Elemente de statistică: medie, mediană, mod — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți indicatorii tendinței centrale ai unui set de date din programa clasei a VIII-a: frecvența, media, mediana, modul și amplitudinea. Îi folosești când citești notele unei clase, temperaturile unei săptămâni sau rezultatele unui sondaj; la Evaluarea Națională apar la itemul cu tabel sau diagramă de la Subiectul I.

Teorie

Set de date și frecvență

Un set de date este o listă de valori obținute prin observare sau măsurare (de exemplu notele elevilor unei clase). Numărul total de date se notează de obicei cu $n$.

• Frecvența (absolută) a unei valori = de câte ori apare valoarea în set. Suma tuturor frecvențelor este $n$.
• Frecvența relativă = frecvența împărțită la $n$, scrisă de obicei ca procent: dacă nota 9 apare de 5 ori din 20, frecvența relativă este $\frac{5}{20}=25\mathrm{\%}$.

Media

Media (aritmetică) a datelor $x_1,x_2,\dots ,x_n$ este

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}.$$

Dacă datele sunt date într-un tabel de frecvențe (valoarea $x_i$ apare de $f_i$ ori), media este media aritmetică ponderată, învățată în clasa a VII-a:

$$\bar{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+\dots +x_k{f}_k}{f_1+f_2+\dots +f_k}.$$

Mediana

Mediana este valoarea „din mijloc” a datelor ordonate crescător:

• dacă $n$ este impar, mediana este data de pe poziția $\frac{n+1}{2}$;
• dacă $n$ este par, mediana este media aritmetică a celor două date din mijloc, de pe pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$.

Cel puțin jumătate dintre date sunt mai mici sau egale cu mediana și cel puțin jumătate sunt mai mari sau egale cu ea. De ce e utilă? Mediana nu este influențată de câteva valori foarte mari sau foarte mici, pe când media este (exemplul 4).

Modul și amplitudinea

• Modul (moda) este valoarea cu cea mai mare frecvență. Un set poate avea mai multe moduri (valori cu aceeași frecvență maximă); dacă toate valorile apar de același număr de ori, se spune de obicei că setul nu are mod. Atenție: „modul” de aici nu are legătură cu modulul unui număr, $|x|$.
• Amplitudinea = valoarea maximă − valoarea minimă. Ea arată cât de „împrăștiate” sunt datele.

De reținut

• Pentru mediană ordonezi întâi datele crescător.
• Media dintr-un tabel de frecvențe: $\sum (\text{valoare}\cdot \text{frecvență}):n$.
• Modul = valoarea care apare cel mai des (nu frecvența ei!).
• Amplitudinea = maxim − minim.
• Media, mediana și modul pot fi diferite pentru același set de date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Notele obținute de Ioana la matematică într-un semestru sunt: 6, 9, 5, 10, 9, 8, 9. Află media, mediana, modul și amplitudinea.

Vezi rezolvarea

1. Sunt $n=7$ note; suma lor este $6+9+5+10+9+8+9=56$, deci media este $56:7=8$.
2. Ordonăm crescător: 5, 6, 8, 9, 9, 9, 10. $n$ este impar, deci mediana este nota de pe poziția $\frac{7+1}{2}=4$: mediana $=9$.
3. Nota 9 apare de 3 ori, mai des decât oricare alta: modul $=9$.
4. Amplitudinea: $10-5=5$.

Răspuns: media 8, mediana 9, modul 9, amplitudinea 5

Exemplul 2. Temperaturile maxime (în °C) dintr-o săptămână de toamnă, de luni până sâmbătă, au fost: 12, 15, 9, 14, 18, 10. Află media, mediana și amplitudinea temperaturilor.

Vezi rezolvarea

1. Suma: $12+15+9+14+18+10=78$; media: $78:6=13$ °C.
2. Ordonat: 9, 10, 12, 14, 15, 18. $n=6$ este par, deci mediana este media datelor de pe pozițiile 3 și 4: $\frac{12+14}{2}=13$ °C.
3. Amplitudinea: $18-9=9$ °C. (Fiecare valoare apare o singură dată, deci setul nu are un mod.)

Răspuns: media 13 °C, mediana 13 °C, amplitudinea 9 °C

Exemplul 3. Diagrama arată notele obținute de elevii unei clase la un test. Află numărul de elevi, media, mediana și modul notelor.

Vezi rezolvarea

1. Citim frecvențele: nota 5 – 2 elevi, 6 – 3, 7 – 5, 8 – 6, 9 – 3, 10 – 1. Numărul de elevi: $n=2+3+5+6+3+1=20$.
2. Media (ponderată): $\frac{5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 6+9\cdot 3+10\cdot 1}{20}=\frac{148}{20}=7,4$.
3. Mediana: $n=20$ este par, deci căutăm notele de pe pozițiile 10 și 11 în lista ordonată. Frecvențele cumulate: până la nota 5 – 2 elevi, până la 6 – 5, până la 7 – 10, până la 8 – 16. Poziția 10 are nota 7, poziția 11 are nota 8, deci mediana este $\frac{7+8}{2}=7,5$.
4. Modul: nota cu cea mai înaltă bară, 8 (6 elevi).

Răspuns: 20 de elevi, media 7,4, mediana 7,5, modul 8

Exemplul 4. Cinci prieteni primesc săptămânal bani de buzunar: 20, 25, 25, 30 și 150 de lei. Calculează media și mediana. Care dintre ele descrie mai bine suma primită de un prieten obișnuit?

Vezi rezolvarea

1. Media: $\frac{20+25+25+30+150}{5}=\frac{250}{5}=50$ de lei.
2. Datele sunt deja ordonate; mediana este valoarea de pe poziția 3: 25 de lei. (Modul este tot 25.)
3. Patru dintre cei cinci primesc cel mult 30 de lei, mult sub media de 50 de lei; media este „trasă în sus” de valoarea 150. Mediana descrie mai bine situația tipică.

Răspuns: media 50 de lei, mediana 25 de lei; mediana este mai reprezentativă

Exemplul 5. Andrei a luat la patru teste notele 7, 8, 6 și $x$. Media celor patru note este 7,5. Află nota $x$ și mediana notelor.

Vezi rezolvarea

1. Suma notelor este $4\cdot 7,5=30$, deci $7+8+6+x=30$, adică $21+x=30$ și $x=9$.
2. Ordonat: 6, 7, 8, 9; mediana este $\frac{7+8}{2}=7,5$.

Răspuns: $x=9$, mediana 7,5

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Tabelul prezintă notele obținute de elevii unei clase la o lucrare. Numărul elevilor care au obținut nota 8 a fost acoperit de o pată de cerneală.

Nota	6	7	8	9	10
Nr. elevi	4	6	?	5	2

Știind că media notelor clasei este 7,8, află numărul elevilor care au luat nota 8, apoi mediana, modul și amplitudinea notelor.

Vezi rezolvarea

1. Notăm cu $k$ numărul elevilor cu nota 8. Numărul de elevi este $4+6+k+5+2=17+k$.
2. Suma notelor: $6\cdot 4+7\cdot 6+8k+9\cdot 5+10\cdot 2=131+8k$.
3. Din medie: $131+8k=7,8(17+k)=132,6+7,8k$, deci $0,2k=1,6$ și $k=8$. Clasa are $17+8=25$ de elevi.
4. Mediana: $n=25$ este impar, deci este nota de pe poziția 13. Frecvențe cumulate: 4 (nota 6), 10 (nota 7), 18 (nota 8). Poziția 13 este între 11 și 18, deci mediana este 8.
5. Modul: nota 8, obținută de 8 elevi (cea mai mare frecvență). Amplitudinea: $10-6=4$.

Răspuns: 8 elevi au luat nota 8; mediana 8, modul 8, amplitudinea 4

Greșeli frecvente

• Calculezi mediana fără să ordonezi datele: la 6, 9, 5, 10, 9, 8, 9 valoarea din mijloc a listei neordonate este 10, dar mediana corectă este 9.
• Dai frecvența în loc de mod: dacă nota 8 apare de 6 ori, modul este 8, nu 6.
• Media din tabel ca medie a valorilor distincte: media notelor 5, 6, 7, 8, 9, 10 este 7,5, dar media clasei din exemplul 3 este 7,4, pentru că fiecare notă se înmulțește cu numărul de elevi.
• La $n$ par iei o singură valoare: mediana este media celor două valori din mijloc (exemplul 2).

Verifică-te

Exersează

• Problemele de organizare a datelor date la Evaluarea Națională, rezolvate: statistică și grafice la EN. De exemplu Modelul EN 2023, Subiectul I, itemul 4 (media notelor dintr-un tabel de frecvențe, rezolvat aici) și EN 2025, Subiectul I, itemul 6 (frecvențe citite din diagramă, rezolvat aici).
• Recapitulare din clasa a VII-a: tabele, diagrame, grafice, poligonul frecvențelor și fișa de lucru de organizare a datelor.
• Media ponderată: formula și calculatorul de medie ponderată.
• Formule de statistică și probabilități (inclusiv mediana): probabilități și statistică.

Întrebări frecvente

Cum se calculează mediana? Ordonezi datele crescător. Dacă numărul lor este impar, mediana este valoarea din mijloc; dacă este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc. Exemplu: pentru 9, 10, 12, 14, 15, 18 mediana este $(12+14):2=13$.

Care este diferența dintre medie, mediană și mod? Media este suma datelor împărțită la numărul lor, mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate, iar modul este valoarea care apare cel mai des. Pentru 20, 25, 25, 30, 150: media 50, mediana 25, modul 25.

Ce este amplitudinea unui set de date? Diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare. Pentru notele 5, 6, 8, 9, 9, 9, 10 amplitudinea este $10-5=5$.