Compatibilitatea sistemelor. Metoda lui Gauss. Sisteme omogene — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să decizi dacă un sistem liniar are soluții, chiar și atunci când nu e de tip Cramer: cu teorema Kronecker–Capelli (comparând rangurile) și cu teorema lui Rouché (minorii caracteristici). Apoi rezolvi sisteme prin metoda lui Gauss (eliminare pe linii) și studiezi sistemele omogene, care au soluții nenule exact când determinantul este 0. Toate acestea sunt în programa M1 și apar la Bacalaureat la Subiectul al II-lea, exercițiul 1.

Teorie

Considerăm un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute, cu matricea $A$ și matricea extinsă $\overline{A}$ (vezi lecția despre regula lui Cramer). Avem mereu $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}$, pentru că $\overline{A}$ conține toate coloanele lui $A$.

Teorema Kronecker–Capelli

Un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$.

Fie $r=\mathrm{rang}A$. Un minor nenul de ordin $r$ al lui $A$ se numește minor principal și se notează ${\mathrm{\Delta }}_p$. Necunoscutele ale căror coeficienți formează coloanele lui ${\mathrm{\Delta }}_p$ sunt necunoscute principale, celelalte sunt necunoscute secundare; ecuațiile ale căror linii intră în ${\mathrm{\Delta }}_p$ sunt ecuații principale, celelalte sunt ecuații secundare.

Teorema lui Rouché

Un minor caracteristic se obține bordând minorul principal cu coloana termenilor liberi și cu linia (coeficienți și termen liber) unei ecuații secundare. Există atâția minori caracteristici câte ecuații secundare sunt, adică $m-r$.

Un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli. Dacă $r=m$, nu există minori caracteristici și sistemul este compatibil.

În programă, acestea apar ca „proprietatea Kronecker–Capelli” și „proprietatea Rouché”: le folosești în aplicații, demonstrația nu se cere.

Cum rezolvi un sistem compatibil

1. Păstrezi doar ecuațiile principale (cele secundare sunt consecințe ale lor).
2. Necunoscutele secundare devin parametri reali: $\alpha ,\beta ,\dots$; le treci în membrul drept.
3. Rezolvi cu regula lui Cramer sistemul obținut în necunoscutele principale (determinantul lui este ${\mathrm{\Delta }}_p\ne 0$).

Dacă $r=n$ (toate necunoscutele sunt principale), sistemul este compatibil determinat. Dacă $r<n$, este compatibil nedeterminat, cu $n-r$ necunoscute secundare (parametri).

Metoda lui Gauss (eliminarea)

Următoarele transformări elementare pe ecuațiile unui sistem (adică pe liniile matricei extinse) dau un sistem cu aceleași soluții: schimbarea ordinii a două ecuații; înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul; adunarea la o ecuație a altei ecuații înmulțite cu un număr.

Cu ele aducem $\overline{A}$ la forma în trepte (sub fiecare prim element nenul al unei linii, numai zerouri). Apoi:

• dacă apare o linie $(00\dots 0\mid c)$ cu $c\ne 0$, ecuația $0=c$ este imposibilă: sistemul este incompatibil;
• altfel, rezolvi „de jos în sus”; dacă sunt mai puține trepte decât necunoscute, necunoscutele fără treaptă devin parametri.

Metoda lui Gauss nu cere calculul determinanților și funcționează pentru orice număr de ecuații și necunoscute.

Sisteme omogene

Un sistem omogen (toți termenii liberi sunt 0) este întotdeauna compatibil: are soluția nulă $(0,0,\dots ,0)$ (în plus, $\overline{A}$ are o coloană nulă, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A$).

• Un sistem omogen are și soluții nenule (nebanale) dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A<n$.
• Pentru $n$ ecuații cu $n$ necunoscute: are soluții nenule $⟺detA=0$; dacă $detA\ne 0$, are doar soluția nulă (sistem de tip Cramer cu toate ${\mathrm{\Delta }}_{x_i}=0$).

De reținut

• Compatibil $⟺\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$ $⟺$ toți minorii caracteristici sunt nuli.
• Rang = număr de necunoscute ⇒ soluție unică; rang < număr de necunoscute ⇒ infinitate de soluții.
• Gauss: transformări pe liniile lui $\overline{A}$ → formă în trepte → rezolvare de jos în sus.
• Omogen pătratic: soluții nenule $⟺detA=0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (sistem incompatibil). Studiază compatibilitatea sistemului $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ 2x+3y+4z=4\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. $detA=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=0$ (linia 3 = linia 1 + linia 2), iar ${\mathrm{\Delta }}_p=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$. Necunoscute principale $x,y$; ecuația 3 este secundară.
2. Minorul caracteristic: ${\mathrm{\Delta }}_c=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=1\ne 0$.
3. Conform teoremei lui Rouché, sistemul este incompatibil (echivalent: $\mathrm{rang}\overline{A}=3\ne 2$). Direct: suma primelor două ecuații dă $2x+3y+4z=3$, în contradicție cu a treia.

Răspuns: sistemul este incompatibil

Exemplul 2 (compatibil nedeterminat). Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y+3z=2\\ 2x+3y+4z=3\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Matricea sistemului este aceeași ca în exemplul 1: $\mathrm{rang}A=2$, ${\mathrm{\Delta }}_p=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1$.
2. ${\mathrm{\Delta }}_c=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 3& 3\end{array}\right|=0$ (ultimele două coloane sunt egale), deci sistemul este compatibil; cum $r=2<3=n$, este compatibil nedeterminat.
3. Păstrăm ecuațiile principale și notăm $z=\alpha$: $\{\begin{array}{l}x+y=1-\alpha \\ x+2y=2-3\alpha \end{array}\Rightarrow y=1-2\alpha ,x=\alpha$.
4. Verificare în ecuația 3: $2\alpha +3(1-2\alpha )+4\alpha =3$.

Răspuns: $S=\{(\alpha ,1-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$

Exemplul 3 (metoda lui Gauss). Rezolvă prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\\ 2x+y-z=0\\ x-y+2z=9\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Matricea extinsă: $\left(\begin{array}{rrrr}1& 1& 1& 4\\ 2& 1& -1& 0\\ 1& -1& 2& 9\end{array}\right)$.
2. $L_2\to L_2-2L_1$, $L_3\to L_3-L_1$: $\left(\begin{array}{rrrr}1& 1& 1& 4\\ 0& -1& -3& -8\\ 0& -2& 1& 5\end{array}\right)$.
3. $L_3\to L_3-2L_2$: $\left(\begin{array}{rrrr}1& 1& 1& 4\\ 0& -1& -3& -8\\ 0& 0& 7& 21\end{array}\right)$.
4. De jos în sus: $7z=21\Rightarrow z=3$; $-y-9=-8\Rightarrow y=-1$; $x-1+3=4\Rightarrow x=2$.
5. Verificare: $2-1+3=4$, $4-1-3=0$, $2+1+6=9$.

Răspuns: $(x,y,z)=(2,-1,3)$

Exemplul 4 (Gauss, patru necunoscute). Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z+t=4\\ x-y+z-t=0\\ 2x+y-z+t=3\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. $L_2\to L_2-L_1$, $L_3\to L_3-2L_1$: $\left(\begin{array}{rrrrr}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& -2& 0& -2& -4\\ 0& -1& -3& -1& -5\end{array}\right)$.
2. $L_2\to -\frac{1}{2}{L}_2$, apoi $L_3\to L_3+L_2$: $\left(\begin{array}{rrrrr}1& 1& 1& 1& 4\\ 0& 1& 0& 1& 2\\ 0& 0& -3& 0& -3\end{array}\right)$.
3. Avem 3 trepte și 4 necunoscute, deci sistemul este compatibil nedeterminat; $t$ (fără treaptă) devine parametru: $t=\alpha$.
4. $-3z=-3\Rightarrow z=1$; $y+\alpha =2\Rightarrow y=2-\alpha$; $x+(2-\alpha )+1+\alpha =4\Rightarrow x=1$.

Răspuns: $S=\{(1,2-\alpha ,1,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$

Exemplul 5 (sistem omogen). Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+mz=0\\ x+my+z=0\\ mx+y+z=0\end{array}$, $m\in \mathbb{R}$. Determină $m$ pentru care sistemul are și soluții nenule și rezolvă-l pentru $m=-2$.

Vezi rezolvarea

1. Sistemul este omogen cu 3 ecuații și 3 necunoscute, deci are soluții nenule $⟺detA=0$. Am calculat în lecția despre rang: $detA=-(m+2)(m-1{)}^2$.
2. $detA=0⟺m\in \{-2,1\}$.
3. Pentru $m=-2$: $\mathrm{rang}A=2$, ${\mathrm{\Delta }}_p=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-3$. Notăm $z=\alpha$: $\{\begin{array}{l}x+y=2\alpha \\ x-2y=-\alpha \end{array}\Rightarrow y=\alpha ,x=\alpha$.
4. Verificare în ecuația 3: $-2\alpha +\alpha +\alpha =0$. (Pentru $m=1$ cele trei ecuații coincid: $x+y+z=0$, cu două necunoscute secundare.)

Răspuns: $m\in \{-2,1\}$; pentru $m=-2$, $S=\{(\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$

Exemplul 6 (discuție, tip Bacalaureat). Discută, după valorile parametrilor reali $a$ și $b$, sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+2y+3z=6\\ 2x+3y+az=b\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. $detA=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& a\end{array}\right|=2a+6+3-4-9-a=a-4$.
2. Dacă $a\ne 4$: sistem de tip Cramer, compatibil determinat.
3. Dacă $a=4$: $\mathrm{rang}A=2$ (${\mathrm{\Delta }}_p=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1$), iar minorul caracteristic este ${\mathrm{\Delta }}_c=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 6\\ 2& 3& b\end{array}\right|=b-9$.
4. Pentru $a=4,b=9$: ${\mathrm{\Delta }}_c=0$, sistem compatibil nedeterminat: $z=\alpha$, $y=3-2\alpha$, $x=\alpha$. Pentru $a=4,b\ne 9$: ${\mathrm{\Delta }}_c\ne 0$, sistem incompatibil.

Răspuns: $a\ne 4$: compatibil determinat; $a=4,b=9$: compatibil nedeterminat; $a=4,b\ne 9$: incompatibil

Greșeli frecvente

• „$detA=0$, deci sistemul e incompatibil”: fals; trebuie verificați minorii caracteristici (exemplele 1 și 2 au aceeași matrice $A$, dar unul este incompatibil, celălalt are o infinitate de soluții).
• Uiți ecuațiile secundare: la un sistem compatibil ele sunt consecințe ale celor principale, dar compatibilitatea trebuie demonstrată (cu ${\mathrm{\Delta }}_c=0$) înainte să le ignori.
• Transformări pe coloane la Gauss: operațiile se fac pe linii (ecuații), aplicate și termenilor liberi. Combinarea coloanelor amestecă necunoscutele.
• „Sistemul omogen poate fi incompatibil”: niciodată; are mereu soluția nulă. Întrebarea corectă este dacă are și soluții nenule.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: sisteme de ecuații liniare, clasa a 11-a (Rouché, Kronecker–Capelli, discuție după parametru, sisteme omogene).
• La Bacalaureat: Bac M1 2023, sesiunea iunie, Subiectul al II-lea, ex. 1 c) (pentru $a=-2$, $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$, sistem compatibil nedeterminat, rezolvat aici) și Simulare Bac M1 2022, Subiectul al II-lea, ex. 1 c) (sistemul cu o infinitate de soluții, rezolvat aici).
• Toate subiectele: matrice, determinanți și sisteme la Bacalaureat.
• Verifică-ți rezolvările cu calculatorul de sisteme (metoda lui Gauss).
• Lecțiile anterioare: regula lui Cramer, rangul unei matrice.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un sistem este compatibil? Calculezi rangul matricei sistemului și rangul matricei extinse: dacă sunt egale, sistemul este compatibil (Kronecker–Capelli). Echivalent, toți minorii caracteristici trebuie să fie nuli (Rouché).

Ce este metoda lui Gauss? Este metoda eliminării: prin transformări elementare pe liniile matricei extinse aduci sistemul la formă în trepte, apoi îl rezolvi de jos în sus. O linie de forma $0=c$, cu $c\ne 0$, arată că sistemul este incompatibil.

Când are un sistem omogen soluții nenule? Când rangul matricei sistemului este mai mic decât numărul necunoscutelor; pentru un sistem pătratic, exact când determinantul sistemului este 0.