Limite de șiruri cu integrale. Șiruri de integrale — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți două lucruri: să calculezi limita unui șir de sume recunoscând în el o sumă Riemann, adică $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$, și să studiezi un șir de integrale $I_n$ (valori, monotonie, recurență, limită). Șirurile de integrale apar des la Bacalaureatul M1, la Subiectul III.2.c.

Lecția este în programa de clasa a XII-a la profilul mate-info (M1): „Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită”. Nu este în programa M2 (la științele naturii nu se studiază limitele de șiruri). Ai nevoie de integrala definită și proprietățile ei, de integrarea prin părți și de limitele de șiruri din clasa a XI-a (criteriul cleștelui).

Teorie

Sume Riemann pe diviziunea echidistantă

Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcție integrabilă (de exemplu continuă). Împărțim $[a,b]$ în $n$ părți egale, de lungime $\frac{b-a}{n}$, prin punctele $x_k=a+k\frac{b-a}{n}$, și luăm ca puncte intermediare capetele din dreapta $x_k$. Suma Riemann corespunzătoare este

$${\sigma }_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n}).$$

Norma diviziunii, $\frac{b-a}{n}$, tinde la 0, iar din definiția integrabilității rezultă

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n})={\int }_a^{b}f(x)dx,\text{în special}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$$

Interpretare geometrică: ${\sigma }_n$ este suma ariilor dreptunghiurilor de bază $\frac{1}{n}$ și înălțime $f\left(\frac{k}{n}\right)$; când $n$ crește, ele „umplu” subgraficul, a cărui arie este integrala.

Cum recunoști o sumă Riemann

1. Scoți în fața sumei factorul $\frac{1}{n}$ (sau $\frac{b-a}{n}$).
2. Scrii termenul general ca funcție de $\frac{k}{n}$: de exemplu $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci $f(x)=\frac{1}{1+x}$.
3. Identifici intervalul (când $k$ merge de la 1 la $n$, $\frac{k}{n}$ parcurge $(0,1]$) și calculezi integrala.

Șiruri de integrale

Un șir de integrale are termenul general $I_n={\int }_a^b{f}_n(x)dx$, de exemplu $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$. Cerințele tipice și instrumentul pentru fiecare:

Cerința	Instrumentul
$I_0$, $I_1$, $I_2$	Leibniz–Newton, părți, fracții simple
monotonia, semnul	monotonia integralei: dacă $f\le g$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$
relație de recurență	integrare prin părți sau adunarea a doi termeni ($I_n+I_{n+1}$, $I_n-I_{n+4}$ etc.)
limita	încadrare $m_n\le I_n\le M_n$ + criteriul cleștelui; sau monoton și mărginit (Weierstrass) + recurența

De ce funcționează încadrarea: pe $[0,1]$ avem $0\le x^{n+1}\le x^n$ și ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$. Dacă $m\le g(x)\le M$ pe $[0,1]$, cu $m\ge 0$, atunci $\frac{m}{n+1}\le {\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx\le \frac{M}{n+1}$, deci integrala tinde la 0.

De reținut

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$, pentru $f$ continuă pe $[0,1]$.
• Monotonia lui $I_n$ vine din compararea integranzilor pe intervalul de integrare.
• Recurențele vin din integrarea prin părți sau din simplificarea lui $I_n\pm I_{n+p}$.
• Limita se obține din încadrare (cleștele), nu „trecând la limită sub integrală”.
• Pentru $limn{I}_n$ combini recurența cu monotonia (vezi Exemplul 5).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n})}$.

Vezi rezolvarea

1. Termenul general: $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci suma este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ cu $f(x)=\frac{1}{1+x}$, continuă pe $[0,1]$.
2. Limita este ${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2$.

Răspuns: $\ln 2$

Exemplul 2. Calculează ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}}$.

Vezi rezolvarea

1. Împarți numărătorul și numitorul cu $n^2$: $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$.
2. Este suma Riemann a funcției $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ pe $[0,1]$: limita este ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0$.

Răspuns: $\frac{\pi }{4}$

Exemplul 3. Calculează ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}}$.

Vezi rezolvarea

1. $\frac{\sqrt{k}}{n\sqrt{n}}=\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}$, deci șirul este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$, suma Riemann pentru $f(x)=\sqrt{x}$ pe $[0,1]$.
2. Limita: ${\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}{|}_0^1=\frac{2}{3}$.

Răspuns: $\frac{2}{3}$

Exemplul 4. Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră $I_n={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx}$.
a) Calculează $I_0$ și $I_1$.
b) Arată că șirul $(I_n)$ este descrescător.
c) Arată că $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$.
d) Arată că $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=0$.

Vezi rezolvarea

1. a) $I_0=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2$; $I_1={\int }_0^1(1-\frac{1}{1+x})dx=1-\ln 2$.
2. b) Pentru $x\in [0,1]$: $x^{n+1}\le x^n$, deci $\frac{x^{n+1}}{1+x}\le \frac{x^n}{1+x}$; din monotonia integralei, $I_{n+1}\le I_n$.
3. c) $I_n+I_{n+1}={\int }_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.
4. d) Pe $[0,1]$: $0\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$, deci $0\le I_n\le \frac{1}{n+1}$. Din criteriul cleștelui, $I_n\to 0$.

Răspuns: a) $I_0=\ln 2$, $I_1=1-\ln 2$; d) $lim{I}_n=0$

Exemplul 5. Pentru șirul din Exemplul 4, calculează $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{I}_n$.

Vezi rezolvarea

1. Șirul este descrescător, deci $2I_{n+1}\le I_n+I_{n+1}\le 2I_n$. Cu recurența: $2I_{n+1}\le \frac{1}{n+1}\le 2I_n$.
2. Din dreapta: $I_n\ge \frac{1}{2(n+1)}$. Din stânga, scrisă pentru $n-1$ (cu $n\ge 1$): $I_n\le \frac{1}{2n}$.
3. Deci $\frac{n}{2(n+1)}\le n{I}_n\le \frac{1}{2}$, iar $\frac{n}{2(n+1)}\to \frac{1}{2}$. Din criteriul cleștelui, $n{I}_n\to \frac{1}{2}$.

Răspuns: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{I}_n=\frac{1}{2}$

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră $J_n={\displaystyle {\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx}$.
a) Arătați că $J_1=1$.
b) Demonstrați că $J_n=e-n{J}_{n-1}$, pentru orice număr natural $n\ge 1$.
c) Arătați că $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_n=0$ și $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{J}_n=e$.

Vezi rezolvarea

1. a) Prin părți, cu $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=e^x$: $J_1=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$.
2. b) Prin părți, cu $f(x)=x^n$, $g^{\prime }(x)=e^x$: $J_n=x^n{e}^x{|}_0^1-n{\int }_0^1{x}^{n-1}{e}^{x}dx=e-n{J}_{n-1}$. (Verificare: $J_0=e-1$, $J_1=e-1\cdot J_0=1$, $J_2=e-2$.)
3. c) Pe $[0,1]$: $1\le e^x\le e$, deci $\frac{1}{n+1}\le J_n\le \frac{e}{n+1}$ și, din criteriul cleștelui, $J_n\to 0$.
4. Din b) scrisă pentru $n+1$: $(n+1)J_n=e-J_{n+1}\to e$. Atunci $n{J}_n=(n+1)J_n-J_n\to e-0=e$.

Răspuns: c) $lim{J}_n=0$, $limn{J}_n=e$

Greșeli frecvente

• „Trec la limită sub integrală”: scrii $lim{\int }_0^1{x}^{n}g(x)dx={\int }_0^{1}lim{x}^{n}g(x)dx$. Acest pas nu este în programă și nici nu e justificat așa; demonstrezi limita prin încadrare și criteriul cleștelui.
• Funcția greșită în suma Riemann: în $\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ funcția este $\frac{1}{1+x}$ pe $[0,1]$, nu $\frac{1}{x}$. Scoate întâi $\frac{1}{n}$ în față și scrie totul cu $\frac{k}{n}$.
• Uiți factorul $\frac{1}{n}$: $\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$ tinde la $+\mathrm{\infty }$; abia $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2$ tinde la ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.
• Monotonie pe intervalul greșit: $x^{n+1}\le x^n$ doar pentru $x\in [0,1]$. Pe $[1,2]$ inegalitatea se inversează, iar șirul ${\int }_1^2{x}^{n}dx$ este crescător.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: integrala definită, clasa a 12-a (are și exerciții cu șiruri de integrale, M1) și integrale — exerciții rezolvate pas cu pas.
• La Bacalaureat M1: Bac 2022, sesiunea iunie, Subiectul III.2.c ($lim{I}_n=0$ pentru $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{f(x)}dx$, prin încadrare, rezolvat aici) și Modelul Bac 2027 M1, Subiectul III.2.c (relația $I_n-I_{n+4}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$, rezolvat aici). Toți itemii: integrale la Bacalaureat.
• Recapitulare: integrale definite, integrarea prin părți, fișa cu limite de șiruri (clasa a 11-a), integrarea funcțiilor raționale.

Întrebări frecvente

Cum recunosc o sumă Riemann într-o limită de șir? Caută o sumă de $n$ termeni în care, după ce scoți $\frac{1}{n}$ în față, fiecare termen depinde doar de $\frac{k}{n}$. Atunci șirul este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ și limita lui este ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

Cum arăt că un șir de integrale tinde la 0? Încadrezi integrandul: de obicei $0\le x^{n}g(x)\le M{x}^n$ pe $[0,1]$, de unde $0\le I_n\le \frac{M}{n+1}$, apoi aplici criteriul cleștelui.

Limitele cu integrale se dau la Bac M2? Nu. Calculul limitelor de șiruri cu integrala definită și șirurile de integrale sunt doar în programa M1 (mate-info). La M2 Subiectul III.2 cere primitive, integrale definite, arii și volume.