Plane perpendiculare și secțiuni clasa a 8-a

Q: Când sunt două plane perpendiculare?

Când unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. De exemplu, planul oricărei fețe laterale a unui cub este perpendicular pe planul bazei, pentru că muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.

Q: Ce este secțiunea diagonală a unui cub?

Este dreptunghiul determinat de două muchii laterale opuse, de exemplu ACC'A' . Laturile lui sunt muchia l și diagonala feței l√(2) , deci aria este l²√(2) .

Q: Ce este secțiunea axială a unui con?

Este triunghiul isoscel obținut tăind conul cu un plan care conține axa lui. Laturile egale sunt generatoarele, baza este diametrul 2R , iar înălțimea triunghiului este înălțimea conului.

În această lecție afli când două plane sunt perpendiculare și cum se recunosc secțiunile diagonale ale prismelor și piramidelor și secțiunile axiale ale cilindrului și conului. Aceste secțiuni sunt dreptunghiuri sau triunghiuri în care calculezi cu teorema lui Pitagora. Ele apar des la problema de geometrie în spațiu de la Evaluarea Națională.

Teorie

Plane perpendiculare

Știi deja că o dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $α$ dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din plan. Pentru asta e suficient să fie perpendiculară pe două drepte concurente din $α$ . Pe această noțiune se sprijină definiția planelor perpendiculare.

Definiție. Două plane $α$ și $β$ sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. Scriem $α ⊥ β$ .

$d \subset α, d ⊥ β \Rightarrow α ⊥ β$

Exemplu din viață. Balamalele unei uși sunt pe o dreaptă verticală, perpendiculară pe podea. Oricum ai roti ușa, planul ei conține această dreaptă, deci rămâne mereu perpendicular pe podea. La fel, orice perete vertical este perpendicular pe podea, pentru că muchia lui verticală este perpendiculară pe podea.

Proprietate. Dacă $α ⊥ β$ , $α \cap β = m$ , iar dreapta $d \subset α$ este perpendiculară pe $m$ , atunci $d ⊥ β$ .

De ce? Din definiție, $α$ conține o dreaptă $d_{0} ⊥ β$ . Dreapta $d_{0}$ este perpendiculară și pe $m$ , pentru că $m \subset β$ . În planul $α$ , dreptele $d$ și $d_{0}$ sunt amândouă perpendiculare pe $m$ , deci $d ∥ d_{0}$ . O paralelă la o dreaptă perpendiculară pe un plan este și ea perpendiculară pe plan, deci $d ⊥ β$ . Proprietatea este folosită pentru a construi perpendiculara dintr-un punct pe un plan: rămâi în planul perpendicular și duci perpendiculara pe dreapta de intersecție.

Secțiuni diagonale

O secțiune este figura plană obținută când tai un corp cu un plan. Planul unei secțiuni diagonale trece prin două muchii laterale care nu sunt pe aceeași față (la prismă) sau prin vârf și o diagonală a bazei (la piramidă).

Secțiunea diagonală

A C C^{'} A^{'}

a cubului: un dreptunghi.

Prisma dreaptă (cub, paralelipiped dreptunghic, prismă patrulateră regulată): secțiunea diagonală $A C C^{'} A^{'}$ este un dreptunghi cu laturile $A C$ (diagonala bazei) și $A A^{'}$ (înălțimea). Planul ei este perpendicular pe planul bazei, pentru că $A A^{'} ⊥ (A B C)$ .
Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ , cu $O$ centrul bazei: secțiunea diagonală $V A C$ este un triunghi isoscel cu baza $A C$ și înălțimea $V O$ . Planul $(V A C)$ conține $V O ⊥ (A B C)$ , deci este perpendicular pe planul bazei.

Secțiunea diagonală

V A C

a piramidei: triunghi isoscel cu înălțimea

V O

Secțiuni axiale

Planul unei secțiuni axiale conține axa corpului de rotație, adică dreapta care unește centrele bazelor (la cilindru) sau vârful cu centrul bazei (la con). Axa este perpendiculară pe planul bazei, deci și planul secțiunii axiale este perpendicular pe bază.

Cilindrul: dreptunghi

2 R \times G

. Conul: triunghi isoscel cu laturile

G

, baza

2 R

și înălțimea

h

\begin{aligned} cub de muchie l & : A_{A C C^{'} A^{'}} = l \cdot l \sqrt{2} = l^{2} \sqrt{2} \\ paralelipiped a, b, c & : A = c \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ piramidă regulată & : A_{V A C} = \frac{A C \cdot V O}{2} \\ cilindru & : A = 2 R \cdot G \\ con & : A = \frac{2 R \cdot h}{2} = R \cdot h \end{aligned}

De reținut

$α ⊥ β$ dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt.
Planele secțiunilor diagonale ale prismelor drepte și ale piramidelor regulate și planele secțiunilor axiale sunt perpendiculare pe planul bazei.
Secțiunea diagonală a cubului este un dreptunghi $l \times l \sqrt{2}$ , nu un pătrat.
La con, laturile egale ale secțiunii axiale sunt generatoarele $G$ , iar înălțimea triunghiului este înălțimea conului: $G^{2} = R^{2} + h^{2}$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de 6 cm. Arată că planele $(A C C^{'})$ și $(A B C)$ sunt perpendiculare și calculează aria secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ .

Vezi rezolvarea

$C C^{'} ⊥ C B$ și $C C^{'} ⊥ C D$ (fețele laterale sunt pătrate), iar $C B$ și $C D$ sunt concurente în planul bazei, deci $C C^{'} ⊥ (A B C)$ .
Planul $(A C C^{'})$ conține dreapta $C C^{'}$ , perpendiculară pe $(A B C)$ , deci $(A C C^{'}) ⊥ (A B C)$ .
$A C C^{'} A^{'}$ este dreptunghi cu $A C = 6 \sqrt{2}$ cm (diagonala pătratului) și $C C^{'} = 6$ cm.
$A = 6 \sqrt{2} \cdot 6 = 36 \sqrt{2}$ cm².

Răspuns: $36 \sqrt{2}$ cm².

Exemplul 2. Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 8$ cm, $B C = 6$ cm și $A A^{'} = 5$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale $B D D^{'} B^{'}$ și lungimea diagonalei $B D^{'}$ .

Vezi rezolvarea

În triunghiul dreptunghic $A B D$ : $B D = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm.
$B D D^{'} B^{'}$ este dreptunghi cu laturile $B D = 10$ cm și $D D^{'} = 5$ cm: $A = 10 \cdot 5 = 50$ cm².
$B D^{'}$ este diagonala acestui dreptunghi: $B D^{'} = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}$ cm.

Răspuns: aria $= 50$ cm², $B D^{'} = 5 \sqrt{5}$ cm.

Exemplul 3. Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 6 \sqrt{2}$ cm și muchia laterală $V A = 10$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale $V A C$ și arată că planele $(V A C)$ și $(V B D)$ sunt perpendiculare.

Vezi rezolvarea

$A C = A B \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12$ cm, deci $A O = 6$ cm, unde $O$ este centrul bazei.
$V O ⊥ (A B C)$ , deci triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $V O = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = \sqrt{64} = 8$ cm.
$A_{V A C} = \frac{A C \cdot V O}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48$ cm².
$A C ⊥ B D$ (diagonalele pătratului) și $A C ⊥ V O$ (pentru că $V O ⊥ (A B C)$ ). Dreptele $B D$ și $V O$ sunt concurente în $O$ și sunt incluse în $(V B D)$ , deci $A C ⊥ (V B D)$ .
Planul $(V A C)$ conține dreapta $A C$ , perpendiculară pe $(V B D)$ , deci $(V A C) ⊥ (V B D)$ .

Răspuns: aria $= 48$ cm²; cele două secțiuni diagonale sunt în plane perpendiculare.

Exemplul 4. Un cilindru circular drept are raza bazei $R = 3$ cm și generatoarea $G = 8$ cm. Calculează aria secțiunii axiale și lungimea diagonalei ei.

Vezi rezolvarea

Secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile $2 R = 6$ cm (diametrul bazei) și $G = 8$ cm.
$A = 6 \cdot 8 = 48$ cm².
Diagonala: $d = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Răspuns: aria $= 48$ cm², diagonala $= 10$ cm.

Exemplul 5. Secțiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de 10 cm. Determină raza, generatoarea și înălțimea conului și aria secțiunii axiale.

Vezi rezolvarea

Laturile secțiunii axiale sunt două generatoare și un diametru: $G = 10$ cm și $2 R = 10$ cm, deci $R = 5$ cm.
Înălțimea conului este înălțimea triunghiului echilateral: $h = \sqrt{G^{2} - R^{2}} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$ cm.
$A = R \cdot h = 5 \cdot 5 \sqrt{3} = 25 \sqrt{3}$ cm² (sau $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{100 \sqrt{3}}{4}$ ).

Răspuns: $R = 5$ cm, $G = 10$ cm, $h = 5 \sqrt{3}$ cm, aria $= 25 \sqrt{3}$ cm².

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de 6 cm, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ .
a) Arată că planele secțiunilor diagonale $(A C C^{'})$ și $(B D D^{'})$ sunt perpendiculare.
b) Arată că $B O ⊥ (A C C^{'})$ și calculează lungimea segmentului $B O$ , adică distanța de la punctul $B$ la planul $(A C C^{'})$ .

Vezi rezolvarea

a) $B D ⊥ A C$ (diagonalele pătratului) și $B D ⊥ C C^{'}$ (pentru că $C C^{'} ⊥ (A B C)$ ). $A C$ și $C C^{'}$ sunt concurente în $C$ , deci $B D ⊥ (A C C^{'})$ .
Planul $(B D D^{'})$ conține $B D$ , deci $(B D D^{'}) ⊥ (A C C^{'})$ .
b) $B O$ este o parte a dreptei $B D$ , deci $B O ⊥ (A C C^{'})$ , iar $O \in A C \subset (A C C^{'})$ . Segmentul $B O$ este perpendiculara din $B$ pe plan.
$B O = \frac{B D}{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: b) $B O = 3 \sqrt{2}$ cm.

Greșeli frecvente

„Două plane perpendiculare pe același plan sunt paralele.” Fals: doi pereți vecini sunt amândoi perpendiculari pe podea, dar se intersectează după muchia camerei.
Orice dreaptă dintr-un plan perpendicular este perpendiculară pe celălalt plan. Nu: este adevărat doar pentru dreptele perpendiculare pe dreapta de intersecție a planelor. Diagonala $A C^{'}$ a secțiunii $A C C^{'} A^{'}$ nu este perpendiculară pe baza cubului.
Secțiunea diagonală a cubului luată drept pătrat. Laturile ei sunt $l$ și $l \sqrt{2}$ , deci aria este $l^{2} \sqrt{2}$ , nu $l^{2}$ sau $2 l^{2}$ .
La con, generatoarea confundată cu înălțimea. Laturile egale ale secțiunii axiale sunt generatoarele $G$ . Înălțimea $h$ este segmentul din vârf pe diametru, iar $h < G$ .

Verifică-te

Verifică-te: 4 întrebări

Secțiunea diagonală a unui cub cu muchia de 4 cm are aria:

16 cm²
$16 \sqrt{2}$ cm²
32 cm²

Un cilindru are raza $R = 3$ cm și generatoarea $G = 5$ cm. Aria secțiunii axiale este:

30 cm²
15 cm²
45 cm²

Două plane perpendiculare pe același plan sunt:

mereu paralele
mereu perpendiculare
paralele sau secante

Un con are raza $R = 6$ cm și generatoarea $G = 10$ cm. Aria secțiunii axiale este:

48 cm²
60 cm²
96 cm²

Exersează

Fișă de lucru: unghiuri în spațiu și secțiuni, clasa a 8-a și fișă de lucru: perpendicularitate în spațiu (printabile, cu răspunsuri).
Teorie înrudită: dreaptă perpendiculară pe plan, cubul, paralelipipedul dreptunghic, piramida regulată, cilindrul și conul.
La Evaluarea Națională: EN 2021, Subiectul al III-lea, problema 6 b) (distanța de la un punct la planul secțiunii diagonale $(B D D^{'})$ a cubului, rezolvată aici) și EN 2023, Subiectul al III-lea, problema 6 b) ( $B D ⊥ (C C^{'} O)$ , adică pe planul secțiunii diagonale $A C C^{'} A^{'}$ , apoi distanța de la $C$ la planul $(B D C^{'})$ , rezolvată aici).
Toate problemele date: geometrie în spațiu la Evaluarea Națională, probleme rezolvate.

Întrebări frecvente

Când sunt două plane perpendiculare? Când unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. De exemplu, planul oricărei fețe laterale a unui cub este perpendicular pe planul bazei, pentru că muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază.

Ce este secțiunea diagonală a unui cub? Este dreptunghiul determinat de două muchii laterale opuse, de exemplu $A C C^{'} A^{'}$ . Laturile lui sunt muchia $l$ și diagonala feței $l \sqrt{2}$ , deci aria este $l^{2} \sqrt{2}$ .

Ce este secțiunea axială a unui con? Este triunghiul isoscel obținut tăind conul cu un plan care conține axa lui. Laturile egale sunt generatoarele, baza este diametrul $2 R$ , iar înălțimea triunghiului este înălțimea conului.

Plane perpendiculare. Secțiuni diagonale și axiale — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

Teorie

Plane perpendiculare

Secțiuni diagonale

Secțiuni axiale

Exemple rezolvate

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează

Întrebări frecvente

Formule conexe