Fișă de lucru limite de șiruri clasa a 11-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 11-a despre șiruri de numere reale: monotonie, mărginire, limite de șiruri, cazuri de nedeterminare, numărul \(e=\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\), limite remarcabile, criteriul cleștelui și Stolz–Cesaro (M1). Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — limite de șiruri, clasa a 11-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Toate limitele se calculează pentru \(n\to\infty\), \(n\in\mathbb{N}^*\).

I. Nivel ușor

  1. Studiază monotonia șirului \(a_n=\frac{n}{n+1}\).
  2. Arată că șirul \(a_n=\frac{2n+1}{n+2}\) este mărginit.
  3. Calculează \(\lim\frac{3n^2+n}{n^2+5}\).
  4. Calculează: a) \(\lim\frac{2n+1}{n^2+1}\); b) \(\lim\frac{n^3}{n^2+1}\).
  5. Calculează: a) \(\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\); b) \(\lim 3^n\); c) \(\lim\frac{2^n+3^n}{3^n}\).
  6. Adevărat sau fals: a) orice șir monoton este convergent; b) orice șir convergent este mărginit; c) orice șir monoton și mărginit este convergent.

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\).
  2. Calculează \(\lim\frac{3^{n+1}+2^n}{3^n+5}\).
  3. Calculează \(\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}\).
  4. Calculează \(\lim\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n\).
  5. Calculează: a) \(\lim n\sin\frac{1}{n}\); b) \(\lim n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\).
  6. Calculează \(\lim\frac{1+2+\dots+n}{n^2}\).

III. Nivel greu

  1. Se consideră șirul \(a_1=1\), \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\). Arată că șirul este crescător și mărginit superior de 2, apoi calculează limita lui.
  2. Calculează \(\lim\left(\frac{n^2+1}{n^2-n}\right)^n\).
  3. Calculează \(\lim\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}\right)\).
  4. Folosind criteriul cleștelui, calculează \(\lim\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)\).
  5. (M1) Cu lema Stolz–Cesaro, calculează \(\lim\frac{1^2+2^2+\dots+n^2}{n^3}\).
  6. (M1) Cu lema Stolz–Cesaro, calculează \(\lim\frac{1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}}{\ln n}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. Strict crescător: \(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\gt 0\)
  2. \(a_n=2-\frac{3}{n+2}\), deci \(1\le a_n\lt 2\) pentru orice \(n\ge 1\)
  3. 3
  4. a) 0; b) \(+\infty\)
  5. a) 0; b) \(+\infty\); c) 1
  6. a) Fals (de exemplu \(a_n=n\)); b) Adevărat; c) Adevărat (teorema lui Weierstrass)
  7. \(\frac{1}{2}\) (amplifici cu conjugata: \(\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\))
  8. 3
  9. \(e^3\)
  10. \(e^2\) (\(\left(1+\frac{2}{n+1}\right)^n\))
  11. a) 1; b) 1 (limite remarcabile)
  12. \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{n(n+1)}{2n^2}\))
  13. Prin inducție \(a_n\lt 2\) și \(a_{n+1}\gt a_n\); limita \(\ell\) verifică \(\ell=\sqrt{2+\ell}\), deci \(\ell=2\)
  14. \(e\) (\(1^\infty\): exponentul devine \(n\cdot\frac{n+1}{n^2-n}\to 1\))
  15. 1 (suma telescopică este \(1-\frac{1}{n+1}\))
  16. 1 (\(\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le x_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\), ambele margini tind la 1)
  17. \(\frac{1}{3}\) (\(\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3-n^3}\to\frac{1}{3}\))
  18. 1 (\(\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}\to 1\))

Teorie: Șiruri — monotonie, mărginire, limite · Limite remarcabile — tabel · Formule clasa a 11-a · Alte fișe: toate fișele de lucru