Funcția radical — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli ce este funcția radical $f(x)=\sqrt[n]{x}$: inversa funcției putere, cu domeniul $[0,+\mathrm{\infty })$ pentru $n$ par și $\mathbb{R}$ pentru $n$ impar. Îi deduci proprietățile (monotonie, bijectivitate, grafic) din cele ale funcției putere și le folosești la domenii de definiție, comparări de radicali și ecuații cu radicali, care apar la Bacalaureat în Subiectul I. Lecția acoperă și „Funcția putere și funcția radical” din clasa a X-a.

Teorie

Radicalul de ordin n

Din lecția despre funcția putere știi că, pentru $n\ge 2$:

• dacă $n$ este impar, funcția $x^n$ este bijectivă $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: pentru orice $a\in \mathbb{R}$ există un unic $b\in \mathbb{R}$ cu $b^n=a$;
• dacă $n$ este par, restricția lui $x^n$ la $[0,+\mathrm{\infty })$ este bijectivă pe $[0,+\mathrm{\infty })$: pentru orice $a\ge 0$ există un unic $b\ge 0$ cu $b^n=a$.

Acest număr $b$ se numește radicalul de ordin $n$ al lui $a$ și se notează $\sqrt[n]{a}$. Deci

$$\sqrt[n]{a}=b⟺b^n=a(\text{pentru }n\text{ par se cer }a\ge 0,b\ge 0).$$

Exemple: $\sqrt[3]{-8}=-2$, $\sqrt[4]{81}=3$ (nu $-3$: radicalul de ordin par este nenegativ), $\sqrt[4]{-16}$ nu există în $\mathbb{R}$.

Funcția radical

• $n$ par: $f:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=\sqrt[n]{x}$ (de exemplu $\sqrt{x}$, $n=2$);
• $n$ impar: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[n]{x}$ (de exemplu $\sqrt[3]{x}$).

În ambele cazuri funcția radical este inversa funcției putere $g(x)=x^n$ (restrânsă la $[0,+\mathrm{\infty })$ când $n$ este par): ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$ și $\sqrt[n]{x^n}=x$ pe domeniul respectiv. De aici rezultă proprietățile ei:

• este bijectivă (inversa unei funcții bijective este bijectivă);
• este strict crescătoare: dacă $0\le x_1<x_2$ și am avea $\sqrt[n]{x_1}\ge \sqrt[n]{x_2}$, atunci, ridicând la puterea $n$ (funcție crescătoare), ar rezulta $x_1\ge x_2$, fals; la fel pentru $n$ impar pe $\mathbb{R}$;
• pentru $n$ impar este impară: $\sqrt[n]{-x}=-\sqrt[n]{x}$;
• graficul este simetricul graficului funcției putere față de prima bisectoare $y=x$: punctul $(a,b)$ este pe graficul lui $x^n$ exact când $(b,a)$ este pe graficul radicalului;
• lectură grafică: $\sqrt{x}$ este concavă pe $[0,+\mathrm{\infty })$; $\sqrt[3]{x}$ este convexă pe $(-\mathrm{\infty },0]$ și concavă pe $[0,+\mathrm{\infty })$.

Condiții de existență și echivalențe utile

O expresie $\sqrt[n]{E(x)}$ cu $n$ par are sens doar pentru $E(x)\ge 0$; cu $n$ impar are sens pentru orice $x$ din domeniul lui $E$. În ecuațiile cu radicali, programa pune accent pe echivalențele:

$$\begin{array}{rl}\sqrt{f(x)}=g(x)& ⟺f(x)=g^2(x)\text{și}g(x)\ge 0,\\ \sqrt[3]{f(x)}=g(x)& ⟺f(x)=g^3(x).\end{array}$$

Prima vine din definiție: $\sqrt{a}=b⟺b^2=a$ și $b\ge 0$ (condiția $f(x)\ge 0$ rezultă automat din $f(x)=g^2(x)$). A doua vine din bijectivitatea lui $x^3$, deci nu cere condiții.

Pentru clasa a X-a: puteri cu exponent rațional

Pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, se definește

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\text{deci}\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}(x>0).$$

Regulile de calcul cu puteri rămân valabile, iar funcția radical devine un caz particular al funcției putere cu exponent real $f:(0,+\mathrm{\infty })\to (0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=x^r$, care este strict crescătoare pentru $r>0$ și strict descrescătoare pentru $r<0$. Atenție: $\sqrt[3]{-8}=-2$ există, dar nu se scrie $(-8{)}^{\frac{1}{3}}$: puterile cu exponent rațional se definesc doar pentru baze pozitive.

De reținut

• $\sqrt[n]{x}$ este inversa lui $x^n$: bijectivă și strict crescătoare.
• Ordin par: domeniul $[0,+\mathrm{\infty })$ și valori $\ge 0$. Ordin impar: domeniul $\mathbb{R}$, funcție impară.
• Graficele lui $\sqrt[n]{x}$ și $x^n$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$.
• $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$.
• $\sqrt{f}=g⟺f=g^2$ și $g\ge 0$; $\sqrt[3]{f}=g⟺f=g^3$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Determină domeniul maxim de definiție al funcțiilor: a) $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$; b) $g(x)=\sqrt[3]{x-7}+\sqrt{6-2x}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Ambii radicali sunt de ordin par: $x-1\ge 0$ și $5-x\ge 0$, adică $x\ge 1$ și $x\le 5$. Domeniul: $[1,5]$.
2. b) $\sqrt[3]{x-7}$ există pentru orice $x$ real; $\sqrt{6-2x}$ cere $6-2x\ge 0⟺x\le 3$. Domeniul: $(-\mathrm{\infty },3]$.

Răspuns: a) $D=[1,5]$; b) $D=(-\mathrm{\infty },3]$

Exemplul 2. Compară numerele $\sqrt{5}$ și $\sqrt[3]{11}$.

Vezi rezolvarea

1. Ambele numere sunt pozitive. Funcția $x^6$ este strict crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$, deci ordinea lor este aceeași cu ordinea puterilor a șasea.
2. ${\left(\sqrt{5}\right)}^6=5^3=125$ și ${\left(\sqrt[3]{11}\right)}^6={11}^2$ $=121$.
3. $125>121$, deci $\sqrt{5}>\sqrt[3]{11}$.

Răspuns: $\sqrt{5}>\sqrt[3]{11}$

Exemplul 3. Se consideră $f:[0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Află $f([1,9])$ și rezolvă inecuația $\sqrt{x}\le 3$.

Vezi rezolvarea

1. $f$ este strict crescătoare, deci pe $[1,9]$ ia valori de la $f(1)=1$ la $f(9)=3$; din bijectivitate, toate valorile intermediare sunt atinse: $f([1,9])=[1,3]$.
2. $\sqrt{x}\le 3=\sqrt{9}$: din monotonia strictă, $x\le 9$; împreună cu $x\ge 0$ (domeniul) obținem $x\in [0,9]$.

Răspuns: $f([1,9])=[1,3]$; $\sqrt{x}\le 3⟺x\in [0,9]$

Exemplul 4. Arată că funcția $f:[1,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$, $f(x)=\sqrt{x-1}$ este bijectivă și determină inversa ei.

Vezi rezolvarea

1. Fie $y\in [0,+\mathrm{\infty })$. Ecuația $\sqrt{x-1}=y$ este echivalentă cu $x-1=y^2$ (deoarece $y\ge 0$), adică $x=y^2+1$.
2. $x=y^2+1\ge 1$, deci aparține domeniului, și este unic. Așadar fiecare $y$ are exact o preimagine: $f$ este bijectivă.
3. Inversa: $f^{-1}:[0,+\mathrm{\infty })\to [1,+\mathrm{\infty })$, $f^{-1}(x)=x^2+1$. Verificare: $f(f^{-1}(x))=\sqrt{x^2}=x$ pentru $x\ge 0$.

Răspuns: $f^{-1}(x)=x^2+1$, $x\ge 0$

Exemplul 5 (nivel Bacalaureat). Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $\sqrt{x+3}=x+1$; b) $\sqrt[3]{x^3+6x+1}=x+1$.

Vezi rezolvarea

1. a) $\sqrt{x+3}=x+1⟺x+3$ $=(x+1{)}^2$ și $x+1\ge 0$.
2. $x+3=x^2+2x+1⟺x^2+x-2$ $=0⟺x\in \{-2,1\}$. Condiția $x\ge -1$ elimină $-2$ (într-adevăr $\sqrt{1}=1\ne -1$). Rămâne $x=1$: $\sqrt{4}=2=1+1$.
3. b) Ridicăm la puterea a treia (echivalență, fără condiții): $x^3+6x+1=(x+1{)}^3$ $=x^3+3x^2+3x+1⟺3x^2-3x$ $=0⟺3x(x-1)=0$.
4. $x=0$: $\sqrt[3]{1}=1$; $x=1$: $\sqrt[3]{8}=2$. Ambele sunt soluții.

Răspuns: a) $x=1$; b) $x\in \{0,1\}$

Exemplul 6 (clasa a X-a: exponent rațional). Calculează $8^{\frac{2}{3}}$, ${16}^{\frac{3}{4}}$, ${27}^{-\frac{1}{3}}$ și scrie $\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}$, $x>0$, ca o singură putere.

Vezi rezolvarea

1. $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}$ $={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$.
2. ${16}^{\frac{3}{4}}$ $={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$.
3. ${27}^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$ $=\frac{1}{3}$.
4. $\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}$ $=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}$ $=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}$ $=\sqrt[6]{x^5}$.

Răspuns: $4$, $8$, $\frac{1}{3}$; $\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}$ $=x^{\frac{5}{6}}$

Greșeli frecvente

• Scrii $\sqrt{x^2}=x$: corect este $\sqrt{x^2}=|x|$. De exemplu $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3$.
• Uiți condiția $g(x)\ge 0$ la $\sqrt{f}=g$: ridicarea la pătrat poate introduce soluții false (exemplul 5a, $x=-2$). Pune condiția sau verifică la final.
• Pui condiții de existență la radicalul de ordin impar: $\sqrt[3]{x-7}$ există pentru orice $x$, inclusiv pentru $x<7$.
• Crezi că $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$: $\sqrt{9+16}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: radicali de ordin n și ecuații iraționale (printabilă, cu răspunsuri; conținutul ei este acum în programa clasei a IX-a).
• Reguli de calcul cu radicali: radicali — formule; verifică-ți calculele cu calculatorul de radicali.
• La Bacalaureat (M1, în programă la clasa a X-a; tema este și la M2): Bac M1 2026, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 ($\sqrt{x^2+7}=2\sqrt{x+1}$, rezolvat aici) și Bac M1 2024, sesiunea august, Subiectul I, ex. 3 ($\sqrt[3]{x^2+2x+1}$ $=\sqrt[3]{1-x}$, injectivitatea radicalului de ordinul 3, rezolvat aici).
• Funcția inversă, în general: funcții injective, surjective, bijective și inversa; pentru clasa a X-a, puterile cu exponent real și funcția exponențială.

Întrebări frecvente

Ce este funcția radical? Este funcția $f(x)=\sqrt[n]{x}$, inversa funcției putere $x^n$. Pentru $n$ par este definită pe $[0,+\mathrm{\infty })$ cu valori în $[0,+\mathrm{\infty })$, iar pentru $n$ impar pe $\mathbb{R}$ cu valori în $\mathbb{R}$.

Este funcția radical crescătoare? Da, este strict crescătoare pe tot domeniul ei: un număr mai mare are radicalul mai mare. Proprietatea vine din faptul că funcția putere, a cărei inversă este, e strict crescătoare.

Care este legătura dintre radical și puterea cu exponent rațional? Pentru $a>0$, $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$; de exemplu $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$. Astfel, în clasa a X-a funcția radical devine un caz particular al funcției putere cu exponent real.