Integrarea funcțiilor raționale — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să calculezi integrale din funcții raționale $\frac{P(x)}{Q(x)}$: împarți polinoamele dacă gradul numărătorului nu e mai mic decât al numitorului, descompui fracția în fracții simple și integrezi fiecare termen cu $\ln$ sau $\mathrm{arctg}$. Metoda apare aproape în fiecare an la Bacalaureat, la Subiectul III.2 (M1 și M2).

Lecția este în programa de clasa a XII-a la profilul mate-info (M1) și, cu aceeași restricție (numitor de grad cel mult 4), în programa de la științele naturii (M2). Ai nevoie de tabelul de primitive, de formula Leibniz–Newton și de împărțirea polinoamelor.

Teorie

Funcții raționale; fracții proprii

O funcție rațională este o funcție de forma $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, unde $P$ și $Q$ sunt polinoame cu coeficienți reali, $Q\ne 0$, definită pe un interval $I$ pe care $Q$ nu se anulează. Pe un astfel de interval $f$ este continuă, deci are primitive și este integrabilă pe orice $[a,b]\subset I$.

Fracția este proprie dacă $\mathrm{grad}P<\mathrm{grad}Q$. Dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$, împarți cu rest: $P=Q\cdot C+R$, cu $\mathrm{grad}R<\mathrm{grad}Q$, și obții

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},$$

adică un polinom (care se integrează imediat) plus o fracție proprie. Exemplu: $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$.

Primitivele de bază

Toate calculele se reduc la câteva primitive din tabel (pe intervale pe care numitorii nu se anulează; $a>0$):

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{x-\alpha }dx=\ln |x-\alpha |+C,\int \frac{1}{(x-\alpha {)}^k}dx=-\frac{1}{(k-1)(x-\alpha {)}^{k-1}}+C(k\ge 2),\\ & \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+C,\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C,\\ & \int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+C,\int \frac{x}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+a^2)+C.\end{array}$$

Atenție la coeficientul lui $x$: $\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$, pentru că ${(\ln |2x+1|)}^{\prime }=\frac{2}{2x+1}$.

Descompunerea în fracții simple

Fracțiile simple (pe $\mathbb{R}$) sunt de forma

$$\frac{A}{(x-\alpha {)}^k}\text{și}\frac{Bx+C}{{(x^2+px+q)}^k},\text{cu }{p}^2-4q<0,k\ge 1.$$

Proprietate (o folosim fără demonstrație, ca în programă): orice fracție proprie $\frac{R}{Q}$ se scrie, în mod unic, ca sumă de fracții simple, după factorii ireductibili ai lui $Q$ peste $\mathbb{R}$:

• fiecărui factor $x-\alpha$ îi corespunde $\frac{A}{x-\alpha }$;
• unui factor $(x-\alpha {)}^2$ îi corespund două fracții: $\frac{A_1}{x-\alpha }+\frac{A_2}{(x-\alpha {)}^2}$;
• unui factor $x^2+px+q$ cu $\mathrm{\Delta }<0$ îi corespunde $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$ (numărător de gradul I, nu o constantă).

Exemplu de formă: $\frac{x^2+2}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$. Coeficienții se află aducând la același numitor și identificând coeficienții numărătorilor sau, mai repede, dând lui $x$ valori convenabile (rădăcinile numitorului).

Numitor de gradul al doilea $a{x}^2+bx+c$

Cazul	Ce faci
$\mathrm{\Delta }>0$ (rădăcini $x_1\ne x_2$)	$\frac{mx+n}{a(x-x_1)(x-x_2)}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$ → doi logaritmi
$\mathrm{\Delta }=0$ (rădăcina dublă $x_0$)	scrii numărătorul cu $x-x_0$: $\frac{A}{x-x_0}+\frac{B}{(x-x_0{)}^2}$ → logaritm + fracție
$\mathrm{\Delta }<0$	numărătorul = $\alpha \cdot (\text{derivata numitorului})+\beta$; restrângi pătratul în numitor → logaritm + arctangentă

De ce funcționează

Integrala este liniară: $\int (f+g)=\int f+\int g$ și $\int \lambda f=\lambda \int f$. Descompunerea transformă o fracție complicată într-o sumă de fracții simple, iar fiecare fracție simplă are o primitivă cunoscută (le poți verifica prin derivare). De exemplu, ${\left(\mathrm{arctg}\frac{x}{a}\right)}^{\prime }=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}=\frac{a}{x^2+a^2}$, de unde formula cu $\frac{1}{a}$ în față.

Algoritmul

1. Verifici gradele: dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$, împarți polinoamele.
2. Descompui numitorul în factori ireductibili (de gradul I și de gradul al II-lea cu $\mathrm{\Delta }<0$).
3. Scrii forma descompunerii și afli coeficienții.
4. Integrezi termen cu termen; la integrala definită aplici Leibniz–Newton și simplifici logaritmii.

De reținut

• Întâi gradele: fracție improprie → împărțire.
• Dacă numărătorul este (un multiplu al) derivatei numitorului, folosește direct $\int \frac{u^{\prime }}{u}=\ln |u|$.
• Factor la pătrat → două fracții; factor de gradul al II-lea ireductibil → numărător $Bx+C$.
• $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+C$, nu $\ln (x^2+1)$.
• Verificare rapidă: derivezi primitiva găsită și trebuie să obții funcția inițială.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (fracție improprie). Calculează ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{2x^2+3x}{x+2}dx}$.

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{grad}P=2\ge \mathrm{grad}Q=1$, deci împarți: $2x^2+3x=(x+2)(2x-1)+2$.
2. Rezultă $\frac{2x^2+3x}{x+2}=2x-1+\frac{2}{x+2}$, pentru $x\in [0,1]$.
3. ${\displaystyle {\int }_0^1(2x-1+\frac{2}{x+2})dx=(x^2-x+2\ln (x+2)){|}_0^1=0+2\ln 3-2\ln 2}$.

Răspuns: $2\ln \frac{3}{2}$

Exemplul 2 (numitor cu $\mathrm{\Delta }>0$). Calculează ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{x+5}{x^2+4x+3}dx}$.

Vezi rezolvarea

1. $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$, deci căutăm $\frac{x+5}{(x+1)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}$.
2. Aducând la același numitor: $x+5=A(x+3)+B(x+1)$. Pentru $x=-1$: $4=2A$, $A=2$; pentru $x=-3$: $2=-2B$, $B=-1$.
3. ${\displaystyle {\int }_0^1(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+3})dx=(2\ln (x+1)-\ln (x+3)){|}_0^1=2\ln 2-\ln 4+\ln 3=\ln 3}$.

Răspuns: $\ln 3$

Exemplul 3 (numitor cu $\mathrm{\Delta }=0$). Calculează ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{3x+1}{(x+1{)}^2}dx}$.

Vezi rezolvarea

1. Scrii numărătorul cu $x+1$: $3x+1=3(x+1)-2$, deci $\frac{3x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{x+1}-\frac{2}{(x+1{)}^2}$.
2. Primitive: $\int \frac{3}{x+1}dx=3\ln (x+1)$, $\int \frac{-2}{(x+1{)}^2}dx=\frac{2}{x+1}$ (derivează ca să verifici).
3. $(3\ln (x+1)+\frac{2}{x+1}){|}_0^1=3\ln 2+1-(0+2)=3\ln 2-1$.

Răspuns: $3\ln 2-1$

Exemplul 4 (numitor cu $\mathrm{\Delta }<0$). Calculează ${\displaystyle {\int }_{-1}^0\frac{2x+3}{x^2+2x+2}dx}$.

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{\Delta }=4-8<0$: numitorul nu se descompune. Derivata lui este $2x+2$, deci scrii $2x+3=(2x+2)+1$.
2. $\frac{2x+3}{x^2+2x+2}=\frac{(x^2+2x+2{)}^{\prime }}{x^2+2x+2}+\frac{1}{(x+1{)}^2+1}$ (am restrâns pătratul).
3. Primitive: $\ln (x^2+2x+2)$ și $\mathrm{arctg}(x+1)$. Pe $[-1,0]$: $(\ln 2-\ln 1)+(\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0)$.

Răspuns: $\ln 2+\frac{\pi }{4}$

Exemplul 5 (numitor de gradul al treilea). Calculează ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{x^2+2}{x(x^2+1)}dx}$.

Vezi rezolvarea

1. $x^2+1$ este ireductibil, deci forma este $\frac{x^2+2}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$, adică $x^2+2=A(x^2+1)+(Bx+C)x$.
2. Pentru $x=0$: $A=2$. Identificând coeficienții: la $x^2$: $A+B=1\Rightarrow B=-1$; la $x$: $C=0$.
3. ${\displaystyle {\int }_1^2(\frac{2}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx=(2\ln x-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)){|}_1^2=2\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5+\frac{1}{2}\ln 2}$.
4. $=\frac{5}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5=\frac{1}{2}\ln \frac{32}{5}$.

Răspuns: $\frac{1}{2}\ln \frac{32}{5}$

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Se consideră funcția $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2}$.
a) Arătați că ${\displaystyle {\int }_0^1(x^2+3x+2)f(x)dx=1}$.
b) Arătați că ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx=\ln \frac{4}{3}}$.
c) Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\displaystyle {\int }_0^{a}f(x)dx=\ln \frac{6}{5}}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $(x^2+3x+2)f(x)=1$, deci integrala este ${\int }_0^{1}1dx=1$.
2. b) $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ și $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$. O primitivă: $\ln \frac{x+1}{x+2}$. Deci ${\int }_0^{1}f(x)dx=\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{4}{3}$.
3. c) ${\int }_0^{a}f(x)dx=\ln \frac{a+1}{a+2}-\ln \frac{1}{2}=\ln \frac{2(a+1)}{a+2}$. Egalitatea cu $\ln \frac{6}{5}$ (logaritmul e injectiv) dă $\frac{2(a+1)}{a+2}=\frac{6}{5}$, adică $10a+10=6a+12$, $a=\frac{1}{2}>0$.

Răspuns: c) $a=\frac{1}{2}$

Greșeli frecvente

• Descompui fără să împarți: la $\frac{x^2}{x+1}$ nu există $A$ cu $\frac{x^2}{x+1}=\frac{A}{x+1}$. Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, întâi împarți polinoamele.
• Confunzi $\ln$ cu $\mathrm{arctg}$: $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x+C$, iar $\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln (x^2+1)+C$. Logaritmul apare doar când numărătorul este derivata numitorului.
• Uiți coeficientul lui $x$: $\int \frac{1}{3x+2}dx=\frac{1}{3}\ln |3x+2|+C$, nu $\ln |3x+2|+C$.
• Formă greșită la factorul dublu: pentru $(x+1{)}^2$ trebuie $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1{)}^2}$; doar $\frac{B}{(x+1{)}^2}$ nu ajunge (vezi Exemplul 3).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: integrarea funcțiilor raționale, clasa a 12-a (17 exerciții, printabilă, cu răspunsuri).
• Integrale — exerciții rezolvate pas cu pas, clasa a 12-a și fișa la integrala definită.
• La Bacalaureat M1: Bac 2020, sesiunea august, Subiectul III.2.b (logaritm și arctangentă pentru $\frac{2x}{x^2+3}$ și $\frac{2}{x^2+3}$, rezolvat aici) și Bac 2021, sesiunea iunie, Subiectul III.2.b (${\int }_1^2\frac{2x+1}{x^2+x+3}dx=\ln \frac{9}{5}$, rezolvat aici). Modelul Bac 2027 M1, Subiectul III.2.c, cere descompunerea $x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)$ într-un șir de integrale (rezolvat aici). Toți itemii: integrale la Bacalaureat.
• Formule: tabelul integralelor nedefinite, schimbarea de variabilă; verifică-ți rezultatul cu calculatorul de integrale.

Întrebări frecvente

Cum se integrează o funcție rațională? Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, împarți polinoamele; apoi descompui fracția proprie în fracții simple (după factorii numitorului) și integrezi fiecare termen: factorii de gradul I dau logaritmi, factorii de gradul al II-lea fără rădăcini reale dau logaritm și arctangentă.

Cum aflu coeficienții A și B din descompunere? Aduci la același numitor și egalezi numărătorii. Apoi fie dai lui $x$ valorile rădăcinilor numitorului (cel mai rapid), fie identifici coeficienții puterilor lui $x$ și rezolvi sistemul obținut.

Integrarea funcțiilor raționale se dă la Bac M2? Da. Programa de Bacalaureat M2 conține, ca și M1, calculul integralelor ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu $\mathrm{grad}Q\le 4$ prin descompunerea în fracții simple; de obicei apare la Subiectul III.2.b.