Sisteme liniare. Regula lui Cramer — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un sistem de ecuații liniare, cum îl scrii sub formă matriceală și cum rezolvi un sistem de tip Cramer (la fel de multe ecuații ca necunoscute și determinantul matricei sistemului nenul) cu formulele $x_i=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x_i}}{\mathrm{\Delta }}$. Regula lui Cramer apare aproape în fiecare an la Bacalaureat, la Subiectul al II-lea, exercițiul 1, atât la M1, cât și la M2.

Teorie

Sistem de ecuații liniare. Forma matriceală

Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute are forma

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

unde $a_{ij}$ sunt coeficienții necunoscutelor, iar $b_1,\dots ,b_m$ sunt termenii liberi. Cu coeficienții formăm matricea sistemului $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$; adăugând coloana termenilor liberi obținem matricea extinsă $\overline{A}$. Dacă notăm $X$ coloana necunoscutelor și $B$ coloana termenilor liberi, sistemul se scrie pe scurt

$$A\cdot X=B\text{(forma matriceală)}.$$

O soluție a sistemului este un sistem ordonat de numere $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ care verifică toate ecuațiile. Un sistem care are cel puțin o soluție este compatibil: compatibil determinat dacă soluția este unică, compatibil nedeterminat dacă are mai multe soluții (atunci are o infinitate). Un sistem fără soluții este incompatibil. Dacă toți termenii liberi sunt 0, sistemul se numește omogen.

Sisteme de tip Cramer

Un sistem este de tip Cramer dacă are la fel de multe ecuații ca necunoscute ($m=n$, deci $A$ este matrice pătratică) și $\mathrm{\Delta }=detA\ne 0$.

Regula lui Cramer. Un sistem de tip Cramer este compatibil determinat, iar soluția lui unică este

$$x_1=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x_1}}{\mathrm{\Delta }},x_2=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x_2}}{\mathrm{\Delta }},\dots ,x_n=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x_n}}{\mathrm{\Delta }},$$

unde ${\mathrm{\Delta }}_{x_i}$ este determinantul obținut din $\mathrm{\Delta }$ înlocuind coloana coeficienților lui $x_i$ cu coloana termenilor liberi.

De ce este adevărat? Deoarece $detA\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă. Înmulțind la stânga $AX=B$ cu $A^{-1}$ obținem $X=A^{-1}B$, deci soluția există și este unică. Cum $A^{-1}=\frac{1}{detA}{A}^{\ast }$, componenta $i$ a lui $A^{-1}B$ este $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}(A_{1i}{b}_1+A_{2i}{b}_2+\cdots +A_{ni}{b}_n)$, unde $A_{ji}$ sunt complemenții algebrici ai elementelor coloanei $i$. Paranteza este exact dezvoltarea lui ${\mathrm{\Delta }}_{x_i}$ după coloana $i$, deci $x_i=\frac{{\mathrm{\Delta }}_{x_i}}{\mathrm{\Delta }}$.

Cazul a două ecuații cu două necunoscute

Pentru $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$ avem

$$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_x=\left|\begin{array}{cc}{c}_1& b_1\\ c_2& b_2\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|,x=\frac{{\mathrm{\Delta }}_x}{\mathrm{\Delta }},y=\frac{{\mathrm{\Delta }}_y}{\mathrm{\Delta }}.$$

Geometric, fiecare ecuație este o dreaptă în plan; $\mathrm{\Delta }\ne 0$ înseamnă că dreptele nu sunt paralele, deci se intersectează într-un singur punct, iar soluția sistemului este punctul de intersecție.

Dacă $\mathrm{\Delta }=0$, regula lui Cramer nu se aplică: sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat. Cum îl studiezi atunci afli în lecția compatibilitatea sistemelor, metoda lui Gauss. La profilul M2 (științele naturii), regula lui Cramer este în programă pentru sisteme cu cel mult 3 necunoscute; la M1, pentru sisteme cu cel mult 4 necunoscute.

De reținut

• Forma matriceală: $AX=B$; $A$ = matricea sistemului, $\overline{A}$ = matricea extinsă.
• Tip Cramer: $m=n$ și $\mathrm{\Delta }=detA\ne 0$ ⇒ soluție unică $x_i={\mathrm{\Delta }}_{x_i}/\mathrm{\Delta }$.
• ${\mathrm{\Delta }}_{x_i}$: în $\mathrm{\Delta }$ înlocuiești coloana lui $x_i$ cu coloana termenilor liberi.
• Verifică întotdeauna soluția în toate ecuațiile.
• $\mathrm{\Delta }=0$ ⇒ altă metodă (rang, Rouché, Gauss).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul $\{\begin{array}{l}3x-2y=4\\ x+4y=6\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 4\end{array}\right|=12+2=14\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer.
2. ${\mathrm{\Delta }}_x=\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ 6& 4\end{array}\right|=16+12=28$, ${\mathrm{\Delta }}_y=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 6\end{array}\right|=18-4=14$.
3. $x=\frac{28}{14}=2$, $y=\frac{14}{14}=1$. Verificare: $3\cdot 2-2\cdot 1=4$, $2+4\cdot 1=6$.

Răspuns: $x=2,y=1$

Exemplul 2. Scrie sub formă matriceală și rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Forma matriceală: $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 2\end{array}\right)$.
2. Cu regula lui Sarrus: $\mathrm{\Delta }=1+1+4+1-2+2=7\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer.
3. ${\mathrm{\Delta }}_x=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 3& -1& 1\\ 2& 2& -1\end{array}\right|=7$, ${\mathrm{\Delta }}_y=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=14$, ${\mathrm{\Delta }}_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right|=21$.
4. $x=\frac{7}{7}=1$, $y=\frac{14}{7}=2$, $z=\frac{21}{7}=3$. Verificare: $1+2+3=6$, $2-2+3=3$, $1+4-3=2$.

Răspuns: $(x,y,z)=(1,2,3)$

Exemplul 3. Un magazin vinde caiete, pixuri și creioane colorate. Ana plătește 17 lei pentru 2 caiete, un pix și o cutie de creioane; Bogdan plătește 19 lei pentru un caiet, 3 pixuri și o cutie de creioane; Carmen plătește 21 de lei pentru 3 caiete, un pix și o cutie de creioane. Află prețurile.

Vezi rezolvarea

1. Notăm cu $x,y,z$ prețurile (în lei) unui caiet, unui pix și unei cutii de creioane: $\{\begin{array}{l}2x+y+z=17\\ x+3y+z=19\\ 3x+y+z=21\end{array}$.
2. $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$.
3. ${\mathrm{\Delta }}_x=-8$, ${\mathrm{\Delta }}_y=-6$, ${\mathrm{\Delta }}_z=-12$, deci $x=4$, $y=3$, $z=6$.
4. Verificare: $8+3+6=17$, $4+9+6=19$, $12+3+6=21$.

Răspuns: caietul 4 lei, pixul 3 lei, cutia de creioane 6 lei

Exemplul 4. Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}mx+y+z=1\\ x+my+z=1\\ x+y+mz=1\end{array}$, unde $m$ este număr real. Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul este de tip Cramer și rezolvă-l în acest caz.

Vezi rezolvarea

1. Adunăm toate coloanele la prima, apoi scoatem factorul comun $m+2$: $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right|=(m+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right|=(m+2)(m-1{)}^2$.
2. Sistemul este de tip Cramer dacă $\mathrm{\Delta }\ne 0$, adică $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$.
3. Adunând ecuațiile: $(m+2)(x+y+z)=3$, deci $x+y+z=\frac{3}{m+2}$. Scăzând primele două ecuații: $(m-1)(x-y)=0$, deci $x=y$ (pentru $m\ne 1$); analog $y=z$.
4. Așadar $x=y=z=\frac{1}{m+2}$ (același rezultat se obține cu ${\mathrm{\Delta }}_x={\mathrm{\Delta }}_y={\mathrm{\Delta }}_z=(m-1{)}^2$).

Răspuns: pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$, $x=y=z=\frac{1}{m+2}$

Exemplul 5 (tip Bacalaureat). Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y+z=a\\ 2x+y+z=1\\ x+y+2z=0\end{array}$, unde $a$ este număr real. a) Arată că sistemul are soluție unică pentru orice $a$. b) Determină $a$ pentru care soluția $(x_0,y_0,z_0)$ verifică $x_0+y_0+z_0=2$.

Vezi rezolvarea

1. a) $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=2+2+2-1-1-8=-4\ne 0$ și nu depinde de $a$, deci sistemul este de tip Cramer pentru orice $a\in \mathbb{R}$.
2. b) ${\mathrm{\Delta }}_x=\left|\begin{array}{ccc}a& 2& 1\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=a-3$, ${\mathrm{\Delta }}_y=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=1-3a$, ${\mathrm{\Delta }}_z=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right|=a+1$.
3. $x_0+y_0+z_0=\frac{(a-3)+(1-3a)+(a+1)}{-4}=\frac{-a-1}{-4}=\frac{a+1}{4}$.
4. $\frac{a+1}{4}=2\Rightarrow a=7$. (Verificare rapidă: adunând ecuațiile, $4(x+y+z)=a+1$.)

Răspuns: a) $\mathrm{\Delta }=-4\ne 0$; b) $a=7$

Greșeli frecvente

• Înlocuiești o linie în loc de o coloană: în ${\mathrm{\Delta }}_x$ se înlocuiește coloana coeficienților lui $x$ cu termenii liberi; liniile rămân ecuațiile sistemului.
• Aplici Cramer când $\mathrm{\Delta }=0$: împărțirea la 0 nu are sens. Dacă $\mathrm{\Delta }=0$, sistemul nu e de tip Cramer și se studiază cu rangul (Kronecker–Capelli, Rouché) sau cu metoda lui Gauss.
• Ordinea necunoscutelor amestecată: înainte de a scrie matricea, aranjează fiecare ecuație în ordinea $x,y,z$ și pune coeficientul 0 pentru necunoscuta care lipsește.
• „$\mathrm{\Delta }=0$ înseamnă că sistemul nu are soluții”: fals; sistemul poate avea o infinitate de soluții (de exemplu, două ecuații proporționale).

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: sisteme de ecuații liniare, clasa a 11-a (printabilă, cu răspunsuri).
• La Bacalaureat: Bac M1 2026, sesiunea iunie, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) și c) ($\mathrm{\Delta }=a^2-2a+3>0$, soluție unică pentru orice $a$, apoi regula lui Cramer: rezolvat aici) și Simulare Bac M1 2025, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) (valorile lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică, rezolvat aici).
• Toate subiectele cu sisteme și determinanți: matrice și determinanți la Bacalaureat — Subiectul II.1.
• Recapitulare: determinanți, matricea inversă, sisteme de ecuații; verifică-ți calculele cu calculatorul de sisteme.
• Lecția următoare: rangul unei matrice.

Întrebări frecvente

Când se poate aplica regula lui Cramer? Când sistemul are la fel de multe ecuații ca necunoscute și determinantul matricei sistemului este nenul. Atunci sistemul are o singură soluție, $x_i={\mathrm{\Delta }}_{x_i}/\mathrm{\Delta }$.

Cum se calculează ${\mathrm{\Delta }}_x$? Pornești de la determinantul sistemului și înlocuiești coloana coeficienților lui $x$ cu coloana termenilor liberi; celelalte coloane rămân neschimbate.

Ce fac dacă determinantul sistemului este 0? Sistemul nu este de tip Cramer. Calculezi rangul matricei sistemului și al matricei extinse (teorema Kronecker–Capelli sau Rouché) ori aplici metoda lui Gauss ca să afli dacă e incompatibil sau are o infinitate de soluții.