Rangul unei matrice — lecție clasa a 11-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un minor al unei matrice, cum se definește rangul și cum îl calculezi rapid prin bordarea unui minor nenul. Rangul îți spune câte linii (sau coloane) „independente” are o matrice și este instrumentul cu care decizi, la sistemele liniare, dacă un sistem e compatibil (teoremele Kronecker–Capelli și Rouché). Lecția este din programa M1 (mate-info); la M2 rangul nu este în programă.

Teorie

Minorii unei matrice

Fie $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$ și $k\le min(m,n)$. Alegem $k$ linii și $k$ coloane ale lui $A$; elementele aflate la intersecția lor formează o matrice pătratică de ordin $k$. Determinantul ei se numește minor de ordin $k$ al matricei $A$. Minorii de ordin 1 sunt chiar elementele matricei.

De exemplu, pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 1& 4\end{array}\right)$, alegând liniile 1, 2 și coloanele 1, 3 obținem minorul de ordin 2 $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 4\end{array}\right|=4$. Matricea are 3 minori de ordin 2 (câte unul pentru fiecare pereche de coloane) și niciun minor de ordin 3.

Definiția rangului

Fie $A$ o matrice nenulă. Spunem că rangul matricei $A$ este $r$ și scriem $\mathrm{rang}A=r$ dacă $A$ are un minor nenul de ordin $r$ și toți minorii de ordin mai mare decât $r$ (dacă există) sunt nuli. Prin convenție, rangul matricei nule $O_{m,n}$ este 0.

Altfel spus, rangul este ordinul maxim al unui minor nenul al matricei. De aici rezultă imediat:

• $0\le \mathrm{rang}A\le min(m,n)$;
• pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$: $\mathrm{rang}A=n⟺detA\ne 0$;
• $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$ (minorii transpusei sunt minorii lui $A$, transpuși, deci au aceleași valori).

Observație. Dacă toți minorii de ordin $k$ sunt nuli, atunci și toți minorii de ordin $k+1$ sunt nuli: dezvoltând un minor de ordin $k+1$ după o linie, obții o sumă de termeni care conțin câte un minor de ordin $k$. De aceea e suficient să găsești un minor nenul de ordin $r$ și să arăți că toți cei de ordin $r+1$ sunt nuli.

Calculul rangului prin bordare

Un minor de ordin $r+1$ obținut dintr-un minor $\mathrm{\Delta }$ de ordin $r$ adăugând încă o linie și încă o coloană ale lui $A$ se numește minor care bordează pe $\mathrm{\Delta }$.

Proprietate (metoda bordării). Dacă matricea $A$ are un minor $\mathrm{\Delta }\ne 0$ de ordin $r$ și toți minorii de ordin $r+1$ care îl bordează pe $\mathrm{\Delta }$ sunt nuli, atunci $\mathrm{rang}A=r$.

Avantajul: în loc să calculezi toți minorii de ordin $r+1$, îi calculezi doar pe cei care conțin minorul ales. Pentru o matrice de tip $3\times 4$ cu un minor nenul de ordin 2, sunt doar $(3-2)(4-2)=2$ minori care îl bordează, față de 4 minori de ordin 3 în total.

Algoritm practic. 1) Dacă $A\ne O$, rangul este cel puțin 1. 2) Cauți un minor de ordin 2 nenul; dacă nu există, rangul este 1. 3) Îl bordezi cu fiecare linie și coloană rămasă; dacă toți minorii obținuți sunt nuli, rangul este 2; dacă unul e nenul, rangul este cel puțin 3 și continui la fel.

De reținut că și transformările elementare pe linii (schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un număr nenul, adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr) nu schimbă rangul; pe această idee se bazează metoda lui Gauss.

De reținut

• Rangul = ordinul maxim al unui minor nenul; $\mathrm{rang}O=0$.
• $\mathrm{rang}A\le min(m,n)$; la matrice pătratică de ordin $n$: rang $n$ ⇔ $detA\ne 0$.
• Două linii proporționale (sau o linie combinație a celorlalte) „scad” rangul.
• Bordare: minor $\mathrm{\Delta }\ne 0$ de ordin $r$ + toți bordanții nuli ⇒ rang $r$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Determină rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -6& 3\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Singurul minor de ordin 2 este $detA=2\cdot 3-(-1)(-6)=6-6=0$.
2. Matricea nu este nulă (are elemente nenule, adică minori de ordin 1 nenuli), deci $\mathrm{rang}A=1$. Observă că a doua linie este prima înmulțită cu $-3$.

Răspuns: $\mathrm{rang}A=1$

Exemplul 2. Determină rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 0\\ 3& 3& -1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Cu regula lui Sarrus: $detA=-1+0-6+3-0+4=0$, deci $\mathrm{rang}A\le 2$.
2. Minorul format de liniile 1, 2 și coloanele 1, 2: $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=1-4=-3\ne 0$.
3. Deci $\mathrm{rang}A=2$. (Explicație: linia a treia este suma primelor două.)

Răspuns: $\mathrm{rang}A=2$

Exemplul 3. Determină, prin bordare, rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -1& 3\\ 3& 3& 0& 3\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Alegem minorul $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=-3\ne 0$ (liniile 1, 2; coloanele 1, 2), deci $\mathrm{rang}A\ge 2$.
2. Îl bordăm cu linia 3 și pe rând cu coloana 3, respectiv coloana 4: $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& -1\\ 3& 3& 0\end{array}\right|=0$ și $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 1& 3\\ 3& 3& 3\end{array}\right|=0$.
3. Toți minorii care bordează pe $\mathrm{\Delta }$ sunt nuli, deci $\mathrm{rang}A=2$ (linia 3 = linia 1 + linia 2).

Răspuns: $\mathrm{rang}A=2$

Exemplul 4. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 2& 4& b\end{array}\right)$ are rangul 1.

Vezi rezolvarea

1. $A\ne O$, deci $\mathrm{rang}A=1$ dacă și numai dacă toți cei trei minori de ordin 2 sunt nuli.
2. $\left|\begin{array}{cc}1& a\\ 2& 4\end{array}\right|=4-2a=0\Rightarrow a=2$; $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& b\end{array}\right|=b-4=0\Rightarrow b=4$.
3. Al treilea minor: $\left|\begin{array}{cc}a& 2\\ 4& b\end{array}\right|=ab-8=2\cdot 4-8=0$, deci și el este nul. Liniile sunt proporționale: $(2,4,4)=2\cdot (1,2,2)$.

Răspuns: $a=2,b=4$

Exemplul 5 (cu parametru). Discută, după valorile parametrului real $m$, rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 1& m& 1\\ m& 1& 1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea

1. Adunăm toate coloanele la prima și scoatem factorul $m+2$: $detA=(m+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& m\\ 1& m& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-(m+2)(m-1{)}^2$.
2. Dacă $m\notin \{-2,1\}$: $detA\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$.
3. Dacă $m=1$: toate elementele sunt 1, toate liniile sunt egale, deci toți minorii de ordin 2 sunt nuli și $\mathrm{rang}A=1$.
4. Dacă $m=-2$: $detA=0$, iar $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$.

Răspuns: rang 3 pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$; rang 2 pentru $m=-2$; rang 1 pentru $m=1$

Greșeli frecvente

• „Determinantul e 0, deci rangul e 0”: fals. $detA=0$ spune doar că rangul este mai mic decât ordinul matricei; rangul 0 îl are numai matricea nulă.
• Te oprești după un singur minor nul: ca să arăți că rangul este $r$, trebuie ca toți minorii care bordează minorul nenul ales să fie nuli, nu doar unul dintre ei.
• Calculezi „determinantul” unei matrice nepătratice: determinantul există doar pentru matrice pătratice; la o matrice $2\times 3$ lucrezi cu minorii ei de ordin 2.
• Rang mai mare decât numărul de linii sau de coloane: imposibil; o matrice $3\times 4$ are rangul cel mult 3.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: sisteme de ecuații liniare, clasa a 11-a (conține exerciții de calcul al rangului, marcate M1).
• La Bacalaureat: Bac M1 2025, sesiunea august, Subiectul al II-lea, ex. 1 b) (pentru $a=1$ sistemul are o infinitate de soluții; matricea sistemului și matricea extinsă au amândouă rangul 2, rezolvat aici). Rangul nu se cere de obicei ca item separat, dar e instrumentul din spatele discuției sistemelor.
• Recapitulare: determinanți și proprietățile lor; verifică determinanții cu calculatorul de determinanți.
• Lecția anterioară: regula lui Cramer; lecția următoare: compatibilitatea sistemelor, metoda lui Gauss.

Întrebări frecvente

Ce este rangul unei matrice? Este ordinul maxim al unui minor nenul al matricei. De exemplu, o matrice pătratică de ordin 3 cu determinantul 0, dar cu un minor de ordin 2 nenul, are rangul 2.

Cum se calculează rangul unei matrice rapid? Alegi un minor nenul de ordin $r$ și calculezi doar minorii de ordin $r+1$ care îl bordează. Dacă toți sunt nuli, rangul este $r$; dacă unul este nenul, rangul crește și continui.

La ce folosește rangul? În principal la sisteme liniare: un sistem este compatibil exact când matricea sistemului și matricea extinsă au același rang (teorema Kronecker–Capelli), iar rangul arată câte necunoscute principale are sistemul.