Criteriile de congruență a triunghiurilor — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli când două triunghiuri sunt congruente și cum o arăți fără să compari toate cele șase elemente: cu criteriile LUL, ULU și LLL. Odată ce două triunghiuri sunt congruente, toate laturile și unghiurile corespunzătoare sunt congruente; așa se demonstrează că două segmente sau două unghiuri sunt egale, în problemele de geometrie de la Evaluarea Națională, Subiectul al III-lea.

Teorie

Triunghiuri congruente

Două triunghiuri sunt congruente dacă se pot suprapune exact. Scriem $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$ și înțelegem că vârfurile se corespund în ordinea scrisă: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$. Atunci au loc șase congruențe:

$$\begin{array}{rlrl}& \equiv [DE],& \sphericalangle A& \equiv \sphericalangle D,\\ [BC]& \equiv [EF],& \sphericalangle B& \equiv \sphericalangle E,\\ [CA]& \equiv [FD],& \sphericalangle C& \equiv \sphericalangle F.\end{array}$$

Laturile congruente se opun unghiurilor congruente: de exemplu, $[BC]$ (opusă lui $A$) corespunde lui $[EF]$ (opusă lui $D$). De aceea ordinea literelor în notație contează.

Criteriile de congruență

Din lecția despre construcția triunghiurilor știi că trei elemente potrivite (LUL, ULU sau LLL) determină un singur triunghi. Deci, dacă două triunghiuri au aceste trei elemente respectiv congruente, ele au aceeași formă și mărime, adică sunt congruente:

• Cazul LUL: dacă două laturi și unghiul cuprins între ele dintr-un triunghi sunt respectiv congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, triunghiurile sunt congruente.
• Cazul ULU: dacă o latură și cele două unghiuri alăturate ei sunt respectiv congruente cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, triunghiurile sunt congruente.
• Cazul LLL: dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu cele trei laturi ale altui triunghi, triunghiurile sunt congruente.

În figură, $[AB]\equiv [DE]$, $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle E$, $[BC]\equiv [EF]$, deci $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$ (LUL). De aici rezultă și celelalte trei congruențe: $[AC]\equiv [DF]$, $\sphericalangle A\equiv \sphericalangle D$, $\sphericalangle C\equiv \sphericalangle F$.

Cum scrii o demonstrație

Problemele cu triunghiuri congruente se redactează în trei pași: ipoteza (ce se dă), concluzia (ce trebuie arătat) și demonstrația. În demonstrație alegi două triunghiuri care conțin elementele din concluzie, scrii cele trei perechi de elemente congruente, fiecare cu justificarea ei, și numești criteriul:

De exemplu, când toate trei perechile vin din ipoteză:

$$\begin{array}{l}[AB]\equiv [DE]\\ \sphericalangle B\equiv \sphericalangle E\\ [BC]\equiv [EF]\end{array}\}\stackrel{\text{LUL}}{⟹}\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$$

și apoi concluzia: $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF\Rightarrow [AC]\equiv [DF]$.

Justificări frecvente: „latură comună”, „unghiuri opuse la vârf”, „unghi comun”, „mijlocul segmentului”, „bisectoare”, „unghiuri alterne interne” (la drepte paralele).

Ce NU este criteriu

• UUU (trei unghiuri congruente): un triunghi echilateral cu latura 2 cm și unul cu latura 5 cm au toate unghiurile de ${60}^{\circ }$, dar nu sunt congruente.
• LLU cu unghiul neinclus între laturi: în general nu ajunge (pot exista două triunghiuri diferite cu aceleași date). La LUL unghiul trebuie să fie cel dintre cele două laturi.

De reținut

• $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$ înseamnă 3 laturi și 3 unghiuri respectiv congruente, în ordinea literelor.
• Criterii: LUL (unghiul dintre laturi), ULU (unghiurile alăturate laturii), LLL.
• Elementele corespunzătoare se opun elementelor corespunzătoare.
• Ca să arăți că două segmente (unghiuri) sunt congruente, le pui în două triunghiuri pe care le dovedești congruente.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Triunghiurile $ABC$ și $MNP$ au $AB=MN=6$ cm, $m(\sphericalangle A)$ $=m(\sphericalangle M)$ $={50}^{\circ }$ și $m(\sphericalangle B)$ $=m(\sphericalangle N)$ $={65}^{\circ }$. Sunt ele congruente? Dacă $BC=7$ cm, cât este $NP$?

Vezi rezolvarea

1. $[AB]\equiv [MN]$, iar unghiurile $A,B$ sunt alăturate laturii $[AB]$, la fel ca unghiurile $M,N$ față de $[MN]$.
2. Din cazul ULU: $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}MNP$.
3. Laturile corespunzătoare: $[BC]\leftrightarrow [NP]$, deci $NP=BC=7$ cm.

Răspuns: da (ULU); $NP=7$ cm

Exemplul 2. Segmentele $[AB]$ și $[CD]$ se intersectează în punctul $O$, care este mijlocul fiecăruia. Arată că $[AC]\equiv [BD]$. Dacă $AC=7,5$ cm, cât este $BD$?

Vezi rezolvarea

1. Ipoteza: $AO=OB$, $CO=OD$. Concluzia: $[AC]\equiv [BD]$.
2. Comparăm triunghiurile $AOC$ și $BOD$: $[OA]\equiv [OB]$ și $[OC]\equiv [OD]$ ($O$ mijloc), iar $\sphericalangle AOC\equiv \sphericalangle BOD$ (unghiuri opuse la vârf).
3. Unghiul este cuprins între cele două laturi, deci $\mathrm{△}AOC\equiv \mathrm{△}BOD$ (LUL).
4. Laturile opuse unghiurilor congruente din $O$ sunt congruente: $[AC]\equiv [BD]$, deci $BD=7,5$ cm.

Răspuns: $BD=7,5$ cm

Exemplul 3. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$. Prin $M$ trece o dreaptă care intersectează în $C$ și $D$ două semidrepte duse din $A$ și din $B$, de o parte și de alta a lui $AB$, astfel încât $\sphericalangle MAC\equiv \sphericalangle MBD$. Arată că $M$ este mijlocul lui $[CD]$.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiurile $AMC$ și $BMD$: $[AM]\equiv [BM]$ ($M$ mijlocul lui $[AB]$).
2. $\sphericalangle MAC\equiv \sphericalangle MBD$ (ipoteză) și $\sphericalangle AMC\equiv \sphericalangle BMD$ (unghiuri opuse la vârf).
3. Unghiurile sunt alăturate laturilor $[AM]$, respectiv $[BM]$, deci $\mathrm{△}AMC\equiv \mathrm{△}BMD$ (ULU).
4. Rezultă $[MC]\equiv [MD]$ și, cum $C,M,D$ sunt coliniare, $M$ este mijlocul lui $[CD]$.

Răspuns: $MC=MD$, deci $M$ este mijlocul lui $[CD]$

Exemplul 4. În patrulaterul $ABCD$, $AB=AD$ și $CB=CD$, iar $m(\sphericalangle BAD)={80}^{\circ }$. Arată că $[AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și află $m(\sphericalangle BAC)$.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiurile $ABC$ și $ADC$: $[AB]\equiv [AD]$, $[CB]\equiv [CD]$ (ipoteză) și $[AC]$ latură comună.
2. Din cazul LLL: $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}ADC$, deci $\sphericalangle BAC\equiv \sphericalangle DAC$ (se opun laturilor congruente $[BC]$ și $[DC]$).
3. $[AC$ împarte unghiul $BAD$ în două unghiuri congruente, deci este bisectoarea lui: $m(\sphericalangle BAC)$ $={80}^{\circ }:2$ $={40}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\sphericalangle BAC)={40}^{\circ }$

Exemplul 5. Triunghiul $ABC$ are $AB=AC$, iar $M$ este mijlocul laturii $[BC]$. Arată că $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle C$ și că $AM\perp BC$.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiurile $ABM$ și $ACM$: $[AB]\equiv [AC]$ (ipoteză), $[BM]\equiv [CM]$ ($M$ mijloc), $[AM]$ latură comună.
2. Din LLL: $\mathrm{△}ABM\equiv \mathrm{△}ACM$, deci $\sphericalangle ABM\equiv \sphericalangle ACM$, adică $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle C$.
3. Tot din congruență: $\sphericalangle AMB\equiv \sphericalangle AMC$. Ele sunt adiacente suplementare ($B,M,C$ coliniare), deci fiecare are ${180}^{\circ }:2={90}^{\circ }$: $AM\perp BC$.

Răspuns: $\sphericalangle B\equiv \sphericalangle C$ și $m(\sphericalangle AMB)={90}^{\circ }$ (vei folosi acest rezultat la lecția despre triunghiul isoscel).

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Triunghiul $ABC$ are $AB=AC$. Punctele $D\in [AB]$ și $E\in [AC]$ sunt astfel încât $AD=AE$. a) Arată că $[BE]\equiv [CD]$. b) Arată că $\sphericalangle DCB\equiv \sphericalangle EBC$. c) Dacă $BE=9$ cm, $AD=4$ cm și $AB=10$ cm, află perimetrul triunghiului $ACD$.

Vezi rezolvarea

1. a) În triunghiurile $ABE$ și $ACD$: $[AB]\equiv [AC]$, $\sphericalangle BAE\equiv \sphericalangle CAD$ (unghi comun, $\sphericalangle A$), $[AE]\equiv [AD]$. Din LUL: $\mathrm{△}ABE\equiv \mathrm{△}ACD$, deci $[BE]\equiv [CD]$.
2. b) $DB=AB-AD$ și $EC=AC-AE$, deci $[DB]\equiv [EC]$. În triunghiurile $DBC$ și $ECB$: $[DB]\equiv [EC]$, $[DC]\equiv [EB]$ (de la a) și $[BC]$ latură comună. Din LLL: $\mathrm{△}DBC\equiv \mathrm{△}ECB$, deci $\sphericalangle DCB\equiv \sphericalangle EBC$ (se opun laturilor congruente $[DB]$ și $[EC]$).
3. c) $CD=BE=9$ cm, $AC=AB=10$ cm, $AD=4$ cm: $P_{\mathrm{△}ACD}$ $=10+9+4$ $=23$ cm.

Răspuns: c) $P_{\mathrm{△}ACD}=23$ cm

Greșeli frecvente

• Folosești LUL cu un unghi care nu e între laturi: la LUL unghiul trebuie să fie format de cele două laturi date. Două laturi și un unghi opus uneia dintre ele nu garantează congruența.
• Scrii vârfurile în ordinea greșită: dacă $\sphericalangle A\equiv \sphericalangle E$, notația corectă începe cu $\mathrm{△}A\dots \equiv \mathrm{△}E\dots$; altfel deduci congruențe false din notație.
• Crezi că trei unghiuri congruente ajung: UUU nu este criteriu; triunghiurile pot avea aceeași formă, dar mărimi diferite.
• Nu justifici fiecare pereche: la fiecare congruență scrie de unde vine (ipoteză, latură comună, opuse la vârf, mijloc). La Evaluarea Națională punctajul se acordă pe justificări.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: congruența triunghiurilor, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Recapitulează construcțiile pe care se sprijină criteriile: construcția triunghiurilor; inegalități între elemente.
• La Evaluarea Națională: Modelul EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 5 b) (triunghiuri congruente prin LUL pentru a arăta că trei puncte sunt coliniare, rezolvat aici) și EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 4 b) (triunghiurile $ADE$ și $CDE$ congruente prin LLL, rezolvat aici).
• Toate problemele de geometrie plană date la EN: Subiectul al III-lea, demonstrații și calcule.

Întrebări frecvente

Care sunt criteriile de congruență a triunghiurilor? Sunt trei: LUL (două laturi și unghiul dintre ele), ULU (o latură și cele două unghiuri alăturate ei) și LLL (trei laturi). Dacă elementele respective sunt congruente, triunghiurile sunt congruente.

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente? Înseamnă că se pot suprapune: au laturile corespunzătoare congruente și unghiurile corespunzătoare congruente, în ordinea în care sunt scrise vârfurile în notația $\mathrm{△}ABC\equiv \mathrm{△}DEF$.

De ce UUU nu este criteriu de congruență? Pentru că trei unghiuri fixează doar forma triunghiului, nu și mărimea lui: un triunghi echilateral mic și unul mare au aceleași unghiuri, dar laturi diferite.