Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să organizezi date în tabele de frecvențe, să le reprezinți prin diagrame cu bare, diagrame circulare și grafice cu linii și să construiești poligonul frecvențelor. Aceste reprezentări apar în fiecare an la Evaluarea Națională (Subiectul I, itemul cu diagrama) și la fizică, geografie sau biologie, ori de câte ori trebuie citit un grafic.

Teorie

Date, frecvență, tabel de frecvențe

Când strângem informații despre un grup (notele elevilor unei clase, temperaturile dintr-o lună), obținem date statistice. Fiecare valoare posibilă are o frecvență absolută: de câte ori apare. Suma tuturor frecvențelor este numărul total de date, notat de obicei $N$.

Frecvența relativă a unei valori arată ce parte din total reprezintă ea:

$$\text{frecvența relativă}=\frac{\text{frecvența absolută}}{N},\text{în procente: }\frac{\text{frecvența absolută}}{N}\cdot 100\mathrm{\%}.$$

Suma frecvențelor relative este 1, adică 100%. Datele se trec într-un tabel cu o intrare (valoare – frecvență) sau într-un tabel cu două intrări, când fiecare dată are două caracteristici (de exemplu clasa și genul elevilor).

Dintr-un tabel de frecvențe calculezi media datelor ca medie aritmetică ponderată, cu frecvențele ca ponderi:

$$m=\frac{x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+\dots +x_k\cdot f_k}{f_1+f_2+\dots +f_k}.$$

Diagrama cu bare și poligonul frecvențelor

În diagrama cu bare (coloane), fiecare valoare are o bară cu înălțimea proporțională cu frecvența ei; barele au aceeași lățime. E potrivită pentru a compara categorii.

Poligonul frecvențelor se construiește într-un sistem de axe ortogonale: pe axa orizontală trecem valorile, pe axa verticală frecvențele, reprezentăm punctele $(x_i,f_i)$ și le unim, în ordine, prin segmente. Linia frântă obținută este poligonul frecvențelor. Dacă ai deja diagrama cu bare, unești mijloacele laturilor de sus ale barelor. Din forma lui vezi imediat unde se „adună” datele și cum cresc sau scad frecvențele.

Diagrama circulară și graficul cu linii

În diagrama circulară discul întreg reprezintă totalul (100%), iar fiecare valoare primește un sector de cerc. Cum tot discul are ${360}^{\circ }$, unghiul sectorului este proporțional cu frecvența:

$$\text{unghiul sectorului}=\frac{\text{frecvența}}{N}\cdot {360}^{\circ }.$$

E potrivită când vrei să arăți părțile unui întreg. Graficul cu linii arată cum se schimbă o mărime în timp (temperatura pe zile, înălțimea unei plante pe săptămâni): punctele (moment, valoare) se unesc prin segmente.

Un tabel sau un grafic poate descrie și o dependență funcțională: o mărime depinde de alta după o regulă. De exemplu, un automobil care merge constant cu 60 km/h parcurge 60 km în 1 h, 120 km în 2 h, 180 km în 3 h; distanța depinde de timp după regula $d=60\cdot t$, iar punctele $(t,d)$ reprezentate în sistemul de axe sunt pe o dreaptă.

De reținut

• Suma frecvențelor absolute este $N$; suma frecvențelor relative este 100%.
• Media dintr-un tabel de frecvențe = suma produselor „valoare · frecvență”, împărțită la $N$.
• Bare pentru comparații, disc pentru părți ale întregului, linii pentru evoluții în timp.
• Poligonul frecvențelor unește punctele (valoare, frecvență) prin segmente.
• Unghiul unui sector = frecvența relativă · ${360}^{\circ }$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Tabelul cu două intrări arată numărul de fete și de băieți din două clase a VII-a.

	fete	băieți
VII A	14	12
VII B	10	15

a) Câți elevi sunt în clasa VII B? b) Câte fete sunt în total? c) Ce procent dintre elevii clasei VII B sunt băieți?

Vezi rezolvarea

1. a) Aduni linia clasei VII B: $10+15=25$ elevi.
2. b) Aduni coloana „fete”: $14+10=24$ fete.
3. c) $\frac{15}{25}\cdot 100\mathrm{\%}=60\mathrm{\%}$.

Răspuns: a) 25 de elevi; b) 24 de fete; c) 60%.

Exemplul 2. Douăzeci de elevi au spus câți frați au: 0, 1, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 4. Alcătuiește tabelul de frecvențe absolute și relative (în procente). Ce valoare apare cel mai des?

Vezi rezolvarea

1. Numeri fiecare valoare (bifează datele pe măsură ce le numeri): 0 apare de 5 ori, 1 de 9 ori, 2 de 4 ori, 3 o dată, 4 o dată. Verificare: $5+9+4+1+1=20$.
2. Frecvența relativă: împarți la 20 și înmulțești cu 100%.

nr. frați	0	1	2	3	4
frecvența	5	9	4	1	1
frecvența relativă	25%	45%	20%	5%	5%

Răspuns: cel mai des apare valoarea 1 (9 elevi, adică 45%).

Exemplul 3. Folosind diagrama cu bare din teorie (notele a 25 de elevi), calculează: a) media notelor; b) ce procent dintre elevi au luat cel puțin nota 9.

Vezi rezolvarea

1. Citești frecvențele: nota 5 – 2 elevi, 6 – 3, 7 – 5, 8 – 7, 9 – 5, 10 – 3; total $N=25$.
2. a) $m=\frac{5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 7+9\cdot 5+10\cdot 3}{25}=\frac{10+18+35+56+45+30}{25}=\frac{194}{25}=7,76$.
3. b) Cel puțin 9 înseamnă nota 9 sau 10: $5+3=8$ elevi, iar $\frac{8}{25}\cdot 100\mathrm{\%}=32\mathrm{\%}$.

Răspuns: a) 7,76; b) 32%.

Exemplul 4. Construiește poligonul frecvențelor pentru datele din exemplul 2 și scrie coordonatele vârfurilor lui. Ce observi?

Vezi rezolvarea

1. Pe axa orizontală treci numărul de frați (0, 1, 2, 3, 4), pe axa verticală frecvențele (de la 0 la 9).
2. Reprezinți punctele (valoare, frecvență): $(0,5)$, $(1,9)$, $(2,4)$, $(3,1)$, $(4,1)$.
3. Le unești în ordinea valorilor cu segmente; linia frântă obținută este poligonul frecvențelor.
4. Observație: cel mai înalt punct este $(1,9)$, iar după el linia coboară, deci cei mai mulți elevi au cel mult 2 frați ($5+9+4=18$ din 20).

Răspuns: vârfurile sunt $(0,5)$, $(1,9)$, $(2,4)$, $(3,1)$, $(4,1)$.

Exemplul 5. Cei 40 de elevi ai unei școli care fac sport au ales: fotbal 14, baschet 10, înot 6, tenis 4, alt sport 6. Calculează procentul și unghiul fiecărui sector din diagrama circulară.

Vezi rezolvarea

1. Pentru fiecare sport: procent = $\frac{\text{frecvența}}{40}\cdot 100\mathrm{\%}$, unghi = $\frac{\text{frecvența}}{40}\cdot {360}^{\circ }$ (adică frecvența $\cdot 9^{\circ }$).
2. Fotbal: 35%, ${126}^{\circ }$; baschet: 25%, ${90}^{\circ }$; înot: 15%, ${54}^{\circ }$; tenis: 10%, ${36}^{\circ }$; alt sport: 15%, ${54}^{\circ }$.
3. Verificare: $126+90+54+36+54=360$ și $35+25+15+10+15=100$.

Răspuns: fotbal ${126}^{\circ }$, baschet ${90}^{\circ }$, înot ${54}^{\circ }$, tenis ${36}^{\circ }$, alt sport ${54}^{\circ }$.

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). La un test, 4 elevi au luat nota 6, 2 elevi au luat nota 10, iar restul elevilor au luat nota 8. Media notelor este 7,6. Câți elevi au luat nota 8?

Vezi rezolvarea

1. Notezi cu $x$ numărul elevilor cu nota 8. Numărul total de elevi este $4+x+2=x+6$.
2. Media ponderată: $\frac{6\cdot 4+8x+10\cdot 2}{x+6}=7,6$, adică $\frac{44+8x}{x+6}=7,6$.
3. Înmulțești ambii membri cu $x+6$ (număr pozitiv): $44+8x=7,6x+45,6$, deci $0,4x=1,6$ și $x=4$.
4. Verificare: $\frac{24+32+20}{10}=\frac{76}{10}=7,6$.

Răspuns: 4 elevi.

Greșeli frecvente

• Faci media valorilor fără frecvențe: pentru notele din figură, $\frac{5+6+7+8+9+10}{6}=7,5$ este greșit; fiecare notă se înmulțește cu numărul de elevi care au luat-o (media corectă este 7,76).
• Numeri barele în loc să aduni frecvențele: diagrama din teorie are 6 bare, dar $2+3+5+7+5+3=25$ de elevi.
• Calculezi unghiul sectorului ca procent: 25% din disc înseamnă $0,25\cdot {360}^{\circ }={90}^{\circ }$, nu ${25}^{\circ }$.
• Inversezi axele la poligonul frecvențelor: punctele sunt (valoare, frecvență), cu valorile pe axa orizontală; și citește atent eticheta de sub fiecare bară, nu bara vecină.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: elemente de organizare a datelor, clasa a 7-a (tabele, diagrame, poligonul frecvențelor, media; printabilă, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională, diagrama cu bare apare în Subiectul I, itemul 6: EN 2025, Subiectul I, itemul 6 (punctajele elevilor la un concurs, rezolvat aici) și EN 2023, Subiectul I, itemul 6 (notele unei clase a VIII-a, rezolvat aici). Toate itemele: statistică și grafice la EN, rezolvate.
• Pentru media dintr-un tabel de frecvențe: media aritmetică ponderată și calculatorul de medie ponderată.
• Reprezentarea punctelor în sistemul de axe: lecția despre produsul cartezian și sistemul de axe ortogonale.

Întrebări frecvente

Ce este poligonul frecvențelor? Este linia frântă care unește, în ordinea valorilor, punctele (valoare, frecvență) reprezentate într-un sistem de axe ortogonale. Dacă ai o diagramă cu bare, se obține unind mijloacele laturilor de sus ale barelor.

Cum se calculează unghiul unui sector într-o diagramă circulară? Împarți frecvența categoriei la numărul total de date și înmulțești cu ${360}^{\circ }$. De exemplu, 10 din 40 de date înseamnă $\frac{10}{40}\cdot {360}^{\circ }={90}^{\circ }$.

Care este diferența dintre frecvența absolută și frecvența relativă? Frecvența absolută spune de câte ori apare o valoare (un număr natural), iar frecvența relativă spune ce parte din total reprezintă aceasta, de obicei în procente.