Distanța dintre două drepte paralele \( d_1: ax + by + c_1 = 0 \) și \( d_2: ax + by + c_2 = 0 \) este \( d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Formula se aplică numai după ce ambele ecuații au aceiași coeficienți \( a \) și \( b \); dacă sunt doar proporționali, împarți sau înmulțești una dintre ecuații. Rezultatul este lungimea perpendicularei comune și se obține din distanța de la un punct la o dreaptă.
Formula distanței dintre două drepte paralele
Fie dreptele paralele, scrise cu aceiași coeficienți ai lui \( x \) și \( y \):
Atunci distanța dintre ele este
Distanța dintre două drepte paralele este lungimea segmentului determinat pe o perpendiculară comună, adică distanța de la orice punct al unei drepte la cealaltă dreaptă. Dacă \( c_1 = c_2 \), dreptele coincid și distanța este \( 0 \).
Când sunt două drepte paralele
Dreptele \( d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) și \( d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) (cu coeficienți nenuli) sunt:
- paralele, dacă \( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2} \);
- confundate, dacă \( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \) (distanța este \( 0 \));
- concurente, dacă \( \dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2} \) — atunci nu are sens să vorbim de distanța dintre ele.
În forma explicită \( y = mx + n \), dreptele sunt paralele dacă au aceeași pantă și ordonate la origine diferite. Toate condițiile sunt detaliate pe pagina drepte paralele și perpendiculare.
De unde vine formula (din distanța punct–dreaptă)
Pornim de la formula distanței de la un punct la o dreaptă: pentru \( M_0(x_0, y_0) \) și \( d: ax + by + c = 0 \),
Alegem un punct oarecare \( M_0(x_0, y_0) \in d_1 \). Coordonatele lui verifică ecuația lui \( d_1 \), deci \( ax_0 + by_0 = -c_1 \). Calculăm distanța de la \( M_0 \) la \( d_2 \):
Rezultatul nu depinde de punctul ales, ceea ce confirmă că dreptele paralele sunt „la aceeași distanță” peste tot. Din același motiv, la examen poți folosi oricare dintre metode: formula directă sau un punct convenabil de pe una dintre drepte (de exemplu, punctul de intersecție cu o axă).
Când coeficienții nu sunt egali
Dacă \( d_2 \) are coeficienții proporționali cu ai lui \( d_1 \), adică \( d_2: kax + kby + c' = 0 \) cu \( k \neq 0 \), împarți ecuația lui \( d_2 \) la \( k \): \( ax + by + \dfrac{c'}{k} = 0 \). Abia acum aplici formula:
De exemplu, pentru \( 2x - y + 3 = 0 \) și \( 4x - 2y - 1 = 0 \) împarți a doua ecuație la \( 2 \) și obții \( 2x - y - \dfrac{1}{2} = 0 \) (Exemplul 2).
Alte forme ale formulei
| Dreptele | Distanța |
|---|---|
| \( ax + by + c_1 = 0 \), \( ax + by + c_2 = 0 \) | \( \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) |
| \( y = mx + n_1 \), \( y = mx + n_2 \) | \( \dfrac{|n_1 - n_2|}{\sqrt{1 + m^2}} \) |
| \( x = p \), \( x = q \) (verticale) | \( |p - q| \) |
| \( y = p \), \( y = q \) (orizontale) | \( |p - q| \) |
Forma cu panta se obține scriind \( y = mx + n \) ca \( mx - y + n = 0 \), deci \( a = m \), \( b = -1 \) și \( \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{m^2 + 1} \).
Drepte paralele situate la o distanță dată
Dreptele paralele cu \( d: ax + by + c = 0 \), aflate la distanța \( h \gt 0 \) de ea, au ecuația \( ax + by + c' = 0 \), unde \( \dfrac{|c - c'|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = h \). Rezultă două soluții, câte una de fiecare parte a lui \( d \):
Dreapta paralelă aflată la mijloc între \( d_1 \) și \( d_2 \) (egal depărtată de ele) are ecuația \( ax + by + \dfrac{c_1 + c_2}{2} = 0 \).
Greșeli frecvente
- Formula aplicată pe coeficienți diferiți. Pentru \( 3x + 4y - 2 = 0 \) și \( 6x + 8y + 11 = 0 \) nu poți scădea direct \( -2 \) și \( 11 \); întâi împarți a doua ecuație la \( 2 \).
- Semnul termenului liber. Ecuațiile trebuie aduse la forma \( ax + by + c = 0 \): din \( 3x + 4y = 7 \) rezultă \( c = -7 \), nu \( 7 \).
- Lipsa modulului. Distanța este întotdeauna pozitivă (sau zero); \( |c_1 - c_2| = |c_2 - c_1| \).
- Formula folosită pentru drepte concurente. Dacă pantele diferă, dreptele se intersectează și nu există o distanță constantă între ele.
Pentru calcule rapide cu ecuația dreptei prin două puncte poți folosi și calculatorul ecuației dreptei. Recapitulează și ecuația dreptei și panta.
Întrebări frecvente
Care este formula distanței dintre două drepte paralele? Pentru \( ax + by + c_1 = 0 \) și \( ax + by + c_2 = 0 \), distanța este \( \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Coeficienții lui \( x \) și \( y \) trebuie să fie aceiași în ambele ecuații.
Ce fac dacă dreptele au coeficienți diferiți, dar proporționali? Împarți (sau înmulțești) una dintre ecuații astfel încât coeficienții lui \( x \) și \( y \) să devină egali, apoi aplici formula. Alternativ, iei un punct de pe o dreaptă și calculezi distanța lui la cealaltă.
Cum calculez distanța dintre drepte paralele date sub forma y = mx + n? Folosești \( \dfrac{|n_1 - n_2|}{\sqrt{1 + m^2}} \), unde \( m \) este panta comună, iar \( n_1 \), \( n_2 \) sunt ordonatele la origine.
Cât este distanța dintre două drepte concurente? Două drepte concurente se intersectează, deci distanța minimă dintre punctele lor este \( 0 \); formula pentru drepte paralele nu se aplică.