Unghiul la centru și unghiul înscris în cerc — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un unghi înscris în cerc și de ce măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins între laturi, adică jumătate din unghiul la centru corespunzător. Cu această regulă afli unghiuri dintr-un cerc fără raportor; la Evaluarea Națională apare aproape în fiecare an, la Subiectul al II-lea.

Teorie

Unghiul la centru (recapitulare din clasa a VI-a)

Un unghi la centru are vârful în centrul $O$ al cercului. Unghiul $AOB$ „decupează” din cerc arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$. Prin definiție, măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru:

$$m(\stackrel{⌢}{AB})=m(\mathrm{\angle }AOB).$$

Arcul mare $AB$ are ${360}^{\circ }-m(\mathrm{\angle }AOB)$. Un semicerc (arcul determinat de un diametru) are ${180}^{\circ }$, iar cercul întreg are ${360}^{\circ }$.

Unghiul înscris în cerc

Un unghi înscris în cerc are vârful pe cerc, iar laturile sale conțin două coarde ale cercului. În figură, $\mathrm{\angle }ABC$ este înscris: vârful $B$ este pe cerc, laturile conțin coardele $BA$ și $BC$. Arcul $\stackrel{⌢}{AC}$ care se află în interiorul unghiului (cel care nu conține vârful $B$) se numește arcul cuprins între laturile unghiului.

Teoremă. Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale:

$$m(\mathrm{\angle }ABC)=\frac{m(\stackrel{⌢}{AC})}{2}=\frac{m(\mathrm{\angle }AOC)}{2}.$$

De ce este adevărat? Să luăm întâi cazul în care o latură a unghiului este diametru: $B,O,C$ coliniare, adică $[BC]$ diametru. Triunghiul $AOB$ este isoscel, pentru că $OA=OB$ (raze), deci $\mathrm{\angle }OAB\equiv \mathrm{\angle }OBA$; notăm măsura lor cu $x$. Unghiul $AOC$ este unghi exterior triunghiului $AOB$, deci (teorema unghiului exterior) $m(\mathrm{\angle }AOC)=x+x=2x$. Dar $\mathrm{\angle }AOC$ este unghiul la centru al arcului $\stackrel{⌢}{AC}$, deci $m(\stackrel{⌢}{AC})=2x$, iar unghiul înscris $ABC$ are $x$, adică jumătate. Dacă centrul este în interiorul unghiului, ducem diametrul din $B$ și adunăm două unghiuri de acest tip; dacă centrul este în exterior, le scădem. În toate cazurile rezultatul este același.

Consecințe importante

• Unghiurile înscrise care cuprind același arc sunt congruente (fiecare are jumătate din același arc). De exemplu, dacă $A,B,C,D$ sunt pe cerc și $C,D$ sunt de aceeași parte a coardei $AB$, atunci $\mathrm{\angle }ACB\equiv \mathrm{\angle }ADB$.
• Unghiul înscris într-un semicerc este drept. Dacă $[AB]$ este diametru și $C$ este pe cerc, atunci $m(\mathrm{\angle }ACB)=\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$. Deci un triunghi înscris în cerc care are o latură diametru este dreptunghic (ipotenuza este diametrul).
• Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc: $m(\mathrm{\angle }ABC)=\frac{1}{2}m(\mathrm{\angle }AOC)$.

De reținut

• Unghi la centru: vârful în $O$; măsura lui = măsura arcului.
• Unghi înscris: vârful pe cerc; măsura lui = jumătate din arcul cuprins între laturi.
• Arcul cuprins este arcul care nu conține vârful unghiului.
• Diametru + punct pe cerc ⇒ unghi drept în acel punct.
• Suma măsurilor arcelor în care punctele împart cercul este ${360}^{\circ }$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Punctele $A,B,C$ sunt pe cercul de centru $O$, iar arcul $\stackrel{⌢}{AC}$ care nu conține punctul $B$ are ${80}^{\circ }$. Află $m(\mathrm{\angle }ABC)$ și $m(\mathrm{\angle }AOC)$.

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{\angle }AOC$ este unghi la centru pentru arcul $\stackrel{⌢}{AC}$: $m(\mathrm{\angle }AOC)={80}^{\circ }$.
2. $\mathrm{\angle }ABC$ este unghi înscris care cuprinde același arc: $m(\mathrm{\angle }ABC)=\frac{{80}^{\circ }}{2}={40}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }ABC)={40}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AOC)={80}^{\circ }$

Exemplul 2. Punctele $A,B,C$ sunt pe cercul de centru $O$, iar $m(\mathrm{\angle }ACB)={35}^{\circ }$. Află măsura arcului mic $\stackrel{⌢}{AB}$, a unghiului $AOB$ și a arcului mare $AB$.

Vezi rezolvarea

1. Unghiul înscris are jumătate din arcul cuprins, deci arcul este dublul unghiului: $m(\stackrel{⌢}{AB})=2\cdot {35}^{\circ }={70}^{\circ }$.
2. Unghiul la centru are măsura arcului: $m(\mathrm{\angle }AOB)={70}^{\circ }$.
3. Arcul mare: ${360}^{\circ }-{70}^{\circ }={290}^{\circ }$.

Răspuns: arcul mic ${70}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AOB)={70}^{\circ }$, arcul mare ${290}^{\circ }$

Exemplul 3. Segmentul $[AB]$ este diametru al cercului de centru $O$, iar $C$ este un punct al cercului cu $m(\mathrm{\angle }CAB)={28}^{\circ }$. Află măsurile unghiurilor triunghiului $ABC$ și măsurile arcelor $\stackrel{⌢}{AC}$ și $\stackrel{⌢}{BC}$ (cele care nu conțin al treilea punct).

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{\angle }ACB$ este înscris în semicerc (cuprinde semicercul determinat de diametrul $[AB]$), deci $m(\mathrm{\angle }ACB)={90}^{\circ }$.
2. Suma unghiurilor triunghiului: $m(\mathrm{\angle }ABC)$ $={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{28}^{\circ }$ $={62}^{\circ }$.
3. $\mathrm{\angle }CAB$ cuprinde arcul $\stackrel{⌢}{BC}$: $m(\stackrel{⌢}{BC})=2\cdot {28}^{\circ }={56}^{\circ }$.
4. $\mathrm{\angle }ABC$ cuprinde arcul $\stackrel{⌢}{AC}$: $m(\stackrel{⌢}{AC})=2\cdot {62}^{\circ }={124}^{\circ }$.
5. Verificare: ${56}^{\circ }+{124}^{\circ }={180}^{\circ }$, cât are semicercul de deasupra diametrului.

Răspuns: ${28}^{\circ },{62}^{\circ },{90}^{\circ }$; $m(\stackrel{⌢}{AC})={124}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{BC})={56}^{\circ }$

Exemplul 4. Punctele $A,B,C$ împart cercul în arcele $\stackrel{⌢}{AB},\stackrel{⌢}{BC},\stackrel{⌢}{CA}$ (fără puncte interioare comune), cu măsurile direct proporționale cu numerele 2, 3 și 4. Află măsurile unghiurilor triunghiului $ABC$.

Vezi rezolvarea

1. Arcele au măsurile $2k,3k,4k$, iar suma lor este ${360}^{\circ }$: $9k={360}^{\circ }\Rightarrow k={40}^{\circ }$.
2. $m(\stackrel{⌢}{AB})={80}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{BC})={120}^{\circ }$, $m(\stackrel{⌢}{CA})={160}^{\circ }$.
3. Fiecare unghi al triunghiului este înscris și cuprinde arcul opus vârfului: $m(\mathrm{\angle }C)=\frac{{80}^{\circ }}{2}={40}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }A)=\frac{{120}^{\circ }}{2}={60}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }B)=\frac{{160}^{\circ }}{2}={80}^{\circ }$.
4. Verificare: ${40}^{\circ }+{60}^{\circ }+{80}^{\circ }={180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }A)={60}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }B)={80}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }C)={40}^{\circ }$

Exemplul 5. Triunghiul $ABC$ este înscris în cercul de centru $O$, iar punctele $C$ și $O$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$. Știind că $m(\mathrm{\angle }OAB)={25}^{\circ }$, află $m(\mathrm{\angle }ACB)$.

Vezi rezolvarea

1. $OA=OB$ (raze), deci triunghiul $AOB$ este isoscel: $m(\mathrm{\angle }OBA)=m(\mathrm{\angle }OAB)={25}^{\circ }$.
2. $m(\mathrm{\angle }AOB)$ $={180}^{\circ }-{25}^{\circ }-{25}^{\circ }$ $={130}^{\circ }$, deci arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$ are ${130}^{\circ }$.
3. $C$ este pe arcul mare (de aceeași parte cu centrul), deci $\mathrm{\angle }ACB$ cuprinde arcul mic $\stackrel{⌢}{AB}$: $m(\mathrm{\angle }ACB)=\frac{{130}^{\circ }}{2}={65}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }ACB)={65}^{\circ }$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Pe cercul de centru $O$ și rază 5 cm se iau punctele $A,B,C,D$, în această ordine, astfel încât $[AC]$ și $[BD]$ sunt diametre și $m(\mathrm{\angle }AOB)={60}^{\circ }$.
a) Arată că $ABCD$ este dreptunghi.
b) Calculează lungimile segmentelor $AB$ și $AC$ și măsura unghiului $ACB$.

Vezi rezolvarea

1. a) Diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ ale patrulaterului $ABCD$ se înjumătățesc (au mijlocul comun $O$), deci $ABCD$ este paralelogram. În plus, $AC=BD=10$ cm (diametre), iar un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi. (Altfel: $\mathrm{\angle }ABC$ este înscris în semicercul de diametru $[AC]$, deci este drept.)
2. b) Triunghiul $AOB$ are $OA=OB=5$ cm și $m(\mathrm{\angle }AOB)={60}^{\circ }$, deci este isoscel cu un unghi de ${60}^{\circ }$, adică echilateral: $AB=5$ cm.
3. $AC$ este diametru: $AC=2\cdot 5=10$ cm.
4. $\mathrm{\angle }ACB$ este înscris și cuprinde arcul $\stackrel{⌢}{AB}$ de ${60}^{\circ }$: $m(\mathrm{\angle }ACB)={30}^{\circ }$. (Se potrivește cu regula din clasa a VI-a: în triunghiul dreptunghic $ABC$, cateta $AB=5$ cm este jumătate din ipotenuza $AC=10$ cm, deci se opune unghiului de ${30}^{\circ }$.)

Răspuns: b) $AB=5$ cm, $AC=10$ cm, $m(\mathrm{\angle }ACB)={30}^{\circ }$

Greșeli frecvente

• Uiți împărțirea la 2: doar unghiul la centru are măsura egală cu arcul; unghiul înscris are jumătate. Dacă arcul are ${100}^{\circ }$, unghiul înscris are ${50}^{\circ }$, nu ${100}^{\circ }$.
• Iei arcul greșit: arcul cuprins între laturi este cel care nu conține vârful. Dacă vârful $C$ e pe arcul mare $AB$, unghiul $ACB$ cuprinde arcul mic (exemplul 5).
• Numești „unghi la centru” orice unghi din cerc: unghi la centru înseamnă vârful exact în $O$. Un unghi cu vârful pe cerc este înscris, chiar dacă o latură trece prin centru.
• Confunzi măsura arcului cu lungimea lui: măsura arcului se dă în grade; lungimea arcului (în cm) depinde și de rază și o calculezi abia la lecția despre lungimea cercului.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: cercul, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: EN 2026, Subiectul al II-lea, itemul 11 (diametru și unghiuri înscrise care cuprind același arc, rezolvat aici) și Modelul EN 2027, Subiectul al II-lea, itemul 11 (trei arce egale, unghi înscris, rezolvat aici).
• Toate problemele cu cercul date la EN: geometrie plană la Evaluarea Națională — cercul.
• Formulele cercului (lungime, arie, arc, sector): cercul — formule.

Întrebări frecvente

Ce este un unghi înscris în cerc? Este un unghi cu vârful pe cerc, ale cărui laturi conțin două coarde ale cercului. Măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins între laturi.

Care este diferența dintre unghiul la centru și unghiul înscris? Unghiul la centru are vârful în centrul cercului și are aceeași măsură ca arcul pe care îl cuprinde; unghiul înscris are vârful pe cerc și are jumătate din măsura arcului cuprins.

De ce unghiul înscris într-un semicerc are 90°? Pentru că semicercul are ${180}^{\circ }$, iar unghiul înscris are jumătate din arcul cuprins: ${180}^{\circ }:2={90}^{\circ }$. De aceea un triunghi înscris care are o latură diametru este dreptunghic.