Ecuații iraționale — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi ecuații în care necunoscuta apare sub radical: pui condițiile de existență, izolezi radicalul, ridici la putere și verifici soluțiile; vezi și substituția, metoda monotoniei și câteva inecuații iraționale. Lecția este în programa nouă de clasa a IX-a și în programa veche de clasa a X-a, iar la Bacalaureat (M1 și M2) o ecuație irațională apare foarte des la Subiectul I.3.

Teorie

Ce este o ecuație irațională

O ecuație irațională este o ecuație în care necunoscuta apare sub unul sau mai mulți radicali, de exemplu $\sqrt{x+3}=x+1$ sau $\sqrt[3]{x^2-4}=\sqrt[3]{3x-6}$. A rezolva ecuația în $\mathbb{R}$ înseamnă a găsi toate numerele reale care, înlocuite, dau o egalitate adevărată.

Condiții de existență

• Radicalul de ordin par $\sqrt[2k]{f(x)}$ există numai dacă $f(x)\ge 0$; valoarea lui este tot $\ge 0$.
• Radicalul de ordin impar $\sqrt[2k+1]{f(x)}$ există pentru orice valoare a lui $f(x)$; poate fi și negativ: $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Mulțimea valorilor lui $x$ pentru care toți radicalii există se numește domeniul de existență al ecuației; soluțiile se caută doar în el.

De ce trebuie verificate soluțiile

Metoda de bază este ridicarea la putere. Dacă $a=b$, atunci $a^2=b^2$, dar reciproca este falsă: din $a^2=b^2$ rezultă doar $a=b$ sau $a=-b$. Deci, ridicând la pătrat, putem câștiga soluții false (numite soluții străine). Ele se elimină fie verificând în ecuația inițială, fie punând dinainte condiția de semn. Avem echivalențele:

$$\sqrt{f(x)}=g(x)⟺\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)=g(x{)}^2\end{array}$$

(condiția $f(x)\ge 0$ este automat îndeplinită, pentru că $f(x)=g(x{)}^2\ge 0$). Pentru radicalul de ordin 3 nu apar soluții străine, pentru că funcția $t\mapsto t^3$ este strict crescătoare, deci injectivă: $a^3=b^3⟺a=b$. De aceea

$$\sqrt[3]{f(x)}=g(x)⟺f(x)=g(x{)}^3,\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{g(x)}⟺f(x)=g(x).$$

Pentru doi radicali de ordin 2: $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}⟺f(x)=g(x)$ și $f(x)\ge 0$ (atunci și $g(x)\ge 0$).

Metode de rezolvare

1. Izolarea radicalului și ridicarea la putere. Lași radicalul singur într-un membru, ridici la puterea egală cu ordinul radicalului, rezolvi ecuația obținută (de obicei de gradul I sau II) și păstrezi doar soluțiile care respectă condițiile. Cu doi radicali de ordin 2, poate fi nevoie să ridici la pătrat de două ori.
2. Substituția. Dacă aceeași expresie apare și sub radical, și în afara lui, notezi radicalul cu $t$ (cu $t\ge 0$ pentru ordin par) și obții o ecuație mai simplă în $t$.
3. Monotonia. Dacă membrul stâng este o funcție strict crescătoare și membrul drept este constant (sau strict descrescător), ecuația are cel mult o soluție; o găsești prin încercare și argumentezi că e unică.

Inecuații iraționale (programa nouă de clasa a IX-a)

La inecuații nu putem „verifica” fiecare soluție, deci lucrăm doar cu echivalențe. Pentru $g(x)$ oarecare:

$$\sqrt{f(x)}<g(x)⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<g(x{)}^2\end{array}\sqrt{f(x)}>g(x)⟺\{\begin{array}{l}g(x)<0\\ f(x)\ge 0\end{array}\text{ sau }\{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)>g(x{)}^2\end{array}$$

Motivul: două numere nenegative se compară la fel ca pătratele lor; dacă membrul drept e negativ, inegalitatea $\sqrt{f(x)}>g(x)$ este adevărată pentru orice $x$ din domeniu.

De reținut

• Întâi condițiile: sub radicalul de ordin par expresia trebuie să fie $\ge 0$.
• $\sqrt{f}=g\Rightarrow$ cere $g\ge 0$ înainte de a ridica la pătrat.
• La radicalul de ordin 3 ridici la cub fără condiții: transformarea este echivalentă.
• Orice soluție găsită după ridicarea la pătrat se verifică (sau se compară cu condițiile).
• $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}$, nu $a+b$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+3}=x+1$.

Vezi rezolvarea

1. Condiții: $x+3\ge 0$ și membrul drept $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$.
2. Ridicăm la pătrat: $x+3=x^2+2x+1$ $⟺x^2+x-2=0$.
3. $\mathrm{\Delta }=1+8=9$, deci $x_1=1$, $x_2=-2$.
4. $x_2=-2$ nu respectă $x\ge -1$ (într-adevăr, $\sqrt{1}=1\ne -1$); $x_1=1$ verifică: $\sqrt{4}=2=1+1$.

Răspuns: $S=\{1\}$

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt[3]{x^3-3x^2+6}=x-1$.

Vezi rezolvarea

1. Radicalul are ordin impar, deci nu avem condiții de existență, iar ridicarea la cub este o transformare echivalentă.
2. $x^3-3x^2+6=(x-1{)}^3$ $=x^3-3x^2+3x-1$.
3. Termenii $x^3$ și $-3x^2$ se reduc: $6=3x-1$, deci $x=\frac{7}{3}$.

Răspuns: $S=\left\{\frac{7}{3}\right\}$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1$.

Vezi rezolvarea

1. Condiții: $2x+3\ge 0$ și $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$.
2. Izolăm un radical: $\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}$. Ambii membri sunt pozitivi, deci putem ridica la pătrat fără să pierdem echivalența: $2x+3$ $=1+2\sqrt{x+1}+x+1$, adică $x+1=2\sqrt{x+1}$.
3. Notăm $t=\sqrt{x+1}\ge 0$: $t^2=2t⟺t(t-2)=0$, deci $t=0$ sau $t=2$.
4. $t=0\Rightarrow x=-1$; $t=2\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3$.
5. Verificare: $x=-1$: $\sqrt{1}-0=1$; $x=3$: $\sqrt{9}-\sqrt{4}=1$.

Răspuns: $S=\{-1,3\}$

Exemplul 4 (substituție). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x^2-3x+5}+x^2-3x=7$.

Vezi rezolvarea

1. $x^2-3x+5={(x-\frac{3}{2})}^2+\frac{11}{4}>0$, deci radicalul există pentru orice $x\in \mathbb{R}$.
2. Notăm $t=\sqrt{x^2-3x+5}\ge 0$; atunci $x^2-3x=t^2-5$, iar ecuația devine $t+t^2-5=7$ $⟺t^2+t-12=0$.
3. Soluțiile sunt $t=3$ și $t=-4$; cum $t\ge 0$, rămâne $t=3$.
4. $x^2-3x+5=9$ $⟺x^2-3x-4=0$ $⟺(x-4)(x+1)=0$.

Răspuns: $S=\{-1,4\}$

Exemplul 5 (monotonie). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+6}=3$.

Vezi rezolvarea

1. Condiție: $x\ge 1$.
2. Funcțiile $x\mapsto \sqrt{x-1}$ și $x\mapsto \sqrt[3]{x+6}$ sunt strict crescătoare pe $[1,\mathrm{\infty })$, deci și suma lor $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+6}$ este strict crescătoare, adică injectivă. Ecuația $f(x)=3$ are cel mult o soluție.
3. Încercăm valori care fac radicalii „frumoși”: $x=2$ dă $\sqrt{1}+\sqrt[3]{8}=1+2=3$.

Răspuns: $S=\{2\}$ (soluția este unică)

Exemplul 6 (inecuație). Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuația $\sqrt{x+2}<x$.

Vezi rezolvarea

1. Condiții: $x+2\ge 0$ și, pentru că un radical este $\ge 0$, membrul drept trebuie să fie strict pozitiv: $x>0$.
2. Ambii membri sunt nenegativi, deci inecuația este echivalentă cu $x+2<x^2$ $⟺x^2-x-2>0$ $⟺(x-2)(x+1)>0$, adică $x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (2,\mathrm{\infty })$.
3. Intersectăm cu $x>0$ (care include deja $x\ge -2$): $x>2$.

Răspuns: $S=(2,\mathrm{\infty })$

Greșeli frecvente

• Ridici la pătrat fără condiția de semn. În exemplul 1 apare $x=-2$, care nu e soluție: $\sqrt{1}=1$, nu $-1$. Pune $g(x)\ge 0$ sau verifică la final.
• Ridici „membru cu membru” o sumă greșit: $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=a-2\sqrt{ab}+b$, nu $a-b$. Mai sigur: izolează întâi un radical.
• Pui condiții inutile la radicalul de ordin 3. $\sqrt[3]{x-5}$ există și pentru $x<5$; a cere $x-5\ge 0$ pierde soluții.
• La inecuații ridici la pătrat când membrul drept poate fi negativ. Din $-3<2$ nu rezultă $9<4$; compară pătratele doar pentru numere nenegative.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: radicali de ordin n și ecuații iraționale (printabilă, cu răspunsuri; potrivită pentru clasa a IX-a după programa nouă și pentru clasa a X-a).
• La Bacalaureat M1: Bac M1 2025, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 ($\sqrt{2x^2-3x+2}=x$, rezolvat aici) și Bac M1 2026, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 (doi radicali de ordin 2, rezolvat aici).
• La Bacalaureat M2: Bac M2 2021, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 ($\sqrt{2x-1}=x-2$, rezolvat aici).
• Recapitulează proprietățile radicalilor: radicali — formule și calculatorul de radicali; pentru ecuația de gradul al II-lea care apare după ridicarea la pătrat: exerciții rezolvate.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o ecuație irațională? Pui condițiile de existență, izolezi radicalul, ridici ambii membri la puterea egală cu ordinul radicalului și rezolvi ecuația obținută. La radicalii de ordin par păstrezi doar soluțiile care respectă condițiile (sau care verifică ecuația inițială).

De ce apar soluții false când ridic la pătrat? Pentru că din $a^2=b^2$ rezultă $a=b$ sau $a=-b$. Ecuația obținută după ridicarea la pătrat are și soluțiile ecuației $\sqrt{f(x)}=-g(x)$, care nu sunt soluții ale ecuației inițiale.

Trebuie verificate soluțiile la radicalul de ordin 3? Nu este obligatoriu, pentru că ridicarea la cub este o transformare echivalentă (funcția $t\mapsto t^3$ este injectivă). Totuși, o verificare rapidă te ferește de greșeli de calcul.