Numere întregi: opusul, modulul, compararea — lecție clasa a 6-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție afli ce sunt numerele întregi, cum le așezi pe axa numerelor, ce înseamnă opusul și modulul unui număr și cum compari două numere întregi, inclusiv două numere negative. Le folosești la temperaturi, altitudini sau sold bancar, iar la Evaluarea Națională apar aproape în fiecare an la Subiectul I.

Teorie

De ce avem nevoie de numere întregi

În mulțimea numerelor naturale scăderea $5-8$ nu se poate face. Totuși, în viață apar des situații „sub zero”: termometrul arată 4 grade sub zero, un punct se află la 3 m sub nivelul mării, un cont are o datorie de 50 de lei. Pentru ele folosim numere negative, scrise cu semnul minus: $-4$, $-3$, $-50$.

Mulțimea numerelor întregi este formată din numerele naturale și din numerele negative corespunzătoare lor:

$$\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}.$$

• $1,2,3,\dots$ sunt numere întregi pozitive (se pot scrie și $+1,+2,\dots$);
• $-1,-2,-3,\dots$ sunt numere întregi negative;
• $0$ nu este nici pozitiv, nici negativ.

Orice număr natural este și număr întreg: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$. Mulțimea numerelor întregi nenule se notează ${\mathbb{Z}}^{\ast }=\mathbb{Z}\setminus \{0\}$.

Axa numerelor

Pe o dreaptă alegem un punct $O$ (originea, corespunde lui 0), un sens pozitiv (spre dreapta, marcat cu săgeată) și o unitate de măsură. Numerele pozitive se reprezintă la dreapta originii, cele negative la stânga, la atâtea unități de $O$ cât arată numărul fără semn.

Opusul unui număr întreg

Două numere care diferă doar prin semn se numesc numere opuse: opusul lui $3$ este $-3$, opusul lui $-7$ este $7$. Opusul lui $a$ se scrie $-a$. Pe axă, un număr și opusul său sunt simetrice față de origine: sunt la aceeași distanță de 0, dar de o parte și de alta.

$$-(-7)=7,-(+5)=-5,-0=0.$$

Opusul opusului unui număr este chiar numărul. Singurul număr egal cu opusul său este $0$.

Modulul unui număr întreg

Modulul (valoarea absolută) unui număr întreg este distanța de la origine până la punctul care reprezintă numărul pe axă. Se notează cu bare verticale: $|-3|=3$, $|3|=3$ (figura de mai sus). Pentru că o distanță nu poate fi negativă:

• modulul unui număr pozitiv este numărul însuși: $|12|=12$;
• modulul unui număr negativ este opusul lui: $|-12|=12$;
• $|0|=0$; modulul nu este niciodată negativ;
• un număr și opusul său au același modul: $|-5|=|5|=5$.

Din definiție (distanța la origine) rezultă și: $|x|=4$ înseamnă $x=4$ sau $x=-4$ (două puncte la distanța 4 de 0), iar $|x|<3$, cu $x$ întreg, înseamnă $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$.

Compararea și ordonarea numerelor întregi

Pe axa numerelor, dintre două numere este mai mare cel situat mai la dreapta. De aici reguli practice:

• orice număr pozitiv este mai mare decât 0, iar 0 este mai mare decât orice număr negativ: $-9<0<2$;
• orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ: $1>-100$;
• două numere pozitive se compară ca numerele naturale: $7>4$;
• dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic (e mai aproape de 0, deci mai la dreapta): $-3>-8$, pentru că $3<8$. Gândește-te la temperaturi: $-3^{\circ }$C este mai cald decât $-8^{\circ }$C.

A ordona crescător o listă de numere înseamnă a le scrie de la cel mai mic (cel mai din stânga pe axă) la cel mai mare.

De reținut

• $\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$; $0$ nu e nici pozitiv, nici negativ.
• Opusul lui $a$ este $-a$; numerele opuse sunt simetrice față de 0.
• Modulul = distanța până la 0, deci $|a|\ge 0$ și $|-a|=|a|$.
• Mai la dreapta pe axă înseamnă mai mare; între negative, mai mare e cel cu modulul mai mic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Scrie opusul și modulul fiecăruia dintre numerele $-7$, $12$, $0$, $-15$.

Vezi rezolvarea

1. Opusul se obține schimbând semnul: $-(-7)=7$, $-(12)=-12$, $-0=0$, $-(-15)=15$.
2. Modulul este distanța până la 0, deci numărul „fără semn”: $|-7|=7$, $|12|=12$, $|0|=0$, $|-15|=15$.

Răspuns: opusele sunt $7,-12,0,15$; modulele sunt $7,12,0,15$.

Exemplul 2. Într-o dimineață de ianuarie s-au înregistrat temperaturile: Cluj $-4^{\circ }$C, Brașov $-9^{\circ }$C, București $2^{\circ }$C, Constanța $0^{\circ }$C, Suceava $-6^{\circ }$C. Ordonează temperaturile crescător și spune unde a fost cel mai frig.

Vezi rezolvarea

1. Numerele negative sunt mai mici decât 0 și decât cele pozitive, deci încep cu ele.
2. Între negative, mai mic este cel cu modulul mai mare: $9>6>4$, deci $-9<-6<-4$.
3. Urmează $0$, apoi $2$.

Răspuns: $-9<-6<-4<0<2$; cel mai frig a fost la Brașov ($-9^{\circ }$C).

Exemplul 3. Compară numerele: a) $-12$ și $-8$; b) $-3$ și $2$; c) $|-6|$ și $|4|$; d) $-|-5|$ și $-4$.

Vezi rezolvarea

1. a) Ambele negative; $|-12|=12>8=|-8|$, deci $-12<-8$.
2. b) Un negativ este mai mic decât un pozitiv: $-3<2$.
3. c) Calculăm întâi modulele: $|-6|=6$, $|4|=4$, deci $|-6|>|4|$.
4. d) $|-5|=5$, deci $-|-5|=-5$. Comparăm $-5$ cu $-4$: $5>4$, deci $-5<-4$.

Răspuns: a) $-12<-8$; b) $-3<2$; c) $|-6|>|4|$; d) $-|-5|<-4$.

Exemplul 4. Ordonează crescător numerele: $3,-7,0,-1,|-4|,-(-2),-10$.

Vezi rezolvarea

1. Scriem mai simplu numerele cu modul și opus: $|-4|=4$, $-(-2)=2$.
2. Negativele, de la cel cu modulul cel mai mare: $-10<-7<-1$.
3. Apoi $0$, apoi pozitivele: $2<3<4$.

Răspuns: $-10<-7<-1<0<-(-2)<3<|-4|$.

Exemplul 5. Determină numerele întregi $x$ pentru care: a) $|x|=6$; b) $|x|\le 2$; c) $|x|=-3$.

Vezi rezolvarea

1. a) Căutăm punctele de pe axă aflate la distanța 6 de origine: unul la dreapta, unul la stânga. $x\in \{-6,6\}$.
2. b) Distanța până la 0 este cel mult 2: $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$.
3. c) Modulul este o distanță, deci nu poate fi negativ: nu există niciun $x$.

Răspuns: a) $\{-6,6\}$; b) $\{-2,-1,0,1,2\}$; c) nicio soluție (mulțimea vidă).

Exemplul 6 (tip Evaluare Națională). a) Care este cel mai mic număr întreg de două cifre? b) Câte numere întregi $x$ verifică $-7\le x<3$? c) Câte numere întregi au modulul mai mic decât 5?

Vezi rezolvarea

1. a) Numerele întregi de două cifre sunt $10,11,\dots ,99$ și $-10,-11,\dots ,-99$. Cel mai mic este cel mai din stânga pe axă, adică negativul cu modulul cel mai mare: $-99$.
2. b) Numerele sunt $-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$ (3 nu se ia, inegalitatea este strictă): 7 numere negative, 0 și 2 pozitive, în total $7+1+2=10$.
3. c) $|x|<5$ înseamnă $x\in \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}$: $4+1+4=9$ numere.

Răspuns: a) $-99$; b) 10 numere; c) 9 numere.

Greșeli frecvente

• Compari negativele ca pe numerele naturale: $-8>-3$ este fals, pentru că 8 e mai mare. Pe axă $-8$ este mai la stânga, deci $-8<-3$.
• Scrii modulul cu minus: $|-5|=-5$ este greșit; modulul este o distanță, deci $|-5|=5$. Atenție însă: $-|5|=-5$, pentru că minusul e în fața modulului.
• Crezi că opusul este mereu negativ: opusul lui $-9$ este $9$, un număr pozitiv; $-a$ nu înseamnă „număr negativ”, ci „opusul lui $a$”.
• Uiți soluția negativă: $|x|=6$ are două soluții, $6$ și $-6$, nu doar $6$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: numere întregi, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Numere întregi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a).
• Test: numere întregi, clasa a 6-a, cu barem.
• La Evaluarea Națională: EN 2022, Subiectul I, itemul 3 (opusul numărului 5, rezolvat aici) și EN 2025, subiectul de rezervă, Subiectul I, itemul 1 (cel mai mare număr întreg de două cifre, rezolvat aici). Toți itemii cu numere întregi: numere întregi la Evaluarea Națională.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr întreg? Este distanța de la origine până la punctul care reprezintă numărul pe axă. De aceea modulul nu e niciodată negativ: $|-7|=7$, $|7|=7$, $|0|=0$.

Cum compar două numere negative? Este mai mare numărul cu modulul mai mic, adică cel mai apropiat de 0. De exemplu $-2>-9$, la fel cum $-2^{\circ }$C este mai cald decât $-9^{\circ }$C.

Zero este număr pozitiv sau negativ? Niciuna: 0 este originea axei și separă numerele pozitive de cele negative. Este însă număr natural și număr întreg, iar opusul lui este tot 0.