Mediana pe ipotenuză (clasa a VI-a): $AM=15:2=7,5$ cm.
2. $G$ este pe $[AM]$, la două treimi de vârf: $AG=\frac{2}{3}\cdot 7,5=5$ cm.
3. $GM=AM-AG=7,5-5=2,5$ cm (verificare: $AG=2\cdot GM$).

Răspuns: $AG=5$ cm, $GM=2,5$ cm

Exemplul 4. Patrulaterul convex $ABCD$ are diagonalele $AC=10$ cm și $BD=8$ cm. Punctele $E,F,G,H$ sunt mijloacele laturilor $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Arată că $EFGH$ este paralelogram și calculează perimetrul lui. Ce fel de paralelogram este dacă $AC\perp BD$?

Vezi rezolvarea

1. În triunghiul $ABC$, $[EF]$ este linie mijlocie: $EF\parallel AC$, $EF=5$ cm. În triunghiul $ADC$, $[HG]$ este linie mijlocie: $HG\parallel AC$, $HG=5$ cm.
2. Deci $EF\parallel HG$ și $EF=HG$: $EFGH$ este paralelogram.
3. La fel, $FG=EH=\frac{BD}{2}=4$ cm, deci $P_{EFGH}=2\cdot (5+4)=18$ cm $=AC+BD$.
4. Dacă $AC\perp BD$, atunci $EF\parallel AC$ și $FG\parallel BD$ sunt perpendiculare: $EFGH$ este dreptunghi.

Răspuns: perimetrul 18 cm; dacă $AC\perp BD$, $EFGH$ este dreptunghi

Exemplul 5. În triunghiul $ABC$, $G$ este centrul de greutate, mediana $[BN]$ are 18 cm, iar $AG=8$ cm. Calculează $BG$, $GN$, $GM$ și lungimea medianei $[AM]$.

Vezi rezolvarea

1. $BG=\frac{2}{3}\cdot 18=12$ cm și $GN=18-12=6$ cm.
2. $AG=2\cdot GM$, deci $GM=8:2=4$ cm.
3. $AM=AG+GM=8+4=12$ cm.

Răspuns: $BG=12$ cm, $GN=6$ cm, $GM=4$ cm, $AM=12$ cm

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). În triunghiul $ABC$, medianele $[AM]$, $[BN]$, $[CP]$ au lungimile 12 cm, 9 cm, respectiv 15 cm și se intersectează în $G$. Punctul $D$ este simetricul lui $G$ față de $N$.
a) Arată că $AGCD$ este paralelogram.
b) Arată că $G$ este mijlocul segmentului $[BD]$.
c) Calculează perimetrul triunghiului $AGD$.

Vezi rezolvarea

1. a) $N$ este mijlocul lui $[AC]$ ($[BN]$ mediană) și mijlocul lui $[GD]$ (simetrie). Diagonalele $[AC]$ și $[GD]$ ale patrulaterului $AGCD$ se înjumătățesc, deci $AGCD$ este paralelogram.
2. b) $BG=\frac{2}{3}\cdot 9=6$ cm, $GN=3$ cm, iar $GD=2\cdot GN=6$ cm. Deci $BG=GD$ și $G\in (BD)$: $G$ este mijlocul lui $[BD]$.
3. c) $AG=\frac{2}{3}\cdot 12=8$ cm, $GD=6$ cm și, din paralelogram, $AD=GC=\frac{2}{3}\cdot 15=10$ cm. Perimetrul: $8+6+10=24$ cm.

Răspuns: c) $P_{AGD}=24$ cm (laturile triunghiului $AGD$ sunt două treimi din cele trei mediane; cu reciproca teoremei lui Pitagora vei vedea că, aici, el este chiar dreptunghic).

Greșeli frecvente

• Linia mijlocie paralelă cu latura greșită. $[MN]$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$, este paralelă cu latura care nu conține niciunul dintre puncte, adică cu $BC$, și este jumătate din $BC$.
• Reciproca aplicată fără paralelism. Din „$M$ mijlocul lui $[AB]$ și $MN=\frac{BC}{2}$” nu rezultă că $N$ este mijlocul lui $[AC]$; ai nevoie de $MN\parallel BC$.
• Raportul de pe mediană inversat. $G$ este la $\frac{2}{3}$ de vârf: $AG=2\cdot GM$, nu $GM=2\cdot AG$.
• Linia mijlocie a trapezului confundată cu cea a triunghiului. În trapez linia mijlocie este semisuma bazelor, nu jumătatea unei baze.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: teorema lui Thales și linia mijlocie, clasa a 7-a și fișă: patrulatere, clasa a 7-a (printabile, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: Testul de antrenament 6 din 2021, Subiectul al III-lea, problema 5 (mijloacele laturilor unui triunghi dreptunghic cu unghi de ${30}^{\circ }$, linie mijlocie și raportul perimetrelor) — rezolvată aici; Modelul EN 2027, Subiectul al III-lea, problema 4 (mijloacele laturilor unui dreptunghi și centrul de greutate al unui triunghi) — rezolvată aici; Testul de antrenament 5 din 2022, Subiectul al II-lea, itemul 9 (centrul de greutate și o paralelă la latură; folosește și teorema lui Thales) — rezolvat aici.
• Toate problemele cu triunghiuri și patrulatere date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională.
• Recapitulare din clasa a VI-a: mediana triunghiului și centrul de greutate, înălțimea și ortocentrul, bisectoarea, mediatoarea; toate pe scurt: liniile importante în triunghi.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema liniei mijlocii în triunghi? Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi este paralel cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea ei: $MN\parallel BC$, $MN=\frac{BC}{2}$.

Care este reciproca teoremei liniei mijlocii? Paralela dusă prin mijlocul unei laturi la o a doua latură taie a treia latură în mijlocul ei; segmentul obținut este linie mijlocie.

De ce centrul de greutate este la două treimi pe mediană? Dacă $G$ este intersecția medianelor $BN$ și $CP$, iar $X$, $Y$ sunt mijloacele lui $BG$, $CG$, atunci $PN$ și $XY$ sunt linii mijlocii paralele și egale cu $\frac{BC}{2}$, deci $PNYX$ este paralelogram; diagonalele lui se înjumătățesc, așa că $BX=XG=GN$ și $BG=\frac{2}{3}BN$.