Cercul: elemente, unghi la centru, arce — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este cercul și care sunt elementele lui (centru, rază, coardă, diametru, arc), ce este unghiul la centru și cum se măsoară arcele în grade. Măsurile de arce și unghiuri la centru stau la baza tuturor problemelor cu cercul de la Evaluarea Națională, din Subiectul al II-lea.

Teorie

Cercul și discul

Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea tuturor punctelor din plan aflate la distanța $r$ de punctul $O$. Se notează $\mathcal{C}(O,r)$. Îl construim cu compasul: vârful în $O$, deschiderea egală cu $r$.

Pentru un punct $M$ din plan comparăm $OM$ cu raza:

• $OM<r$: $M$ este în interiorul cercului;
• $OM=r$: $M$ este pe cerc;
• $OM>r$: $M$ este în exteriorul cercului.

Cercul împreună cu interiorul său formează discul.

Elementele cercului

• Raza este segmentul care unește centrul cu un punct al cercului ($[OA]$); toate razele au aceeași lungime $r$.
• Coarda este segmentul care unește două puncte ale cercului ($[CD]$).
• Diametrul este coarda care trece prin centru ($[MN]$); are lungimea $d=2r$, pentru că $MN=MO+ON=r+r$. Diametrul este cea mai lungă coardă. Capetele unui diametru se numesc puncte diametral opuse.
• Arcul de cerc este porțiunea de cerc dintre două puncte ale lui. Două puncte $A$ și $B$ împart cercul în două arce: arcul mic și arcul mare; se notează $\stackrel{⌢}{AB}$. Capetele unui diametru împart cercul în două semicercuri.

Unghiul la centru și măsura arcului

Un unghi la centru este un unghi cu vârful în centrul cercului, de exemplu $\mathrm{\angle }AOB$. El „decupează” din cerc arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$, cel aflat în interiorul unghiului. Prin definiție, măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător:

$$m(\stackrel{⌢}{AB})=m(\mathrm{\angle }AOB).$$

Unghiurile în jurul punctului $O$ au suma ${360}^{\circ }$, de aceea cercul întreg are ${360}^{\circ }$, arcul mare $AB$ are ${360}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }AOB)$, iar un semicerc are ${180}^{\circ }$ (unghiul la centru este un unghi alungit). Arcele măsurate în grade nu depind de mărimea cercului: un sfert de cerc are ${90}^{\circ }$ atât la un cerc mic, cât și la unul mare.

Arce congruente. În același cerc (sau în cercuri cu raze egale), două arce sunt congruente dacă au aceeași măsură, adică dacă unghiurile la centru corespunzătoare sunt congruente.

De reținut

• $d=2r$; diametrul este cea mai lungă coardă.
• Poziția unui punct: comparăm distanța $OM$ cu raza $r$.
• Măsura arcului mic = măsura unghiului la centru; arcul mare = ${360}^{\circ }$ minus arcul mic.
• Arcele în care niște puncte împart cercul au suma ${360}^{\circ }$.
• Diametrele formează unghiuri la centru opuse la vârf, deci arce congruente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Cercul $\mathcal{C}(O,r)$ are diametrul de 9 cm. Află raza și precizează poziția punctelor $A,B,C$ față de cerc, știind că $OA=3$ cm, $OB=4,5$ cm și $OC=6$ cm.

Vezi rezolvarea

1. $r=d:2=9:2=4,5$ cm.
2. $OA=3<4,5$: $A$ este în interiorul cercului; $OB=4,5=r$: $B$ este pe cerc; $OC=6>4,5$: $C$ este în exterior.

Răspuns: $r=4,5$ cm; $A$ în interior, $B$ pe cerc, $C$ în exterior

Exemplul 2. Punctele $A$ și $B$ se află pe cercul de centru $O$, iar $m(\mathrm{\angle }AOB)={72}^{\circ }$. Află măsura arcului mic și a arcului mare $AB$.

Vezi rezolvarea

1. Arcul mic are măsura unghiului la centru: $m(\stackrel{⌢}{AB})={72}^{\circ }$.
2. Arcul mare: ${360}^{\circ }-{72}^{\circ }={288}^{\circ }$.

Răspuns: arcul mic ${72}^{\circ }$, arcul mare ${288}^{\circ }$

Exemplul 3. În cercul de centru $O$, segmentele $[AB]$ și $[CD]$ sunt diametre, iar $m(\mathrm{\angle }AOC)={40}^{\circ }$. Află măsurile arcelor mici $\stackrel{⌢}{AC}$, $\stackrel{⌢}{BD}$, $\stackrel{⌢}{BC}$ și $\stackrel{⌢}{AD}$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\stackrel{⌢}{AC})=m(\mathrm{\angle }AOC)={40}^{\circ }$.
2. $\mathrm{\angle }BOD$ este opus la vârf cu $\mathrm{\angle }AOC$: $m(\stackrel{⌢}{BD})={40}^{\circ }$.
3. $\mathrm{\angle }AOC$ și $\mathrm{\angle }COB$ sunt adiacente suplementare ($A,O,B$ coliniare): $m(\mathrm{\angle }COB)={140}^{\circ }$, deci $m(\stackrel{⌢}{BC})={140}^{\circ }$; la fel $m(\stackrel{⌢}{AD})={140}^{\circ }$.
4. Verificare: ${40}^{\circ }+{140}^{\circ }+{40}^{\circ }+{140}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Răspuns: ${40}^{\circ },{40}^{\circ },{140}^{\circ },{140}^{\circ }$

Exemplul 4. Punctele $A,B,C$ împart cercul de centru $O$ în arcele $\stackrel{⌢}{AB},\stackrel{⌢}{BC},\stackrel{⌢}{CA}$ (fără puncte interioare comune), cu măsurile direct proporționale cu 2, 3 și 7. Află măsurile arcelor și ale unghiurilor $AOB$, $BOC$ și $AOC$.

Vezi rezolvarea

1. Arcele au $2k,3k,7k$, cu suma ${360}^{\circ }$: $12k={360}^{\circ }$, deci $k={30}^{\circ }$.
2. $m(\stackrel{⌢}{AB})={60}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{BC})={90}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{CA})={210}^{\circ }$.
3. $m(\mathrm{\angle }AOB)={60}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }BOC)={90}^{\circ }$.
4. Arcul $\stackrel{⌢}{CA}$ de ${210}^{\circ }$ este arc mare; unghiul $AOC$ cuprinde arcul mic $AC$, care are ${360}^{\circ }-{210}^{\circ }={150}^{\circ }$ (este arcul care trece prin $B$: ${60}^{\circ }+{90}^{\circ }$). Deci $m(\mathrm{\angle }AOC)={150}^{\circ }$.

Răspuns: arcele ${60}^{\circ },{90}^{\circ },{210}^{\circ }$; $m(\mathrm{\angle }AOB)={60}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }BOC)={90}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AOC)={150}^{\circ }$

Exemplul 5. Punctele $A$ și $B$ sunt pe cercul de centru $O$, iar arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${110}^{\circ }$. Bisectoarea unghiului $AOB$ taie cercul în $M$, iar semidreapta opusă semidreptei $OM$ taie cercul în $N$. Află $m(\stackrel{⌢}{AM})$ și măsura arcului mic $\stackrel{⌢}{BN}$.

Vezi rezolvarea

1. $m(\mathrm{\angle }AOB)={110}^{\circ }$, iar bisectoarea îl împarte în două: $m(\mathrm{\angle }AOM)=m(\mathrm{\angle }MOB)={55}^{\circ }$, deci $m(\stackrel{⌢}{AM})={55}^{\circ }$.
2. $M,O,N$ sunt coliniare, deci $[MN]$ este diametru și $\mathrm{\angle }MOB$, $\mathrm{\angle }BON$ sunt adiacente suplementare: $m(\mathrm{\angle }BON)={180}^{\circ }-{55}^{\circ }={125}^{\circ }$.
3. Așadar arcul mic $\stackrel{⌢}{BN}$ are ${125}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\stackrel{⌢}{AM})={55}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{BN})={125}^{\circ }$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Punctele $A,B,C,D$ se află, în această ordine, pe cercul de centru $O$, iar arcele $\stackrel{⌢}{AB},\stackrel{⌢}{BC},\stackrel{⌢}{CD},\stackrel{⌢}{DA}$ (fără puncte interioare comune) au măsurile direct proporționale cu 1, 3, 2 și 2.
a) Arată că $[AC]$ este diametru.
b) Află $m(\mathrm{\angle }BOD)$ și verifică dacă $[BD]$ este diametru.

Vezi rezolvarea

1. Arcele au $k,3k,2k,2k$: $8k={360}^{\circ }\Rightarrow k={45}^{\circ }$. Deci $m(\stackrel{⌢}{AB})={45}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{BC})={135}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{CD})={90}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{DA})={90}^{\circ }$.
2. a) $m(\mathrm{\angle }AOB)+m(\mathrm{\angle }BOC)={45}^{\circ }+{135}^{\circ }={180}^{\circ }$. Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente și suplementare, deci semidreptele $OA$ și $OC$ sunt opuse: $A,O,C$ sunt coliniare și $[AC]$ este diametru.
3. b) Arcul $BCD$ are ${135}^{\circ }+{90}^{\circ }={225}^{\circ }$, iar arcul $DAB$ are ${90}^{\circ }+{45}^{\circ }={135}^{\circ }$. Unghiul $BOD$ cuprinde arcul mic, de ${135}^{\circ }$: $m(\mathrm{\angle }BOD)={135}^{\circ }$.
4. Cum ${135}^{\circ }\ne {180}^{\circ }$, punctele $B,O,D$ nu sunt coliniare, deci $[BD]$ nu este diametru.

Răspuns: a) $[AC]$ este diametru; b) $m(\mathrm{\angle }BOD)={135}^{\circ }$, $[BD]$ nu este diametru

Greșeli frecvente

• Confunzi raza cu diametrul: diametrul este dublul razei. Un cerc cu diametrul 10 cm are raza 5 cm, nu 10 cm.
• Iei arcul mare drept măsură a unghiului la centru: unghiul la centru (sub ${180}^{\circ }$) are măsura arcului mic; arcul mare se află scăzând din ${360}^{\circ }$ (exemplul 4).
• Uiți că suma arcelor este ${360}^{\circ }$, nu ${180}^{\circ }$: ${180}^{\circ }$ are doar semicercul.
• Crezi că orice coardă trece prin centru: doar diametrul trece prin centru; celelalte coarde sunt mai scurte decât diametrul.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: triunghiul isoscel, echilateral și cercul, clasa a 6-a (exercițiile despre rază, diametru, poziția unui punct, arce proporționale) și testul de recapitulare la geometrie.
• La Evaluarea Națională: Model EN 2026, Subiectul al II-lea, itemul 11 (diametrele $AB$ și $CD$, arcul $AD$ de ${52}^{\circ }$: arcul $BC$ are tot ${52}^{\circ }$ ca în exemplul 3, iar unghiul cerut se termină cu unghiul înscris din clasa a 7-a, rezolvat aici).
• Toate problemele cu cercul date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — cercul.
• Lungimea cercului și aria discului: cercul — formule; în clasa a 7-a continui cu unghiul înscris în cerc.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre coardă și diametru? Coarda unește oricare două puncte ale cercului. Diametrul este o coardă specială, care trece prin centru; are lungimea egală cu dublul razei și este cea mai lungă coardă.

Cât măsoară un arc de cerc? Arcul mic dintre două puncte $A$ și $B$ are măsura unghiului la centru $AOB$. Arcul mare are ${360}^{\circ }$ minus arcul mic, iar semicercul are ${180}^{\circ }$.

Ce este unghiul la centru? Este unghiul care are vârful în centrul cercului și laturile prin două puncte ale cercului. Măsura lui este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturi.