Fișă de lucru integrarea funcțiilor raționale clasa a 12-a — 17 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 12-a despre integrarea funcțiilor raționale: fracții de forma \(\frac{1}{ax+b}\), \(\frac{1}{x^2+a^2}\), \(\frac{1}{x^2-a^2}\), descompunerea în fracții simple și numitori de gradul al doilea. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — integrarea funcțiilor raționale, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. \(C\) notează o constantă reală. Dacă gradul numărătorului este cel puțin gradul numitorului, împarte mai întâi polinoamele.

I. Nivel ușor

  1. Calculează \(\int\frac{1}{x+3}\,dx\), \(x\gt -3\).
  2. Calculează \(\int\frac{1}{2x-1}\,dx\), \(x\gt\frac{1}{2}\).
  3. Calculează \(\int\frac{1}{x^2+4}\,dx\).
  4. Calculează \(\int\frac{1}{x^2-9}\,dx\), \(x\gt 3\).
  5. Calculează \(\int\frac{x^2+1}{x}\,dx\), \(x\gt 0\).

II. Nivel mediu

  1. Determină numerele reale \(A\) și \(B\) pentru care \(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\), pentru orice \(x\gt 0\).
  2. Calculează \(\int_1^2\frac{1}{x(x+1)}\,dx\).
  3. Calculează \(\int_0^1\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx\).
  4. Calculează \(\int_0^1\frac{x^2}{x+1}\,dx\).
  5. Calculează \(\int_2^3\frac{1}{x^2-1}\,dx\).
  6. Calculează \(\int_{-1}^0\frac{1}{x^2+2x+2}\,dx\).

III. Nivel greu

  1. Descompune în fracții simple și calculează \(\int_0^1\frac{x+3}{x^2+3x+2}\,dx\).
  2. Calculează \(\int_0^1\frac{x+1}{x^2+1}\,dx\).
  3. Calculează \(\int_0^1\frac{x^3}{x^2+1}\,dx\).
  4. Calculează \(\int_0^1\frac{2x+1}{(x+1)^2}\,dx\).
  5. Calculează \(\int_1^2\frac{x^2+x+1}{x^2+x}\,dx\).
  6. Calculează \(\int_0^1\frac{1}{x^2+x+1}\,dx\). (M1)
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\ln(x+3)+C\)
  2. \(\frac{1}{2}\ln(2x-1)+C\)
  3. \(\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+C\)
  4. \(\frac{1}{6}\ln\frac{x-3}{x+3}+C\)
  5. \(\frac{x^2}{2}+\ln x+C\)
  6. \(A=1\), \(B=-1\)
  7. \(\ln\frac{4}{3}\) (\(\left.\ln\frac{x}{x+1}\right|_1^2=\ln\frac{2}{3}-\ln\frac{1}{2}\))
  8. \(\ln 3\) (numărătorul este derivata numitorului: \(\ln 6-\ln 2\))
  9. \(\ln 2-\frac{1}{2}\) (\(\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}\))
  10. \(\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}\)
  11. \(\frac{\pi}{4}\) (\(x^2+2x+2=(x+1)^2+1\))
  12. \(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}\); integrala \(=3\ln 2-\ln 3=\ln\frac{8}{3}\)
  13. \(\frac{\ln 2}{2}+\frac{\pi}{4}\)
  14. \(\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}\) (\(\frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}\))
  15. \(2\ln 2-\frac{1}{2}\) (\(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\))
  16. \(1+\ln\frac{4}{3}\) (\(1+\frac{1}{x(x+1)}\))
  17. \(\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\) (\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\); \(\left.\frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right|_0^1\))

Teorie: Tabelul integralelor nedefinite · Integrale definite — Leibniz–Newton · Calculator integrale pas cu pas · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru