Adunarea și scăderea numerelor întregi — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să aduni și să scazi numere întregi: regula pentru numere cu același semn, regula pentru semne diferite și transformarea oricărei scăderi într-o adunare cu opusul. Cu ele calculezi variații de temperatură, solduri și altitudini, iar la Evaluarea Națională apar la Subiectul I și în aproape orice calcul.

Teorie

Adunarea pe axa numerelor

Adunarea unui număr pozitiv înseamnă deplasare spre dreapta pe axă, iar adunarea unui număr negativ înseamnă deplasare spre stânga, cu atâtea unități cât arată modulul. De exemplu, pentru (−3)+5 pornim din −3 și facem 5 pași la dreapta: ajungem la 2.

−5−4−3−2−1012345+5 (5 pași la dreapta)(−3) + 5 = 2

Regulile adunării

1. Numere cu același semn: adunăm modulele și păstrăm semnul comun.

(−7)+(−5)=−(7+5)=−12,(+4)+(+9)=+13.

De ce? Dacă datorezi 7 lei și te mai împrumuți cu 5 lei, datorezi 12 lei; pe axă faci 7 pași la stânga și încă 5 pași la stânga.

2. Numere cu semne diferite: scădem modulele (pe cel mic din cel mare) și punem semnul numărului cu modulul mai mare.

(−9)+4=−(9−4)=−5,12+(−8)=+(12−8)=4.

De ce? Pașii la dreapta și pașii la stânga se „anulează” unii pe alții; câștigă direcția în care sunt mai mulți pași.

3. Numere opuse: suma lor este 0: (−6)+6=0, adică a+(−a)=0.

Proprietățile adunării în ℤ

  • comutativitatea: a+b=b+a;
  • asociativitatea: (a+b)+c=a+(b+c) — putem grupa termenii cum ne convine;
  • 0 este element neutru: a+0=a;
  • orice număr întreg are un opus, iar a+(−a)=0.

Scăderea numerelor întregi

În Z scăderea se poate face întotdeauna: a scădea un număr înseamnă a aduna opusul lui.

a−b=a+(−b). 5−9=5+(−9)=−4,(−4)−(−11)=(−4)+11=7.

De ce? Diferența a−b este numărul care adunat cu b dă a. Verificare: −4+9=5 și 7+(−11)=−4.

Paranteze și scrierea fără paranteze

  • un plus în fața parantezei se poate șterge împreună cu paranteza, fără să schimbi semnele: +(−3+8)=−3+8;
  • un minus în fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen din paranteză: −(−3+8)=3−8;
  • scrieri prescurtate: +(−a)=−a, −(+a)=−a, −(−a)=+a.

Un calcul cu mai mulți termeni îl faci ușor așa: scrii totul fără paranteze, aduni separat termenii pozitivi și termenii negativi, apoi aduni cele două rezultate.

De reținut

  • Același semn: aduni modulele, păstrezi semnul.
  • Semne diferite: scazi modulele, iei semnul celui cu modulul mai mare.
  • a−b=a+(−b): scăderea devine adunare cu opusul.
  • Minus în fața parantezei schimbă semnul tuturor termenilor din ea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Calculează: a) (−7)+(−5); b) (−9)+4; c) 12+(−8); d) (−6)+6.

Vezi rezolvarea
  1. a) Același semn: 7+5=12, semnul minus: −12.
  2. b) Semne diferite: 9−4=5; modulul mai mare are −9, deci −5.
  3. c) Semne diferite: 12−8=4; modulul mai mare are 12, deci 4.
  4. d) Numere opuse: 0.

Răspuns: a) −12; b) −5; c) 4; d) 0.

Exemplul 2. Calculează: a) 5−9; b) (−3)−7; c) (−4)−(−11); d) 0−(−8).

Vezi rezolvarea
  1. a) 5−9=5+(−9)=−4.
  2. b) (−3)−7=(−3)+(−7)=−10.
  3. c) (−4)−(−11)=(−4)+11=7.
  4. d) 0−(−8)=0+8=8.

Răspuns: a) −4; b) −10; c) 7; d) 8.

Exemplul 3. La ora 6 termometrul arăta −6∘C. Până la prânz temperatura a crescut cu 9∘C, iar până la miezul nopții a scăzut cu 11∘C. a) Ce temperatură era la prânz? b) Dar la miezul nopții? c) Cu câte grade a fost mai cald la prânz decât la ora 6?

Vezi rezolvarea
  1. a) Creșterea înseamnă adunare: −6+9=3, deci 3∘C.
  2. b) Scăderea înseamnă scădere: 3−11=3+(−11)=−8, deci −8∘C.
  3. c) Diferența „cu cât mai mult” este temperatura mai mare minus cea mai mică: 3−(−6)=3+6=9.

Răspuns: a) 3∘C; b) −8∘C; c) cu 9∘C.

Exemplul 4. Calculează −15+23−8−(−6)+(−4).

Vezi rezolvarea
  1. Scriem fără paranteze: −(−6)=+6, +(−4)=−4, deci avem −15+23−8+6−4.
  2. Termenii pozitivi: 23+6=29. Termenii negativi: −15−8−4=−27.
  3. 29+(−27)=2.

Răspuns: 2.

Exemplul 5. Calculează în două moduri: 17−(8−12)+(−5+3).

Vezi rezolvarea
  1. Mod 1 (întâi parantezele): 8−12=−4, −5+3=−2, deci 17−(−4)+(−2)=17+4−2=19.
  2. Mod 2 (desfacem parantezele): minusul schimbă semnele din prima paranteză: 17−8+12−5+3. Pozitivi: 17+12+3=32; negativi: −8−5=−13; 32−13=19.

Răspuns: 19 (același rezultat în ambele moduri).

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). Calculează: a) S1=(−10)+(−9)+(−8)+…+9+10+11; b) S2=1−2+3−4+…+99−100.

Vezi rezolvarea
  1. a) Grupăm numerele opuse: (−10)+10=0, (−9)+9=0, …, (−1)+1=0. Rămân 0 și 11, deci S1=11.
  2. b) Grupăm câte doi termeni: (1−2)+(3−4)+…+(99−100). Fiecare paranteză este −1, iar de la 1 la 100 sunt 100:2=50 paranteze.
  3. S2=50⋅(−1), adică suma a 50 de termeni egali cu −1: S2=−50.

Răspuns: a) S1=11; b) S2=−50.

Greșeli frecvente

  • Aduni greșit două negative: −3−5=−2 este fals. Ambii termeni sunt negativi, deci aduni modulele: −3−5=−8.
  • Aplici „minus cu minus dă plus” la adunare: (−5)+(−3) nu este 8, ci −8. Regula semnelor este pentru înmulțire; la adunare semnele egale se păstrează.
  • Schimbi doar primul semn din paranteză: 10−(4−7) nu este 10−4−7, ci 10−4+7=13.
  • Scazi în ordinea greșită la „cu cât mai mare”: diferența dintre 5∘C și −4∘C este 5−(−4)=9 grade, nu 1 grad și nici −9.

Verifică-te

Verifică-te: 4 întrebări

Cât este (−8)+3?

  1. −11
  2. 5
  3. −5

Cât este 4−10?

  1. −6
  2. 6
  3. −14

Cât este −2−(−9)?

  1. −11
  2. 7
  3. −7

Dimineața au fost −5∘C, iar la prânz 3∘C. Cu câte grade a crescut temperatura?

  1. 2∘C
  2. 8∘C
  3. −8∘C

Exersează

Întrebări frecvente

Cum se adună două numere întregi cu semne diferite? Scazi modulul mai mic din modulul mai mare și pui semnul numărului care are modulul mai mare. De exemplu (−9)+4=−5, iar 9+(−4)=5.

Cum se scade un număr negativ? Aduni opusul lui, adică numărul pozitiv corespunzător: 6−(−2)=6+2=8. Orice scădere a−b se scrie a+(−b).

Ce se întâmplă când în fața unei paranteze este minus? Poți elimina paranteza dacă schimbi semnul fiecărui termen din ea: −(5−8+2)=−5+8−2.