Organizarea datelor; grafice — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să organizezi date într-un tabel de frecvențe, să calculezi frecvențe relative (rapoarte și procente) și media unui set de date și să citești sau să alegi corect un grafic: diagrama cu bare, graficul cu linii, diagrama circulară. Itemul cu diagrama sau tabelul apare în fiecare an la Evaluarea Națională, atât în clasa a VI-a, cât și în clasa a VIII-a.

Teorie

Date statistice și frecvență

Când facem un sondaj sau o măsurătoare (notele dintr-o clasă, sportul preferat, temperatura zilnică), obținem date statistice. Fiecare valoare posibilă are o frecvență: numărul de apariții ale acelei valori. Datele se organizează într-un tabel de frecvențe, iar suma tuturor frecvențelor este numărul total de date.

Frecvența relativă — un raport

Frecvența relativă a unei valori este raportul dintre frecvența ei și numărul total de date; o putem scrie ca fracție sau ca procent:

$$\text{frecvența relativă}=\frac{\text{frecvența valorii}}{\text{numărul total de date}},\text{de exemplu }\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=28\mathrm{\%}.$$

Suma frecvențelor relative ale tuturor valorilor este $1$, adică $100\mathrm{\%}$. Frecvențele relative ne permit să comparăm grupuri de mărimi diferite: 6 elevi dintr-o clasă de 20 ($30\mathrm{\%}$) înseamnă proporțional mai mult decât 8 elevi dintr-o clasă de 32 ($25\mathrm{\%}$).

Reprezentări grafice

• Diagrama cu bare (coloane) — pentru a compara categorii; înălțimea fiecărei bare este proporțională cu frecvența.
• Graficul cu linii — pentru evoluția unei mărimi în timp (temperaturi, vânzări pe luni); unim punctele consecutive prin segmente.
• Diagrama circulară — pentru părțile unui întreg; fiecare sector este proporțional cu procentul pe care îl reprezintă ($25\mathrm{\%}$ este un sfert de cerc, $50\mathrm{\%}$ jumătate de cerc).

Diagrama de mai jos arată notele obținute de cei 25 de elevi ai unei clase la un test:

Media unui set de date

Media aritmetică a datelor este suma tuturor valorilor împărțită la numărul lor. Dacă datele sunt într-un tabel de frecvențe, fiecare valoare se adună de atâtea ori cât este frecvența ei, adică o înmulțim cu frecvența:

$$\text{media}=\frac{{\text{valoarea}}_1\cdot {\text{frecvența}}_1+{\text{valoarea}}_2\cdot {\text{frecvența}}_2+\dots }{\text{numărul total de date}}.$$

Pe lângă medie ne interesează adesea valoarea minimă, valoarea maximă și diferența dintre ele.

Grafice și proporționalitate

Dacă două mărimi sunt direct proporționale (de exemplu numărul de caiete cumpărate și prețul plătit), raportul lor este constant. Pe o diagramă cu bare, barele cresc atunci cu „pași” egali: la 1, 2, 3, 4 caiete de câte 4 lei, barele au 4, 8, 12, 16 lei. Pe un grafic cu linii, punctele sunt așezate pe o linie dreaptă care pornește din 0. Așa recunoști proporționalitatea direct de pe grafic.

De reținut

• Frecvența = de câte ori apare o valoare; suma frecvențelor = numărul total de date.
• Frecvența relativă = frecvența : total; în procente, suma lor este $100\mathrm{\%}$.
• Media dintr-un tabel: înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni și împarți la total.
• Bare pentru comparații, linii pentru evoluție în timp, cerc pentru părți dintr-un întreg.
• „Cel puțin 8” include nota 8; „mai mare decât 8” nu o include.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. 20 de elevi au spus câți frați au: 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 4. Alcătuiește tabelul de frecvențe și află câți elevi au cel puțin doi frați.

Vezi rezolvarea

1. Numărăm aparițiile fiecărei valori:

   Nr. frați	0	1	2	3	4
   Frecvența	4	10	4	1	1

2. Verificare: $4+10+4+1+1=20$, cât numărul elevilor.
3. „Cel puțin doi frați” înseamnă 2, 3 sau 4 frați: $4+1+1=6$ elevi.

Răspuns: 6 elevi

Exemplul 2. Folosind diagrama cu bare de mai sus: a) Câți elevi au luat nota 8? b) Ce procent din elevi au luat nota 8? c) Este adevărată afirmația „Cel puțin jumătate dintre elevi au luat cel puțin nota 8”?

Vezi rezolvarea

1. a) Bara notei 8 ajunge la linia 7: 7 elevi. Verificăm totalul: $2+3+5+7+5+3=25$.
2. b) $\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=28\mathrm{\%}$.
3. c) Notele 8, 9 și 10: $7+5+3=15$ elevi, iar $\frac{15}{25}=\frac{60}{100}=60\mathrm{\%}$, mai mult de jumătate. Afirmația este adevărată.

Răspuns: a) 7; b) $28\mathrm{\%}$; c) adevărată ($60\mathrm{\%}$)

Exemplul 3. Calculează media notelor clasei din diagramă.

Vezi rezolvarea

1. Înmulțim fiecare notă cu numărul de elevi: $5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 7+9\cdot 5+10\cdot 3$.
2. $=10+18+35+56+45+30=194$.
3. Împărțim la numărul elevilor: $194:25=7,76$.

Răspuns: media este $7,76$

Exemplul 4. Cei 40 de elevi ai claselor a VI-a au ales destinația excursiei: munte 18 elevi, mare 12 elevi, Delta Dunării 6 elevi, altă destinație 4 elevi. a) Calculează procentul corespunzător fiecărei destinații. b) Ce parte din diagrama circulară ocupă sectorul „munte”?

Vezi rezolvarea

1. a) Munte: $\frac{18}{40}=\frac{45}{100}=45\mathrm{\%}$; mare: $\frac{12}{40}=30\mathrm{\%}$; Delta: $\frac{6}{40}=15\mathrm{\%}$; altă destinație: $\frac{4}{40}=10\mathrm{\%}$.
2. Verificare: $45\mathrm{\%}+30\mathrm{\%}+15\mathrm{\%}+10\mathrm{\%}=100\mathrm{\%}$.
3. b) Sectorul „munte” reprezintă $45\mathrm{\%}$ din cerc, adică puțin mai puțin decât jumătate de cerc (jumătatea ar fi $50\mathrm{\%}$).

Răspuns: a) $45\mathrm{\%}$, $30\mathrm{\%}$, $15\mathrm{\%}$, $10\mathrm{\%}$; b) $45\mathrm{\%}$ din cerc

Exemplul 5. Un grafic cu linii arată temperatura măsurată la prânz timp de 6 zile; valorile citite pe grafic sunt:

Ziua	1	2	3	4	5	6
Temperatura (°C)	12	15	14	18	21	19

a) Între care două zile consecutive a crescut cel mai mult temperatura? b) Află media temperaturilor și diferența dintre temperatura maximă și cea minimă.

Vezi rezolvarea

1. a) Variațiile de la o zi la alta: $+3$, scădere cu 1, $+4$, $+3$, scădere cu 2. Cea mai mare creștere, de $4^{\circ }$C, este între ziua 3 și ziua 4 (pe grafic, segmentul care urcă cel mai abrupt).
2. b) Suma: $12+15+14+18+21+19=99$; media: $99:6=16,5^{\circ }$C.
3. Maxima este ${21}^{\circ }$C, minima ${12}^{\circ }$C, diferența $21-12=9^{\circ }$C.

Răspuns: a) între zilele 3 și 4; b) media $16,5^{\circ }$C, diferența $9^{\circ }$C

Exemplul 6 (proporționalitate). Un caiet costă 4 lei. a) Completează tabelul prețului pentru 1, 2, 3, 4 și 5 caiete și explică de ce barele diagramei corespunzătoare cresc cu pași egali. b) Câte caiete se pot cumpăra cu 36 de lei?

Vezi rezolvarea

1. a) Prețurile sunt 4, 8, 12, 16, 20 de lei. Numărul de caiete și prețul sunt mărimi direct proporționale: raportul $\frac{\text{preț}}{\text{nr. caiete}}=\frac{4}{1}=\frac{8}{2}=\dots =\frac{20}{5}=4$ este constant. De aceea, la fiecare caiet în plus, bara crește cu aceeași valoare, 4 lei.
2. b) $\frac{36}{n}=4\Rightarrow n=36:4=9$ caiete.

Răspuns: a) 4, 8, 12, 16, 20 lei; b) 9 caiete

Greșeli frecvente

• Calculezi media valorilor distincte: media notelor din diagramă nu este $(5+6+7+8+9+10):6=7,5$; fiecare notă trebuie înmulțită cu numărul de elevi care au obținut-o (media corectă este $7,76$).
• Calculezi procentul din altă bază: procentul elevilor cu nota 8 se raportează la toți elevii ($7$ din $25$), nu la numărul de note diferite sau la cea mai înaltă bară.
• Citești greșit gradațiile: verifică din cât în cât crește axa verticală (din 1 în 1, din 2 în 2, din 100 în 100) și urmărește bara exact deasupra categoriei cerute.
• Confunzi „cel puțin” cu „mai mult decât”: „cel puțin nota 8” înseamnă 8, 9 sau 10; „mai mare decât 8” înseamnă doar 9 sau 10.

Verifică-te

Exersează

• La Evaluarea Națională de clasa a VI-a: EN 2025, itemul 8 (grafic cu temperaturile medii anuale de la Sulina, rezolvat aici) și EN 2026, itemul 8 (temperatura apei râului Bicaz pe luni, rezolvat aici).
• La Evaluarea Națională de clasa a VIII-a: EN 2025, Subiectul I, itemul 6 (diagrama punctajelor la un concurs) și Modelul EN 2023, Subiectul I, itemul 4 (media notelor dintr-un tabel) — toate la statistică și grafice la EN, probleme rezolvate.
• Fișă de lucru: rapoarte, proporții, procente, clasa a 6-a și rapoarte și proporții — exerciții rezolvate.
• Teorie utilă: procente, media aritmetică și lecția următoare din capitol, probabilități.

Întrebări frecvente

Ce este frecvența unei valori? Frecvența este numărul de apariții ale valorii într-un set de date. Frecvența relativă este raportul dintre frecvență și numărul total de date și se scrie de obicei ca procent.

Cum calculez media dintr-un tabel de frecvențe? Înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni produsele și împarți suma la numărul total de date. De exemplu, 3 note de 7 și 2 note de 10 au media $(21+20):5=8,2$.

Ce grafic aleg pentru un set de date? Diagrama cu bare pentru a compara categorii, graficul cu linii pentru evoluția în timp și diagrama circulară pentru a arăta ce parte din întreg reprezintă fiecare categorie.