Distanțe și unghiuri în corpuri geometrice — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să calculezi distanța de la un punct la un plan, unghiul dintre o dreaptă și un plan și unghiul diedru (unghiul a două plane) în cub, prismă și piramidă. Metoda este mereu aceeași: găsești un triunghi dreptunghic potrivit, de obicei cu teorema celor trei perpendiculare. Este cerința de la punctul b) al problemei de geometrie în spațiu (Subiectul al III-lea) de la Evaluarea Națională.

Teorie

Distanța de la un punct la un plan

Fie un plan $\alpha$ și un punct $P\notin \alpha$. Dacă $PO\perp \alpha$, cu $O\in \alpha$, punctul $O$ este proiecția lui $P$ pe plan, iar distanța de la $P$ la $\alpha$ este $d(P,\alpha )=PO$. Este cel mai scurt segment de la $P$ la un punct al planului: pentru orice alt $A\in \alpha$, triunghiul $POA$ este dreptunghic în $O$, deci $PA>PO$ (ipotenuza este mai lungă decât cateta).

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Dacă dreapta $PA$ taie planul $\alpha$ în $A$ și $O$ este proiecția lui $P$ pe $\alpha$, atunci $AO$ este proiecția dreptei $PA$ pe plan, iar unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei: $m(\mathrm{\angle }(PA,\alpha ))=m(\mathrm{\angle }PAO)=u$. În triunghiul dreptunghic $POA$:

$$\sin u=\frac{PO}{PA},\cos u=\frac{AO}{PA},\mathrm{tg}u=\frac{PO}{AO}.$$

Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul are ${90}^{\circ }$; dacă este paralelă cu planul sau inclusă în el, unghiul are $0^{\circ }$. Lungimea proiecției unui segment: $AO=PA\cdot \cos u$.

Unghiul diedru și unghiul a două plane

Două semiplane cu muchia comună $d$ formează un unghi diedru. Ca să-l măsori, alegi un punct $M$ pe muchie și duci în fiecare plan câte o perpendiculară pe muchie în $M$; unghiul dintre ele este unghiul plan corespunzător diedrului. Unghiul a două plane secante este unghiul plan al diedrului (cel mult ${90}^{\circ }$).

În piramida regulată din figură, unghiul dintre fața laterală $(VBC)$ și bază este $\mathrm{\angle }VMO$: $OM\perp BC$ (în bază) și $VM\perp BC$ (apotema feței). Că $VM\perp BC$ rezultă din teorema celor trei perpendiculare: $VO\perp (ABC)$, $OM\perp BC$, $BC\subset (ABC)$ $\Rightarrow VM\perp BC$.

Cum calculezi, pe scurt

• Distanța punct–plan: (1) găsești un plan perpendicular pe planul dat care conține punctul (de exemplu $(VOM)\perp (VBC)$); distanța este înălțimea unui triunghi dreptunghic: $OP=\frac{VO\cdot OM}{VM}$. (2) Sau metoda volumului: dacă punctul și o față formează un tetraedru cu volumul $V$ cunoscut, $d=\frac{3V}{{\mathcal{A}}_{\text{față}}}$.
• Unghiul dreaptă–plan: proiectezi un punct al dreptei pe plan și lucrezi în triunghiul dreptunghic format.
• Unghiul diedru: duci perpendiculare pe muchie în același punct (des cu teorema celor trei perpendiculare) și lucrezi în triunghiul dreptunghic obținut.

De reținut

• $d(P,\alpha )=PO$, unde $O$ este piciorul perpendicularei din $P$ pe $\alpha$.
• Unghiul dreaptă–plan = unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
• Unghiul a două plane = unghiul a două perpendiculare pe muchia comună, duse în același punct, câte una în fiecare plan.
• Teorema celor trei perpendiculare: $PO\perp \alpha$, $OM\perp d$, $d\subset \alpha$ $\Rightarrow PM\perp d$.
• Înălțimea în triunghiul dreptunghic: $h=\frac{c_1\cdot c_2}{ip}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm: a) calculează tangenta unghiului dintre dreapta $A^{\prime }C$ și planul $(ABC)$; b) calculează distanța de la punctul $A^{\prime }$ la dreapta $BD$.

Vezi rezolvarea

1. a) $A^{\prime }A\perp (ABC)$, deci proiecția lui $A^{\prime }C$ pe $(ABC)$ este $AC$, iar unghiul cerut este $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }CA$.
2. $AC=6\sqrt{2}$ cm (diagonala pătratului); în triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AC$: $\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }{A}^{\prime }CA)=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. b) Fie $O$ centrul bazei. $AO\perp BD$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare), $A^{\prime }A\perp (ABC)$, $BD\subset (ABC)$; din teorema celor trei perpendiculare, $A^{\prime }O\perp BD$, deci $d(A^{\prime },BD)=A^{\prime }O$.
4. $AO=\frac{AC}{2}=3\sqrt{2}$ cm; Pitagora în $A^{\prime }AO$: $A^{\prime }O=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$ cm.

Răspuns: a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; b) $3\sqrt{6}$ cm

Exemplul 2. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are toate muchiile de 12 cm ($VA=AB=12$ cm), iar $O$ este centrul bazei și $M$ mijlocul muchiei $BC$. a) Află măsura unghiului dintre muchia $VA$ și planul bazei. b) Calculează tangenta unghiului dintre planele $(VBC)$ și $(ABC)$.

Vezi rezolvarea

1. a) $VO\perp (ABC)$, deci proiecția lui $VA$ pe bază este $OA$ și unghiul cerut este $\mathrm{\angle }VAO$.
2. $OA=\frac{AC}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ cm; $\cos (\mathrm{\angle }VAO)=\frac{OA}{VA}=\frac{6\sqrt{2}}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $m(\mathrm{\angle }VAO)={45}^{\circ }$. Rezultă și $VO=OA=6\sqrt{2}$ cm.
3. b) $OM\perp BC$, $OM=\frac{AB}{2}=6$ cm; din teorema celor trei perpendiculare $VM\perp BC$. Unghiul planelor este $\mathrm{\angle }VMO$.
4. În triunghiul dreptunghic $VOM$: $\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }VMO)=\frac{VO}{OM}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}$.

Răspuns: a) ${45}^{\circ }$; b) $\sqrt{2}$

Exemplul 3. Pentru piramida din exemplul 2, calculează distanța de la centrul $O$ al bazei la planul $(VBC)$ și distanța de la vârful $A$ la planul $(VBC)$.

Vezi rezolvarea

1. $BC\perp OM$ și $BC\perp VM$, deci $BC\perp (VOM)$ și planul $(VOM)$ este perpendicular pe $(VBC)$. Ducem $OP\perp VM$, $P\in VM$; atunci $OP\perp (VBC)$ și $d(O,(VBC))=OP$.
2. $VM=\sqrt{V{O}^2+O{M}^2}=\sqrt{72+36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$ cm (este și înălțimea triunghiului echilateral $VBC$).
3. $OP=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{6\sqrt{2}\cdot 6}{6\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{6}$ cm.
4. Fie $A_1$ proiecția lui $A$ pe $(VBC)$. Dreptele $OP$ și $A{A}_1$ sunt perpendiculare pe același plan, deci paralele, iar punctele $C,P,A_1$ se află pe dreapta de intersecție a planului lor cu $(VBC)$. În triunghiul $CA{A}_1$, $O$ este mijlocul lui $[AC]$ și $OP\parallel A{A}_1$, deci $OP$ este linie mijlocie: $A{A}_1=2\cdot OP=4\sqrt{6}$ cm.

Răspuns: $d(O,(VBC))=2\sqrt{6}$ cm, $d(A,(VBC))=4\sqrt{6}$ cm

Exemplul 4. Prisma triunghiulară regulată $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ are $AB=6$ cm și $A{A}^{\prime }=3$ cm. a) Află măsura unghiului dintre planele $(A^{\prime }BC)$ și $(ABC)$. b) Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }BC)$.

Vezi rezolvarea

1. a) Fie $M$ mijlocul lui $[BC]$. $AM\perp BC$ (mediană în triunghiul echilateral), $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$; din teorema celor trei perpendiculare, $A^{\prime }M\perp BC$. Unghiul planelor este $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }MA$.
2. $AM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm; $\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }{A}^{\prime }MA)=\frac{A{A}^{\prime }}{AM}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $m(\mathrm{\angle }{A}^{\prime }MA)={30}^{\circ }$.
3. b) $BC\perp (A^{\prime }AM)$, deci $(A^{\prime }AM)\perp (A^{\prime }BC)$. Ducem $AN\perp A^{\prime }M$; atunci $d(A,(A^{\prime }BC))=AN$.
4. $A^{\prime }M=\sqrt{9+27}=6$ cm; $AN=\frac{A{A}^{\prime }\cdot AM}{A^{\prime }M}=\frac{3\cdot 3\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm. (Sau: în triunghiul dreptunghic $ANM$, $AN$ se opune unghiului de ${30}^{\circ }$, deci $AN=\frac{AM}{2}$.)

Răspuns: a) ${30}^{\circ }$; b) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm

Exemplul 5. Tetraedrul regulat $ABCD$ are muchia de 6 cm. Calculează distanța de la vârful $D$ la planul $(ABC)$ și cosinusul unghiului dintre muchia $DA$ și planul $(ABC)$.

Vezi rezolvarea

1. Proiecția lui $D$ pe $(ABC)$ este centrul $G$ al triunghiului echilateral $ABC$ (tetraedrul regulat este o piramidă regulată), deci $d(D,(ABC))=DG$.
2. $AG$ este $\frac{2}{3}$ din mediana triunghiului: $AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{6\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm.
3. Pitagora în $DGA$: $DG=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm.
4. Unghiul dintre $DA$ și $(ABC)$ este $\mathrm{\angle }DAG$: $\cos (\mathrm{\angle }DAG)=\frac{AG}{DA}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Răspuns: $2\sqrt{6}$ cm; $\cos =\frac{\sqrt{3}}{3}$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm, punctul $O$ este centrul feței $ABCD$. a) Calculează tangenta unghiului dintre planele $(BD{C}^{\prime })$ și $(ABC)$. b) Calculează distanța de la punctul $C$ la planul $(BD{C}^{\prime })$, în două moduri.

Vezi rezolvarea

1. a) $CO\perp BD$, $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, deci (teorema celor trei perpendiculare) $C^{\prime }O\perp BD$; unghiul planelor este $\mathrm{\angle }{C}^{\prime }OC$.
2. $CO=3\sqrt{2}$ cm; $\mathrm{tg}(\mathrm{\angle }{C}^{\prime }OC)=\frac{C{C}^{\prime }}{CO}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
3. b) Metoda 1. $BD\perp (C{C}^{\prime }O)$, deci $(C{C}^{\prime }O)\perp (BD{C}^{\prime })$; perpendiculara din $C$ pe $C^{\prime }O$ este perpendiculară pe $(BD{C}^{\prime })$. $C^{\prime }O=\sqrt{36+18}=3\sqrt{6}$ cm, iar $d=\frac{C{C}^{\prime }\cdot CO}{C^{\prime }O}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ cm.
4. Metoda 2 (volumul). Tetraedrul $C^{\prime }BCD$ are baza $BCD$ (aria $18$ cm²) și înălțimea $C{C}^{\prime }=6$ cm: $V=\frac{18\cdot 6}{3}=36$ cm³. Fața $BD{C}^{\prime }$ este triunghi echilateral cu latura $6\sqrt{2}$ cm: aria $\frac{(6\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}$ cm². Atunci $d=\frac{3V}{\mathcal{A}}=\frac{108}{18\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $\sqrt{2}$; b) $2\sqrt{3}$ cm

Greșeli frecvente

• Iei unghiul cu o dreaptă oarecare din plan: unghiul dintre $A^{\prime }C$ și $(ABC)$ este cu proiecția $AC$, nu cu $BC$ sau $AB$.
• Măsori diedrul cu segmente care nu sunt perpendiculare pe muchie: unghiul dintre $(VBC)$ și bază este $\mathrm{\angle }VMO$ cu $M$ mijlocul lui $BC$, nu $\mathrm{\angle }VBO$ (acela este unghiul muchiei $VB$ cu baza).
• Confunzi distanța la plan cu distanța la o dreaptă din plan: $d(O,(VBC))=OP=2\sqrt{6}$ cm este mai mică decât $OM=6$ cm sau decât $d(O,VB)$.
• Aplici teorema celor trei perpendiculare fără ipoteze: ai nevoie de o dreaptă perpendiculară pe plan și de o perpendiculară pe muchie dusă din piciorul ei; scrie-le pe amândouă în rezolvare (la EN se punctează).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: unghiuri în spațiu și secțiuni, clasa a 8-a, perpendicularitate în spațiu și probleme tip EN de geometrie în spațiu, cu barem.
• La Evaluarea Națională: EN 2023, Subiectul al III-lea, problema 6 b) (distanța de la $C$ la planul $(BD{C}^{\prime })$ în cub, rezolvată aici), EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 6 b) (distanța de la un punct la un plan în prisma regulată, rezolvată aici) și EN 2026, subiectul de rezervă, problema 6 b) (unghiul dintre o dreaptă și un plan în piramida regulată, rezolvată aici).
• Toate problemele din 2021–2027: geometrie în spațiu la Evaluarea Națională.
• Teorie: dreapta perpendiculară pe plan și teorema celor trei perpendiculare, plane perpendiculare, secțiuni.

Întrebări frecvente

Cum se calculează distanța de la un punct la un plan? Duci perpendiculara din punct pe plan; distanța este lungimea ei. În practică găsești un plan perpendicular pe planul dat care conține punctul și calculezi o înălțime într-un triunghi dreptunghic, sau folosești volumul: $d=\frac{3V}{\mathcal{A}}$.

Care este unghiul dintre o dreaptă și un plan? Este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Îl afli într-un triunghi dreptunghic format de un punct al dreptei, proiecția lui pe plan și punctul în care dreapta taie planul.

Cum găsesc unghiul diedru dintre două fețe? Alegi un punct pe muchia comună și duci câte o perpendiculară pe muchie în fiecare față; unghiul dintre ele este unghiul diedrului. În piramida regulată, unghiul dintre o față laterală și bază este unghiul dintre apotema piramidei și apotema bazei.