Puncte, drepte, plane: poziții relative; drepte paralele, unghiul a două drepte — lecție clasa a 8-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cum se notează punctele, dreptele și planele în spațiu, ce determină o dreaptă sau un plan și cum pot fi așezate două drepte, o dreaptă și un plan sau două plane. Afli când două drepte din spațiu sunt paralele și cum se măsoară unghiul a două drepte care nu se intersectează. Acestea sunt bazele problemei de geometrie în spațiu de la Evaluarea Națională.

Teorie

Notații și reprezentări

• Punctele se notează cu litere mari: $A,B,M$. Dreptele se notează cu litere mici ($a,d$) sau prin două puncte ale lor ($AB$).
• Planele se notează cu litere grecești ($\alpha ,\beta ,\pi$) sau prin trei puncte necoliniare ale lor, între paranteze: $(ABC)$. Un plan se desenează ca un paralelogram, deși el este nemărginit.
• În desen, liniile care nu se văd (ascunse în spatele corpului) se trasează punctat.
• Scriem $A\in d$ (punctul aparține dreptei), $d\subset \alpha$ (dreapta este inclusă în plan), $d\cap \alpha =\{P\}$.

Determinarea dreptei și a planului

De ce? Toate cazurile se reduc la primul. Dacă ai dreapta $d$ și punctul $A\notin d$, alegi două puncte $B,C$ pe $d$: $A,B,C$ sunt necoliniare. Pentru două drepte concurente în $O$ iei $O$ și câte un punct pe fiecare dreaptă. Un scaun cu trei picioare stă mereu stabil pe podea, pentru că trei puncte necoliniare determină un plan. Un scaun cu patru picioare se poate clătina.

Încă o proprietate folosită des: dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci toată dreapta este inclusă în acel plan.

Poziții relative

Ce comparăm	Pozițiile posibile
două drepte	coplanare (situate în același plan): concurente (un punct comun), paralele (niciun punct comun) sau confundate; necoplanare (nu există un plan care să le conțină pe amândouă)
o dreaptă și un plan	dreapta inclusă în plan (cel puțin două puncte comune), secantă planului (exact un punct comun), paralelă cu planul (niciun punct comun)
două plane	confundate, secante (au în comun o dreaptă) sau paralele (niciun punct comun)

Atenție la diferența față de geometria plană: în spațiu, două drepte fără puncte comune nu sunt neapărat paralele. Ele pot fi necoplanare, ca o muchie a podelei și o muchie verticală a peretelui opus.

În cubul de mai sus: $AB$ și $B{B}^{\prime }$ sunt concurente; $AB$ și $D^{\prime }{C}^{\prime }$ sunt paralele; $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt necoplanare; dreapta $A{A}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(BC{C}^{\prime })$; planele $(ABC)$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ sunt paralele; planele $(AB{B}^{\prime })$ și $(BC{C}^{\prime })$ sunt secante, cu dreapta comună $B{B}^{\prime }$.

Drepte paralele în spațiu

Instrumentele din clasa a 7-a rămân valabile în fiecare față sau secțiune plană a corpului: linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură, laturile opuse ale unui paralelogram sunt paralele. Pentru a arăta că două drepte din spațiu sunt paralele, de obicei găsești o a treia dreaptă paralelă cu amândouă.

Unghiul a două drepte

De ce nu contează punctul $O$? Dacă alegi alt punct $O_1$, noile drepte sunt paralele cu cele vechi (tranzitivitatea paralelismului), deci unghiul are aceeași măsură. Practic, alegi $O$ pe una dintre drepte: păstrezi o dreaptă și o „muți” pe cealaltă prin paralelism până o intersectează.

Metoda de lucru: (1) înlocuiești una dintre drepte cu o paralelă la ea care intersectează cealaltă dreaptă; (2) obții un triunghi; (3) calculezi unghiul din triunghi: echilateral (60°), dreptunghic isoscel (45°), reciproca teoremei lui Pitagora (90°) sau sinus, cosinus, tangentă într-un triunghi dreptunghic.

De reținut

• Două drepte fără puncte comune sunt paralele doar dacă sunt coplanare.
• Un plan este determinat de 3 puncte necoliniare, de o dreaptă și un punct exterior, de două drepte concurente sau de două drepte paralele.
• Unghiul a două drepte are măsura între $0^{\circ }$ și ${90}^{\circ }$; dacă în triunghiul ajutător găsești un unghi obtuz, răspunsul este suplementul lui.
• În cub: $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$, $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ precizează poziția relativă a: a) dreptelor $AD$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$; b) dreptelor $AD$ și $C{C}^{\prime }$; c) dreptei $AB$ și planului $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; d) planelor $(AD{D}^{\prime })$ și $(BC{C}^{\prime })$.

Vezi rezolvarea

1. a) $AD\parallel BC$ (laturi opuse în pătratul $ABCD$) și $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este pătrat). Din tranzitivitate, $AD\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$.
2. b) $AD$ este în planul bazei, iar $C{C}^{\prime }$ intersectează acest plan doar în $C$, care nu este pe $AD$. Dreptele nu au puncte comune și nu sunt paralele ($C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$, iar $A{A}^{\prime }$ intersectează $AD$), deci sunt necoplanare.
3. c) $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, iar $AB$ nu are puncte comune cu planul feței de sus: $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
4. d) Fețele opuse $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt situate în plane paralele.

Răspuns: a) paralele; b) necoplanare; c) dreapta este paralelă cu planul; d) plane paralele.

Exemplul 2. Punctele $A,B,C,D$ nu sunt situate în același plan. Câte drepte și câte plane determină ele? Scrie-le.

Vezi rezolvarea

1. Oricare trei dintre puncte sunt necoliniare (dacă trei ar fi coliniare, toate patru ar fi într-un plan).
2. Drepte: fiecare pereche de puncte determină o dreaptă: $AB,AC,AD,BC,BD,CD$, adică 6 drepte.
3. Plane: fiecare grup de trei puncte determină un plan: $(ABC),(ABD),(ACD),(BCD)$, adică 4 plane, distincte pentru că punctele nu sunt coplanare. Ele sunt fețele tetraedrului $ABCD$.

Răspuns: 6 drepte și 4 plane.

Exemplul 3. În tetraedrul $ABCD$, punctele $M,N,P,Q$ sunt mijloacele muchiilor $AB,BC,CD$, respectiv $DA$. Arată că $MNPQ$ este paralelogram.

Vezi rezolvarea

1. În triunghiul $ABC$, $MN$ este linie mijlocie: $MN\parallel AC$ și $MN=\frac{AC}{2}$.
2. În triunghiul $ACD$, $QP$ este linie mijlocie: $QP\parallel AC$ și $QP=\frac{AC}{2}$.
3. Din tranzitivitate $MN\parallel QP$, deci $M,N,P,Q$ sunt coplanare, iar $MN=QP$.
4. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram.

Răspuns: $MNPQ$ este paralelogram.

Exemplul 4. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ determină măsurile unghiurilor: a) $\sphericalangle (A^{\prime }B,CD)$; b) $\sphericalangle (AC,B^{\prime }{D}^{\prime })$.

Vezi rezolvarea

1. a) $CD\parallel AB$, deci $\sphericalangle (A^{\prime }B,CD)=\sphericalangle (A^{\prime }B,AB)=\sphericalangle A^{\prime }BA$.
2. Triunghiul $A^{\prime }AB$ este dreptunghic isoscel ($A{A}^{\prime }\perp AB$, $A{A}^{\prime }=AB$), deci $m(\sphericalangle A^{\prime }BA)={45}^{\circ }$.
3. b) $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ ($BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi), deci $\sphericalangle (AC,B^{\prime }{D}^{\prime })=\sphericalangle (AC,BD)$.
4. Diagonalele pătratului $ABCD$ sunt perpendiculare, deci unghiul are ${90}^{\circ }$: dreptele $AC$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt perpendiculare, deși nu se intersectează.

Răspuns: a) ${45}^{\circ }$; b) ${90}^{\circ }$.

Exemplul 5. Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are toate muchiile egale cu 6 cm. Determină măsura unghiului dreptelor $VA$ și $CD$.

Vezi rezolvarea

1. Baza $ABCD$ este pătrat, deci $CD\parallel AB$ și $\sphericalangle (VA,CD)=\sphericalangle (VA,AB)=\sphericalangle VAB$.
2. Triunghiul $VAB$ are $VA=VB=AB=6$ cm, deci este echilateral.
3. Prin urmare $m(\sphericalangle VAB)={60}^{\circ }$.

Răspuns: ${60}^{\circ }$.

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $AB=4$ cm, $BC=3$ cm și $A{A}^{\prime }=5\sqrt{3}$ cm. Determină măsura unghiului dreptelor $A{A}^{\prime }$ și $B{D}^{\prime }$.

Vezi rezolvarea

1. $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$, iar $D{D}^{\prime }$ intersectează $B{D}^{\prime }$ în $D^{\prime }$. Deci $\sphericalangle (A{A}^{\prime },B{D}^{\prime })=\sphericalangle (D{D}^{\prime },B{D}^{\prime })=\sphericalangle D{D}^{\prime }B$.
2. $D{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $D{D}^{\prime }\perp BD$: triunghiul $BD{D}^{\prime }$ este dreptunghic în $D$.
3. Din triunghiul dreptunghic $ABD$: $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{16+9}=5$ cm.
4. $\mathrm{tg}\sphericalangle D{D}^{\prime }B=\frac{BD}{D{D}^{\prime }}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, deci $m(\sphericalangle D{D}^{\prime }B)={30}^{\circ }$.

Răspuns: ${30}^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• „Nu se intersectează, deci sunt paralele.” În spațiu, dreptele fără puncte comune pot fi necoplanare (de exemplu $AB$ și $C{C}^{\prime }$ în cub). Pentru paralelism trebuie și ca ele să fie coplanare.
• Unghiul „măsurat” direct pe desen. Pentru $\sphericalangle (A^{\prime }B,CD)$ nu cauți un punct de intersecție inexistent: înlocuiești $CD$ cu paralela $AB$ și lucrezi în triunghiul $A^{\prime }AB$.
• Unghi obtuz ca răspuns. Unghiul a două drepte nu depășește ${90}^{\circ }$. Dacă în triunghiul ajutător obții ${120}^{\circ }$, unghiul dreptelor are ${60}^{\circ }$.
• „Trei puncte determină mereu un plan.” Numai dacă sunt necoliniare. Prin trei puncte coliniare trec o infinitate de plane.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: poziții relative ale dreptelor și planelor, paralelism, clasa a 8-a și fișă de lucru: unghiuri în spațiu și secțiuni (printabile, cu răspunsuri).
• Teorie înrudită: dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele, cubul și toate formulele de geometrie în spațiu.
• La Evaluarea Națională: EN 2023, Subiectul al III-lea, problema 6 a) (unghiul dreptelor $A{B}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$ în cub este de ${60}^{\circ }$, rezolvată aici) și Simulare EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 6 b) (unghiul dreptelor $MN$ și $BD$ într-un tetraedru regulat, cu linie mijlocie, rezolvată aici).
• Toate problemele date: geometrie în spațiu la Evaluarea Națională, probleme rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce sunt dreptele necoplanare? Sunt două drepte pentru care nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă. Nu se intersectează și nici nu sunt paralele. Exemplu: în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, dreptele $AB$ și $C{C}^{\prime }$.

Cum se calculează unghiul a două drepte necoplanare? Înlocuiești una dintre drepte cu o paralelă la ea care intersectează cealaltă dreaptă. Unghiul celor două drepte concurente obținute, ascuțit sau drept, este unghiul căutat; îl calculezi într-un triunghi.

Câte plane determină trei puncte? Dacă punctele sunt necoliniare, determină un singur plan. Dacă sunt coliniare, prin ele trec o infinitate de plane, deci nu determină un plan.