Adunarea și scăderea radicalilor — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să aduni și să scazi radicali: se pot reduce doar radicalii asemenea, adică cei care au, după simplificare, același număr sub radical. Regula vine din factorul comun: $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(5+2)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$. Calculul apare în fiecare an la Evaluarea Națională, la Subiectul I.

Teorie

Radicali asemenea

Două numere de forma $a\sqrt{c}$ și $b\sqrt{c}$, în care numărul de sub radical este același, se numesc radicali asemenea (la fel ca termenii asemenea $5x$ și $2x$). Exemple: $4\sqrt{2}$ și $-\sqrt{2}$ sunt asemenea; $3\sqrt{2}$ și $3\sqrt{5}$ nu sunt asemenea.

Uneori radicalii nu par asemenea, dar devin asemenea după scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ și $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$ sunt asemenea.

Regula de adunare și scădere

Radicalii asemenea se adună (se scad) adunând (scăzând) coeficienții și păstrând radicalul:

$$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c},a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a-b)\sqrt{c}.$$

De ce? Este distributivitatea înmulțirii față de adunare, citită „de la dreapta la stânga” (scoaterea factorului comun $\sqrt{c}$): $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=\sqrt{c}(a+b)$. Exact la fel calculezi $5x+2x=7x$ sau 5 caiete + 2 caiete = 7 caiete: radicalul $\sqrt{c}$ joacă rolul „unității” care se numără.

Radicalii neasemenea nu se adună sub radical

Expresia $3\sqrt{2}+3\sqrt{5}$ nu se mai poate scrie mai simplu; rezultatul rămâne o sumă. În special, în general $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}$. Contraexemplu: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, dar $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Algoritmul de calcul

1. Scoți factorii de sub fiecare radical (de exemplu $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$).
2. Dacă ai fracții cu radical la numitor, raționalizezi: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
3. Grupezi radicalii asemenea (și separat numerele raționale) și aduni coeficienții.
4. Rezultatul se scrie cu radicalii simplificați: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, nu $\sqrt{5}$.

De reținut

• Se reduc doar radicalii asemenea: $a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a\pm b)\sqrt{c}$.
• Întâi simplifici fiecare radical, abia apoi compari radicalii.
• $\sqrt{c}=1\cdot \sqrt{c}$: coeficientul „nevăzut” este 1.
• Numerele raționale se adună separat de radicali: $(3+2\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=4+\sqrt{5}$.
• $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ nu este egal cu $\sqrt{a+b}$ (decât dacă $a=0$ sau $b=0$).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}$; b) $7\sqrt{2}-\sqrt{2}$; c) $2\sqrt{5}-6\sqrt{5}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Radicalii sunt asemenea: $(5+2-4)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
2. b) $\sqrt{2}=1\cdot \sqrt{2}$, deci $(7-1)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.
3. c) $(2-6)\sqrt{5}=-4\sqrt{5}$.

Răspuns: a) $3\sqrt{3}$; b) $6\sqrt{2}$; c) $-4\sqrt{5}$

Exemplul 2. Calculează: a) $\sqrt{12}+\sqrt{27}$; b) $\sqrt{50}-\sqrt{18}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$; suma: $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$.
2. b) $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$; diferența: $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Răspuns: a) $5\sqrt{3}$; b) $2\sqrt{2}$

Exemplul 3. Calculează $\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{32}+\sqrt{3}$.

Vezi rezolvarea

1. Simplifici: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$ nu se simplifică.
2. Reduci radicalii asemenea cu $\sqrt{2}$: $(2+3-4)\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{3}$ nu este asemenea cu $\sqrt{2}$, deci rămâne separat.

Răspuns: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ (nu $\sqrt{5}$!)

Exemplul 4. Calculează $\frac{12}{\sqrt{3}}-\sqrt{48}+\sqrt{75}$.

Vezi rezolvarea

1. Raționalizezi: $\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.
2. Simplifici: $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.
3. $4\sqrt{3}-4\sqrt{3}+5\sqrt{3}=5\sqrt{3}$.

Răspuns: $5\sqrt{3}$

Exemplul 5. Calculează $|2-\sqrt{5}|+|\sqrt{20}-3|$.

Vezi rezolvarea

1. $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, deci $2-\sqrt{5}<0$ și $|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$.
2. $\sqrt{20}>\sqrt{9}=3$, deci $|\sqrt{20}-3|=\sqrt{20}-3=2\sqrt{5}-3$.
3. Suma: $\sqrt{5}-2+2\sqrt{5}-3=3\sqrt{5}-5$.

Răspuns: $3\sqrt{5}-5$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Se consideră numerele $a=\sqrt{27}+2\sqrt{12}-\sqrt{75}$ și $b=\sqrt{48}-\sqrt{3}$.
a) Arată că $a=2\sqrt{3}$.
b) Calculează media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ și compar-o cu numărul 4.

Vezi rezolvarea

1. a) $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $2\sqrt{12}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$; $a=(3+4-5)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
2. b) $b=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
3. Media aritmetică: $m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
4. Comparare: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ și $4=\frac{8}{2}$; compari $5\sqrt{3}=\sqrt{75}$ cu $8=\sqrt{64}$. Cum $75>64$, $\frac{5\sqrt{3}}{2}>4$.

Răspuns: b) $m_a=\frac{5\sqrt{3}}{2}\approx 4,33$, mai mare decât 4

Greșeli frecvente

• Aduni numerele de sub radical: $\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne \sqrt{5}$ și $\sqrt{16}+\sqrt{9}\ne \sqrt{25}$. Sub radical nu se adună nimic; se adună doar coeficienții radicalilor asemenea.
• Aduni și radicalii: $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$, nu $6\sqrt{6}$. Radicalul rămâne același, ca $x$ în $2x+4x=6x$.
• Nu simplifici înainte: $\sqrt{12}+\sqrt{3}$ pare că „nu se poate”, dar $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci suma este $3\sqrt{3}$.
• Amesteci partea rațională cu radicalul: $3+2\sqrt{5}$ nu este $5\sqrt{5}$; numărul 3 nu este asemenea cu $\sqrt{5}$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: operații cu numere reale, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Radicali și raționalizare — exerciții rezolvate pas cu pas și testul cu barem la radicali.
• La Evaluarea Națională: EN 2021, Subiectul I, itemul 5 (calculul $2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}$, rezolvat aici) și Simularea EN 2024, Subiectul I, itemul 5 (modul și $\sqrt{12}$, rezolvat aici). Toate itemii: radicali la Evaluarea Națională.
• Verifică-ți calculele cu calculatorul de radicali; toate regulile pe scurt: formule cu radicali.

Întrebări frecvente

Cum se adună radicalii? Simplifici fiecare radical prin scoaterea factorilor, apoi aduni coeficienții radicalilor care au același număr sub radical: $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$. Radicalii cu numere diferite sub radical rămân scriși ca sumă.

Este adevărat că radical din 2 plus radical din 3 este radical din 5? Nu. $\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 1,41+1,73=3,14$, iar $\sqrt{5}\approx 2,24$. Suma radicalilor nu este radicalul sumei.

Ce sunt radicalii asemenea? Sunt numere de forma $a\sqrt{c}$ și $b\sqrt{c}$ care au același număr sub radical, eventual după simplificare: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ și $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ sunt asemenea.