Modulul unui număr real — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

Modulul unui număr real arată la ce distanță se află numărul de 0 pe axa numerelor, deci nu este niciodată negativ. În lecție înveți definiția, proprietățile, cum „scoți” din modul diferențe cu radicali (de exemplu $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$) și cum rezolvi ecuații simple cu modul, exerciții care apar des la Evaluarea Națională.

Teorie

Modulul ca distanță

Pe axa numerelor, modulul (valoarea absolută) a numărului real $a$, notat $|a|$, este distanța de la punctul de coordonată $a$ la originea $O$. Numerele $3$ și $-3$ sunt la aceeași distanță de $O$, deci $|3|=|-3|=3$.

Exemple: $|7|=7$, $|-2,5|=2,5$, $|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$, $|0|=0$.

Proprietăți (pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$)

• $|a|\ge 0$, iar $|a|=0$ doar pentru $a=0$ (o distanță nu poate fi negativă).
• $|-a|=|a|$: un număr și opusul lui au același modul.
• $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$ și $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ (pentru $b\ne 0$).
• $\sqrt{a^2}=|a|$. De exemplu $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$: radicalul dă mereu un număr pozitiv sau 0.
• Distanța dintre punctele de coordonate $a$ și $b$ pe axă este $|a-b|$.
• Atenție: în general $|a+b|\ne |a|+|b|$: $|3+(-5)|=2$, dar $|3|+|-5|=8$.

Modulul unei diferențe cu radicali

Ca să scrii fără modul un număr ca $|\sqrt{5}-2|$, stabilești întâi semnul expresiei din modul, comparând cele două numere:

Exemplu: $2=\sqrt{4}<\sqrt{5}$, deci $|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$; în schimb $|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$ (același rezultat, pentru că $|-a|=|a|$).

Ecuații cu modul

• $|x|=a$, cu $a>0$: două soluții, $x=a$ sau $x=-a$ (punctele aflate la distanța $a$ de origine).
• $|x|=0$: o singură soluție, $x=0$.
• $|x|=a$, cu $a<0$: nicio soluție.
• $|a|+|b|=0$ dacă și numai dacă $a=0$ și $b=0$ (suma a două numere care nu sunt negative e 0 doar dacă amândouă sunt 0).

De reținut

• $|a|$ = distanța de la $a$ la 0; $|a|\ge 0$ întotdeauna.
• Înainte să scoți din modul, află semnul: compară numerele (cu radicali, introdu factorii sub radical).
• $\sqrt{a^2}=|a|$, nu $a$.
• $|x|=a>0$ are două soluții: $\pm a$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: $|-7|$; $\left|\frac{3}{4}\right|$; $|-\sqrt{6}|$; $-|-4|$; $|-2|\cdot |3|-|-10|$.

Vezi rezolvarea

1. $|-7|=7$, $\left|\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$, $|-\sqrt{6}|=\sqrt{6}$.
2. $-|-4|=-(4)=-4$: întâi calculezi modulul, apoi aplici minusul din fața lui.
3. $|-2|\cdot |3|-|-10|=2\cdot 3-10=-4$.

Răspuns: $7$; $\frac{3}{4}$; $\sqrt{6}$; $-4$; $-4$.

Exemplul 2. Scrie fără modul: $a=|\sqrt{5}-2|$, $b=|\sqrt{5}-3|$, $c=|2\sqrt{3}-4|$.

Vezi rezolvarea

1. $2=\sqrt{4}<\sqrt{5}$, deci $\sqrt{5}-2>0$ și $a=\sqrt{5}-2$.
2. $\sqrt{5}<\sqrt{9}=3$, deci $\sqrt{5}-3<0$ și $b=3-\sqrt{5}$.
3. $2\sqrt{3}=\sqrt{12}<\sqrt{16}=4$, deci $2\sqrt{3}-4<0$ și $c=4-2\sqrt{3}$.

Răspuns: $a=\sqrt{5}-2$, $b=3-\sqrt{5}$, $c=4-2\sqrt{3}$.

Exemplul 3. Calculează $E=|3-2\sqrt{3}|+|2\sqrt{3}-4|$ și $F=\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}-\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea

1. $3=\sqrt{9}<\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $|3-2\sqrt{3}|=2\sqrt{3}-3$. Din exemplul 2, $|2\sqrt{3}-4|=4-2\sqrt{3}$.
2. $E=2\sqrt{3}-3+4-2\sqrt{3}=1$.
3. $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=|1-\sqrt{2}|$. Cum $1<\sqrt{2}$, $|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$.
4. $F=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}=-1$.

Răspuns: $E=1$, $F=-1$.

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $|x|=\sqrt{7}$; b) $|x|=-2$; c) $|x-2|=5$; d) $|2x+1|=3$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x=\sqrt{7}$ sau $x=-\sqrt{7}$.
2. b) Modulul nu poate fi negativ, deci ecuația nu are soluții.
3. c) Numărul $x-2$ are modulul 5, deci $x-2=5$ sau $x-2=-5$, adică $x=7$ sau $x=-3$. Verificare: $|7-2|=5$, $|-3-2|=|-5|=5$.
4. d) $2x+1=3$, de unde $x=1$; sau $2x+1=-3$, de unde $2x=-4$, $x=-2$.

Răspuns: a) $\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\}$; b) nicio soluție; c) $\{-3;7\}$; d) $\{-2;1\}$.

Exemplul 5. Numerele reale $a$ și $b$ verifică relația $|a-\sqrt{3}|+|b+2\sqrt{3}|=0$. Calculează $a+b$ și $a\cdot b$.

Vezi rezolvarea

1. Fiecare modul este $\ge 0$; suma lor este 0 doar dacă ambele sunt 0.
2. $a-\sqrt{3}=0$, deci $a=\sqrt{3}$; $b+2\sqrt{3}=0$, deci $b=-2\sqrt{3}$.
3. $a+b=\sqrt{3}-2\sqrt{3}=-\sqrt{3}$; $a\cdot b=\sqrt{3}\cdot (-2\sqrt{3})=-2\cdot 3=-6$.

Răspuns: $a+b=-\sqrt{3}$, $a\cdot b=-6$.

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). a) Câte numere întregi $x$ verifică relația $|x|<2\sqrt{5}$? b) Pe axa numerelor, punctele $A$ și $B$ au coordonatele $-\sqrt{2}$, respectiv $2\sqrt{2}$. Calculează lungimea segmentului $AB$.

Vezi rezolvarea

1. a) $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, iar $4=\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}=5$. Deci $4<2\sqrt{5}<5$.
2. Numerele întregi cu $|x|<2\sqrt{5}$ sunt cele cu $|x|\le 4$: $-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$, adică 9 numere.
3. b) $AB=|2\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=|3\sqrt{2}|=3\sqrt{2}$.

Răspuns: a) 9 numere întregi; b) $AB=3\sqrt{2}$.

Greșeli frecvente

• „Modulul face totul pozitiv”, termen cu termen: $|\sqrt{3}-2|\ne \sqrt{3}+2$. Modulul se aplică rezultatului: $\sqrt{3}<2$, deci $|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$.
• Soluții pentru $|x|=-3$: nu există, pentru că distanța nu e negativă. Nu răspunde „$x=\pm 3$”.
• $\sqrt{a^2}=a$ folosit pentru numere negative: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$, nu $-3$; corect este $\sqrt{a^2}=|a|$.
• A doua soluție uitată: $|x-2|=5$ are două soluții, $7$ și $-3$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: mulțimea numerelor reale, clasa a 7-a (calcule cu modul, ecuații $|x|=a$; cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: EN 2024, Subiectul I, ex. 5 (suma numerelor $a,b$ cu $|a+3|+|b-4|=0$, rezolvat aici); Simulare EN 2024, Subiectul I, ex. 5 ($|2-4\sqrt{3}|+2(\sqrt{12}+1)$, rezolvat aici).
• Mai mulți itemi de același tip: radicali, modul și compararea numerelor reale la EN.
• Mai departe, în clasa a VIII-a: modul și intervale de numere reale (inecuații de tipul $|x|\le a$).

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr real? Este distanța de la punctul care reprezintă numărul pe axă până la origine. Pentru numere pozitive și 0 modulul este chiar numărul, iar pentru numere negative este opusul lui: $|-4|=4$.

Poate fi modulul negativ? Nu. Modulul este o distanță, deci $|a|\ge 0$ pentru orice $a$, iar ecuații ca $|x|=-2$ nu au soluții.

Cât este $\sqrt{x^2}$? $\sqrt{x^2}=|x|$. De exemplu $\sqrt{(-6{)}^2}=6$ și $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{3}-1$.