Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi; regula semnelor — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să înmulțești și să împarți numere întregi cu regula semnelor: semne egale dau rezultat pozitiv, semne diferite dau rezultat negativ. Afli și de ce „minus ori minus dă plus”, cum stabilești semnul unui produs cu mulți factori și cum folosești factorul comun; la Evaluarea Națională produsele cu numere negative apar des la Subiectul I.

Teorie

Înmulțirea numerelor întregi

Pentru a înmulți două numere întregi, înmulțim modulele și stabilim semnul după regula semnelor:

factori	semnul produsului	exemplu
$+$ și $+$	$+$	$3\cdot 4=12$
$-$ și $+$	$-$	$(-3)\cdot 4=-12$
$+$ și $-$	$-$	$3\cdot (-4)=-12$
$-$ și $-$	$+$	$(-3)\cdot (-4)=12$

Pe scurt: semne egale → rezultat pozitiv; semne diferite → rezultat negativ. Orice număr înmulțit cu 0 dă 0.

De ce „minus ori minus dă plus”?

Semne diferite. Înmulțirea cu un număr natural este o adunare repetată: $(-3)\cdot 4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12$. Datorezi de 4 ori câte 3 lei, deci ai o datorie de 12 lei.

Semne egale (negative). Privește șirul de produse în care al doilea factor scade cu câte 1:

$$\begin{array}{rl}(-3)\cdot 2& =-6\\ (-3)\cdot 1& =-3\\ (-3)\cdot 0& =0\\ (-3)\cdot (-1)& =?\end{array}$$

De la un rând la altul rezultatul crește cu 3. Ca regula să rămână valabilă, următorul rezultat trebuie să fie $0+3=3$, apoi $(-3)\cdot (-2)=6$ și așa mai departe. Deci $(-3)\cdot (-4)=12$.

Produse cu mai mulți factori

Fiecare pereche de factori negativi dă un produs pozitiv. De aceea:

• dacă numărul factorilor negativi este par, produsul este pozitiv;
• dacă numărul factorilor negativi este impar, produsul este negativ;
• dacă un factor este 0, produsul este 0.

Proprietățile înmulțirii în ℤ

• comutativitatea $a\cdot b=b\cdot a$ și asociativitatea $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$;
• 1 este element neutru: $a\cdot 1=a$; înmulțirea cu $-1$ dă opusul: $a\cdot (-1)=-a$;
• distributivitatea față de adunare și scădere: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$; citită invers, ea înseamnă scoaterea factorului comun.

Împărțirea numerelor întregi

În clasa a VI-a împărțim numere întregi atunci când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului, adică împărțirea se face exact. Împărțim modulele și folosim aceeași regulă a semnelor:

$$(-56):8=-7,(-72):(-9)=8,45:(-15)=-3.$$

De ce aceeași regulă? Împărțirea este verificată prin înmulțire: $(-56):8=-7$ pentru că $(-7)\cdot 8=-56$; $(-72):(-9)=8$ pentru că $8\cdot (-9)=-72$.

• $0:a=0$ pentru orice $a\ne 0$;
• împărțirea la 0 nu are sens;
• într-un calcul fără paranteze, înmulțirile și împărțirile se fac înaintea adunărilor și scăderilor.

De reținut

• Semne egale → $+$; semne diferite → $-$ (la înmulțire și la împărțire).
• Număr par de factori negativi → produs pozitiv; număr impar → produs negativ.
• Proba împărțirii: câtul înmulțit cu împărțitorul dă deîmpărțitul.
• Regula semnelor nu se aplică la adunare: $(-2)+(-3)=-5$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) $(-6)\cdot 7$; b) $(-8)\cdot (-5)$; c) $9\cdot (-4)$; d) $(-12)\cdot 0$.

Vezi rezolvarea

1. a) Semne diferite: $6\cdot 7=42$, deci $-42$.
2. b) Semne egale: $8\cdot 5=40$, deci $40$.
3. c) Semne diferite: $-36$.
4. d) Un factor este 0: $0$.

Răspuns: a) $-42$; b) $40$; c) $-36$; d) $0$.

Exemplul 2. Calculează și fă proba: a) $(-56):8$; b) $(-72):(-9)$; c) $45:(-15)$; d) $0:(-7)$.

Vezi rezolvarea

1. a) $56:8=7$, semne diferite: $-7$. Proba: $(-7)\cdot 8=-56$.
2. b) $72:9=8$, semne egale: $8$. Proba: $8\cdot (-9)=-72$.
3. c) $45:15=3$, semne diferite: $-3$. Proba: $(-3)\cdot (-15)=45$.
4. d) $0$ împărțit la un număr nenul dă $0$. Proba: $0\cdot (-7)=0$.

Răspuns: a) $-7$; b) $8$; c) $-3$; d) $0$.

Exemplul 3. Calculează $(-2)\cdot 3\cdot (-1)\cdot (-5)\cdot 2$.

Vezi rezolvarea

1. Semnul: factorii negativi sunt $-2,-1,-5$, adică 3 factori, un număr impar, deci produsul este negativ.
2. Modulul: $2\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 2=60$.

Răspuns: $-60$.

Exemplul 4. Calculează rapid, folosind factorul comun: $(-17)\cdot 23+(-17)\cdot (-13)$.

Vezi rezolvarea

1. Factorul comun este $-17$: $(-17)\cdot [23+(-13)]$.
2. $23+(-13)=10$, deci rezultatul este $(-17)\cdot 10=-170$.
3. Verificare pe calea lungă: $-391+221=-170$.

Răspuns: $-170$.

Exemplul 5. Calculează $-24:(-6)+5\cdot (-3)-(-2)\cdot (-7)$.

Vezi rezolvarea

1. Întâi împărțirea și înmulțirile: $-24:(-6)=4$, $5\cdot (-3)=-15$, $(-2)\cdot (-7)=14$.
2. Calculul devine $4+(-15)-14=4-15-14$.
3. $4-29=-25$.

Răspuns: $-25$.

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Determină numerele întregi $x$ pentru care împărțirea $6:(x-1)$ se face exact, cu rezultat număr întreg.

Vezi rezolvarea

1. $x-1$ trebuie să fie un divizor întreg al lui 6. Divizorii naturali ai lui 6 sunt $1,2,3,6$; în $\mathbb{Z}$ se adaugă și opușii lor, pentru că, de exemplu, $6:(-2)=-3$.
2. Deci $x-1\in \{-6,-3,-2,-1,1,2,3,6\}$.
3. Adunăm 1 la fiecare valoare: $x\in \{-5,-2,-1,0,2,3,4,7\}$. Verificare, de exemplu pentru $x=-5$: $6:(-6)=-1$.

Răspuns: $x\in \{-5,-2,-1,0,2,3,4,7\}$.

Greșeli frecvente

• Uiți regula semnelor la două negative: $(-3)\cdot (-4)=-12$ este greșit; semnele sunt egale, deci produsul este $12$.
• Numeri greșit factorii negativi: $(-2)\cdot (-3)\cdot (-5)=30$ este fals: sunt 3 factori negativi (număr impar), deci $-30$.
• Faci operațiile de la stânga la dreapta fără prioritate: $2-3\cdot (-4)$ nu este $(-1)\cdot (-4)=4$, ci $2+12=14$: întâi înmulțirea.
• Împarți la 0: $(-5):0$ nu are sens (nu există număr care înmulțit cu 0 să dea $-5$), dar $0:(-5)=0$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: numere întregi, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Numere întregi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a).
• Test: numere întregi, clasa a 6-a, cu barem.
• La Evaluarea Națională: EN 2025, Subiectul I, itemul 3 (produsul numerelor $-2$ și $5$, rezolvat aici) și EN 2023, Subiectul I, itemul 3 (produsul dintre 3 și opusul lui 3, rezolvat aici). Toți itemii cu numere întregi: numere întregi la Evaluarea Națională.
• Prioritatea operațiilor: ordinea efectuării operațiilor.

Întrebări frecvente

De ce minus ori minus dă plus? Pentru ca regulile de calcul să rămână valabile: în șirul $(-3)\cdot 1=-3$, $(-3)\cdot 0=0$, rezultatul crește cu 3 la fiecare pas, deci $(-3)\cdot (-1)=3$. Același lucru rezultă din distributivitate.

Care este regula semnelor la împărțire? Aceeași ca la înmulțire: semne egale dau cât pozitiv, semne diferite dau cât negativ. De exemplu $(-40):(-8)=5$ și $40:(-8)=-5$.

Cum aflu semnul unui produs cu mulți factori? Numeri factorii negativi: dacă sunt în număr par, produsul este pozitiv, iar dacă sunt în număr impar, este negativ. Dacă un factor este 0, produsul este 0.