Ecuații logaritmice — lecție clasa a 10-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi ecuațiile în care necunoscuta apare sub logaritm (sau în baza logaritmului): pui condițiile de existență, aduci ecuația la forma ${\log }_{a}f(x)=b$ sau ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$ și verifici soluțiile. Ecuațiile logaritmice apar aproape în fiecare an la Bacalaureat, la Subiectul I, exercițiul 3.

Teorie

Ce trebuie să știi despre logaritmi

Pentru $a>0$, $a\ne 1$ și $b>0$, logaritmul lui $b$ în baza $a$ este exponentul la care trebuie ridicat $a$ ca să obții $b$:

$${\log }_{a}b=c⟺a^c=b.$$

Proprietățile pe care le folosești la ecuații (pentru $x,y>0$, $a,c>0$, $a,c\ne 1$):

$$\begin{array}{rl}& {\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y,{\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y,{\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x,\\ & {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a},{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(b\ne 1),{\log }_a{a}^k=k.\end{array}$$

Notații: $\lg x={\log }_{10}x$ (logaritmul zecimal) și $\ln x={\log }_{e}x$ (logaritmul natural, cu $e\approx \mathrm{2,718}$).

Condițiile de existență

Înainte de orice calcul scrii condițiile de existență (CE) ale tuturor logaritmilor din ecuația inițială:

• orice expresie de sub logaritm este strict pozitivă: $f(x)>0$;
• dacă necunoscuta apare în bază: baza este pozitivă și diferită de 1: $g(x)>0$, $g(x)\ne 1$.

Mulțimea numerelor care îndeplinesc toate condițiile se numește domeniul de existență $D$. Soluțiile ecuației se caută numai în $D$.

De ce funcționează: funcția logaritmică este injectivă

Funcția $f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$ este strict crescătoare pentru $a>1$ și strict descrescătoare pentru $0<a<1$. O funcție strict monotonă este injectivă, deci

$${\log }_{a}u={\log }_{a}v⟺u=v(u,v>0).$$

Aceasta este „cheia” tuturor ecuațiilor logaritmice: când ai același logaritm în ambii membri, poți „scoate” logaritmul.

Tipurile de bază

Ecuația	Cum o rezolvi
${\log }_{a}f(x)=b$	$f(x)=a^b$ (din definiție); condiția $f(x)>0$ este automat îndeplinită, pentru că $a^b>0$
${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$	$f(x)=g(x)$, cu $f(x)>0$ (atunci și $g(x)=f(x)>0$)
sume / diferențe de logaritmi în aceeași bază	scrii CE, apoi folosești proprietățile ca să ajungi la un singur logaritm în fiecare membru
${\log }_{a}x$ apare de mai multe ori, de exemplu ${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$	substituția $t={\log }_{a}x$, $t\in \mathbb{R}$
baze diferite	formula de schimbare a bazei, ca să ai aceeași bază peste tot
necunoscuta în bază, de exemplu ${\log }_{x}2$	CE $x>0$, $x\ne 1$; de obicei ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$

Un caz înrudit: ecuația exponențială $a^{f(x)}=b$ cu $b>0$ se rezolvă prin logaritmare: $f(x)={\log }_{a}b$. De exemplu $3^x=7⟺x={\log }_{3}7$.

Algoritmul de rezolvare

1. Scrii condițiile de existență pentru ecuația inițială și afli $D$.
2. Transformi ecuația cu proprietățile logaritmilor până la unul dintre tipurile de bază.
3. Rezolvi ecuația algebrică obținută (de gradul I, de gradul al II-lea etc.).
4. Păstrezi doar soluțiile din $D$ și scrii mulțimea soluțiilor $S$.

De ce pasul 1 se face la început? Formula ${\log }_{a}f+{\log }_{a}g={\log }_a(fg)$ este adevărată doar când $f>0$ și $g>0$. Ecuația transformată cere numai $fg>0$, care este îndeplinită și când $f<0$, $g<0$. Transformarea poate deci aduce soluții străine, pe care le elimini cu ajutorul CE.

De reținut

• CE se scriu pentru ecuația inițială, nu pentru cea transformată.
• ${\log }_{a}f(x)=b⟺f(x)=a^b$; ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)⟺f(x)=g(x)$ (pe $D$).
• Orice număr real se scrie ca logaritm: $b={\log }_a{a}^b$ (de exemplu $2={\log }_{3}9$, $1=\lg 10$).
• ${\log }_a{x}^2=2{\log }_a|x|$, nu $2{\log }_{a}x$, dacă $x$ poate fi negativ.
• La final verifici fiecare soluție în CE; o soluție respinsă se scrie explicit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) ${\log }_3(2x-1)=2$; b) ${\log }_2(x^2-7)=1$.

Vezi rezolvarea

1. a) Din definiție: $2x-1=3^2=9$, deci $x=5$. Condiția $2x-1>0$ este îndeplinită: $9>0$.
2. b) $x^2-7=2^1=2$, deci $x^2=9$ și $x\in \{-3,3\}$. Pentru ambele valori $x^2-7=2>0$.

Răspuns: a) $S=\{5\}$; b) $S=\{-3,3\}$

Exemplul 2. Rezolvă ecuația ${\log }_5(x^2-3x)={\log }_5(2x-4)$.

Vezi rezolvarea

1. CE: $x^2-3x>0$ și $2x-4>0$. Ajunge să păstrezi $2x-4>0$, adică $x>2$, și să verifici la final că expresiile sunt egale (deci și cealaltă e pozitivă).
2. Funcția logaritmică este injectivă: $x^2-3x=2x-4⟺x^2-5x+4=0⟺(x-1)(x-4)=0$.
3. $x=1$ nu verifică $x>2$ (ar da ${\log }_5(-2)$, care nu există): se respinge.
4. $x=4$: $x^2-3x=4>0$, $2x-4=4>0$. Convine.

Răspuns: $S=\{4\}$

Exemplul 3. Rezolvă ecuația ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$.

Vezi rezolvarea

1. CE: $x>0$ și $x-2>0$, deci $D=(2,\mathrm{\infty })$.
2. Pe $D$ poți aduna logaritmii: ${\log }_2[x(x-2)]=3⟺x(x-2)=2^3=8$.
3. $x^2-2x-8=0⟺(x-4)(x+2)=0$, deci $x=4$ sau $x=-2$.
4. $-2\notin D$ (este soluție doar pentru ecuația transformată, unde $x(x-2)=8>0$); $4\in D$.

Răspuns: $S=\{4\}$

Exemplul 4. Rezolvă ecuația ${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$.

Vezi rezolvarea

1. CE: $x>0$.
2. Notezi $t=\lg x$: $t^2-3t+2=0⟺(t-1)(t-2)=0$, deci $t=1$ sau $t=2$.
3. $\lg x=1\Rightarrow x=10$; $\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$. Ambele sunt pozitive.

Răspuns: $S=\{10,100\}$

Exemplul 5. Rezolvă ecuația ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x+{\log }_{16}x=7$.

Vezi rezolvarea

1. CE: $x>0$.
2. Treci la baza 2: ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$ și ${\log }_{16}x=\frac{{\log }_{2}x}{4}$.
3. Ecuația devine $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}){\log }_{2}x=7⟺\frac{7}{4}{\log }_{2}x=7⟺{\log }_{2}x=4$.
4. $x=2^4=16$. Verificare: $4+2+1=7$.

Răspuns: $S=\{16\}$

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_{x}2+{\log }_{2}x=\frac{5}{2}$.

Vezi rezolvarea

1. CE: baza $x>0$, $x\ne 1$; argumentul $x>0$. Deci $D=(0,1)\cup (1,\mathrm{\infty })$.
2. Pe $D$, ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$. Notezi $t={\log }_{2}x$; din $x\ne 1$ rezultă $t\ne 0$.
3. $\frac{1}{t}+t=\frac{5}{2}⟺2t^2-5t+2=0⟺(2t-1)(t-2)=0$, deci $t=\frac{1}{2}$ sau $t=2$.
4. ${\log }_{2}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2^{1/2}=\sqrt{2}$; ${\log }_{2}x=2\Rightarrow x=4$. Ambele sunt în $D$.
5. Verificare pentru $x=4$: ${\log }_{4}2+{\log }_{2}4=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

Răspuns: $S=\{\sqrt{2},4\}$

Greșeli frecvente

• Uiți condițiile de existență: la ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$ obții $x\in \{-2,4\}$, dar $-2$ nu convine. Fără CE scrii o soluție falsă.
• „Desfaci” logaritmul unei sume: ${\log }_a(x+y)\ne {\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Formula corectă este pentru produs: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$.
• Pierzi soluții la puteri pare: ${\log }_3{x}^2=2$ are soluțiile $\pm 3$. Dacă scrii direct $2{\log }_{3}x=2$, obții doar $x=3$; corect este $2{\log }_3|x|=2$ sau, mai simplu, $x^2=9$.
• Scrii CE pentru ecuația transformată: după ce ai trecut la ${\log }_2[x(x-2)]$, condiția $x(x-2)>0$ este mai slabă decât $x>2$. Condițiile se iau din enunț.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: ecuații și inecuații logaritmice, clasa a 10-a (18 exerciții cu răspunsuri) și fișa de logaritmi și ecuații exponențiale.
• Logaritmi — exerciții rezolvate pas cu pas; verifică valorile cu calculatorul de logaritmi.
• La Bacalaureat M1: Bac 2021, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 (${\log }_4(x^2+1)={\log }_{4}x+{\log }_4(x+1)$, rezolvat aici), Bac 2025, sesiunea august, Subiectul I, ex. 3 (${\log }_2(6x-x^2)={\log }_2(4+x)$, rezolvat aici) și Simularea Bac 2026, Subiectul I, ex. 3 ($(1+{\log }_{x}2){\log }_{2}x=5$, rezolvat aici).
• Teorie înrudită: proprietățile logaritmilor, funcția exponențială și funcția logaritmică, ecuații exponențiale.

Lecția este aceeași pentru profilul mate-info (M1) și pentru științele naturii (M2): ecuațiile logaritmice sunt în programa de clasa a X-a a ambelor profiluri și în programa de Bacalaureat.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o ecuație logaritmică? Scrii condițiile de existență (argumentele pozitive, baza pozitivă și diferită de 1), aduci ecuația la forma ${\log }_{a}f(x)=b$, adică $f(x)=a^b$, sau ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$, adică $f(x)=g(x)$, rezolvi ecuația obținută și păstrezi doar soluțiile care respectă condițiile.

De ce trebuie puse condițiile de existență? Logaritmul există doar pentru argumente strict pozitive. Când aplici proprietăți precum ${\log }_{a}f+{\log }_{a}g={\log }_a(fg)$, ecuația nouă poate avea soluții pe care ecuația inițială nu le are; condițiile de existență le elimină.

Ce înseamnă lg și ln? $\lg x$ este logaritmul în baza 10, iar $\ln x$ este logaritmul în baza $e\approx \mathrm{2,718}$. Se rezolvă exact ca ecuațiile cu orice altă bază: $\lg x=2⟺x=100$, $\ln x=1⟺x=e$.