Probleme cu fracții — lecție clasa a 5-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi problemele cu fracții: cât reprezintă o fracție sau un procent dintr-un număr, cum afli întregul când cunoști o parte din el și cum lucrezi cu „restul” prin metoda figurativă și metoda mersului invers. Acest tip de problemă apare la Evaluarea Națională la Subiectul I și la prima problemă de la Subiectul al III-lea.

Teorie

Fracție dintr-un număr

Ca să afli $\frac{3}{5}$ din 40, împarți 40 în 5 părți egale și iei 3 dintre ele:

$$\frac{a}{b}\text{ din }N=(N:b)\cdot a=\frac{a}{b}\cdot N\frac{3}{5}\text{ din }40=(40:5)\cdot 3=24$$

Un procent este o fracție cu numitorul 100: $15\mathrm{\%}=\frac{15}{100}$, deci $15\mathrm{\%}$ din 240 este $\frac{15}{100}\cdot 240=36$. „Fracție dintr-o fracție” înseamnă tot o înmulțire: $\frac{3}{4}$ din $\frac{2}{9}$ este $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{9}=\frac{1}{6}$.

Aflarea întregului când cunoști o parte

Dacă $\frac{3}{5}$ dintr-un număr înseamnă 24, atunci o cincime înseamnă $24:3=8$, iar numărul întreg (5 cincimi) este $8\cdot 5=40$. Aceasta este metoda reducerii la unitate: afli întâi cât reprezintă o singură parte.

Problemele cu „rest”

Dacă din întreg se ia $\frac{1}{3}$, restul este $\frac{2}{3}$ din întreg. Atenție la formulare: „$\frac{3}{4}$ din rest” nu este același lucru cu „$\frac{3}{4}$ din întreg”. Pentru astfel de probleme folosești:

• metoda figurativă: desenezi întregul ca un segment, îl împarți în părți egale și marchezi ce se ia la fiecare pas;
• metoda mersului invers: pornești de la ce a rămas la final și faci operațiile inverse, în ordine inversă.

Unități de măsură

Fracțiile dintr-o mărime se calculează după ce alegi unitatea potrivită: $\frac{3}{4}$ dintr-o oră $=\frac{3}{4}\cdot 60=45$ de minute; $\frac{2}{5}$ dintr-un kilogram $=\frac{2}{5}\cdot 1000=400$ g.

De reținut

• $\frac{a}{b}$ din $N$: împarți la $b$, înmulțești cu $a$.
• Știi partea, cauți întregul: împarți partea la $a$ (o parte), apoi înmulțești cu $b$.
• Restul după ce iei $\frac{a}{b}$ este $1-\frac{a}{b}$ din întreg.
• Verifică rezultatul refăcând problema de la început.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $\frac{2}{7}$ din 63; b) $15\mathrm{\%}$ din 240; c) $\frac{3}{4}$ din $\frac{2}{9}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $63:7=9$, $9\cdot 2=18$.
2. b) $240:100\cdot 15=2,4\cdot 15=36$.
3. c) $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{9}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Răspuns: a) 18; b) 36; c) $\frac{1}{6}$

Exemplul 2. O clasă are 28 de elevi, iar $\frac{3}{7}$ dintre ei sunt fete. Câți băieți sunt în clasă?

Vezi rezolvarea

1. Fete: $28:7\cdot 3=12$.
2. Băieți: $28-12=16$. (Sau: băieții sunt $\frac{4}{7}$ din clasă: $28:7\cdot 4=16$.)

Răspuns: 16 băieți

Exemplul 3. Andrei a citit $\frac{5}{8}$ dintr-o carte, adică 40 de pagini. Câte pagini are cartea și câte i-au mai rămas de citit?

Vezi rezolvarea

1. 5 optimi din carte înseamnă 40 de pagini, deci o optime înseamnă $40:5=8$ pagini.
2. Cartea are 8 optimi: $8\cdot 8=64$ de pagini.
3. Rămase: $64-40=24$ de pagini (adică $\frac{3}{8}$ din carte).

Răspuns: 64 de pagini; 24 de pagini rămase

Exemplul 4 (metoda figurativă). Un biciclist parcurge în prima zi $\frac{1}{3}$ dintr-un traseu, în a doua zi $\frac{3}{4}$ din rest, iar în a treia zi ultimii 15 km. Ce lungime are traseul?

Vezi rezolvarea

1. După prima zi rămân $\frac{2}{3}$ din traseu. Desenăm restul ca un segment împărțit în 4 părți egale: în a doua zi se parcurg 3 părți, în a treia zi 1 parte.
2. O parte înseamnă 15 km, deci restul de după prima zi este $4\cdot 15=60$ km.
3. 60 km reprezintă $\frac{2}{3}$ din traseu, deci $\frac{1}{3}$ este $60:2=30$ km, iar traseul are $3\cdot 30=90$ km.
4. Verificare: ziua 1: 30 km, ziua 2: $\frac{3}{4}\cdot 60=45$ km, ziua 3: 15 km; $30+45+15=90$.

Răspuns: 90 km

Exemplul 5 (metoda mersului invers). Ioana a cheltuit jumătate din banii ei pe o carte, apoi $\frac{1}{3}$ din banii rămași pe un caiet, iar la final i-au rămas 24 de lei. Câți lei a avut la început?

Vezi rezolvarea

1. După carte, Ioana a cheltuit $\frac{1}{3}$ din bani pe caiet, deci i-au rămas $\frac{2}{3}$ din ei: $\frac{2}{3}$ din banii de după carte înseamnă 24 de lei.
2. Banii de după carte: $24:2\cdot 3=36$ de lei.
3. 36 de lei este jumătatea sumei inițiale, deci la început a avut $36\cdot 2=72$ de lei.
4. Verificare: $72-36=36$; $36-12=24$.

Răspuns: 72 de lei

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Un rezervor conține 240 de litri de apă. Luni se consumă $\frac{2}{5}$ din apă, marți $25\mathrm{\%}$ din apa rămasă, iar miercuri $\frac{3}{4}$ din ce a rămas după marți.
a) Câți litri de apă au rămas în rezervor?
b) Ce fracție din cantitatea inițială reprezintă apa rămasă?
c) Câte sticle de $1,5$ litri se pot umple cu apa rămasă?

Vezi rezolvarea

1. Luni: $240:5\cdot 2=96$ l; rămân $240-96=144$ l.
2. Marți: $25\mathrm{\%}$ din 144 $=144:4=36$ l; rămân $144-36=108$ l.
3. Miercuri: $108:4\cdot 3=81$ l; rămân $108-81=27$ l.
4. b) $\frac{27}{240}=\frac{9}{80}$ (am simplificat cu 3).
5. c) $27:1,5=270:15=18$ sticle.

Răspuns: a) 27 l; b) $\frac{9}{80}$; c) 18 sticle

Greșeli frecvente

• Iei fracția din întreg în loc de rest: „$\frac{3}{4}$ din rest” se calculează din ce a rămas, nu din suma inițială (exemplul 4).
• Înmulțești în loc să împarți când cauți întregul: dacă $\frac{2}{5}$ din număr este 14, numărul este $14:2\cdot 5=35$, nu $\frac{2}{5}\cdot 14$.
• Aduni procente calculate din mărimi diferite: $20\mathrm{\%}$ din sumă și apoi $20\mathrm{\%}$ din rest nu înseamnă $40\mathrm{\%}$ din sumă.
• Amesteci unitățile: $\frac{3}{4}$ dintr-o oră sunt 45 de minute, nu $0,75$ minute.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: fracții, clasa a 5-a și fișă de lucru: metode aritmetice (printabile, cu răspunsuri).
• Fracții ordinare — exerciții rezolvate pas cu pas și test fracții clasa a 5-a cu barem.
• Toate metodele, cu câte o problemă rezolvată: metode aritmetice.
• La Evaluarea Națională: EN 2023, Subiectul I, itemul 4 ($\frac{2}{3}$ din 12, rezolvat aici) și EN 2026, subiect de rezervă, Subiectul al III-lea, problema 1 (un sfert din sumă, apoi un sfert din rest — se rezolvă și prin metoda figurativă, rezolvat aici). Mai multe: procente și fracții dintr-un număr la EN.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o fracție dintr-un număr? Împarți numărul la numitorul fracției și înmulțești rezultatul cu numărătorul. De exemplu, $\frac{3}{5}$ din 40 este $40:5\cdot 3=24$.

Cum aflu numărul dacă știu cât reprezintă o fracție din el? Afli cât reprezintă o singură parte (împarți la numărător), apoi înmulțești cu numitorul. Dacă $\frac{5}{8}$ din număr este 40, o optime este 8, iar numărul este 64.

Ce metodă folosesc la problemele cu „rest”? Metoda figurativă (desenezi întregul și restul ca segmente împărțite în părți egale) sau metoda mersului invers (pornești de la ce a rămas la final și faci operațiile inverse).