Rădăcini întregi și raționale ale ecuațiilor algebrice — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cum găsești rădăcinile întregi și raționale ale unei ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcinile întregi divid termenul liber, iar rădăcinile raționale $\frac{p}{q}$ au $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant. Înveți și regula rădăcinilor conjugate pentru coeficienți raționali sau reali. Lecția este în programa de clasa a XII-a la M1 și la M2 („rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$”).

Teorie

Rădăcini întregi

Fie $f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0\in \mathbb{Z}[X]$, $a_n\ne 0$.

Teorema 1. Dacă $\alpha \in \mathbb{Z}$ este rădăcină a lui $f$, atunci $\alpha \mid a_0$.

Demonstrație. Din $f(\alpha )=0$: $a_0=-\alpha (a_n{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_1)$, iar paranteza este un număr întreg. Deci $\alpha \mid a_0$.

Rădăcini raționale

Teorema 2. Dacă $\alpha =\frac{p}{q}$ este rădăcină a lui $f$, cu $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și fracția ireductibilă, atunci $p\mid a_0$ și $q\mid a_n$.

Demonstrație. Înmulțim $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$ cu $q^n$:

$$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$$

Toți termenii în afară de $a_0{q}^n$ se divid cu $p$, deci $p\mid a_0{q}^n$; cum $p$ și $q$ sunt prime între ele, $p\mid a_0$. Analog, toți termenii în afară de $a_n{p}^n$ se divid cu $q$, deci $q\mid a_n$.

Consecință. Dacă $a_n=1$ (polinom monic), orice rădăcină rațională este întreagă. De exemplu, $X^2-2$ nu are rădăcini întregi ($\pm 1,\pm 2$ nu verifică), deci nici raționale: $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.

Dacă coeficienții sunt raționali, înmulțești ecuația cu numitorul comun și ajungi la coeficienți întregi.

Algoritmul

1. Scrii candidații: $\pm$ divizorii lui $a_0$ (rădăcini întregi), respectiv $\pm \frac{p}{q}$ cu $p\mid a_0$, $q\mid a_n$.
2. Îi verifici cu schema lui Horner: restul 0 înseamnă rădăcină și îți dă direct câtul.
3. Continui cu câtul (are un grad mai mic); la gradul 2 folosești $\mathrm{\Delta }$.

Filtru rapid. Dacă $\alpha \ne \pm 1$ este rădăcină întreagă, atunci $\alpha -1\mid f(1)$ și $\alpha +1\mid f(-1)$, pentru că $a-b\mid f(a)-f(b)$ pentru orice $a,b\in \mathbb{Z}$ (din $a-b\mid a^k-b^k$). Așa elimini repede candidați.

Rădăcini conjugate

• Dacă $f$ are coeficienți reali și $z=a+bi$ ($b\ne 0$) este rădăcină, atunci și $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină (conjugarea este un automorfism al lui $\mathbb{C}$).
• Dacă $f$ are coeficienți raționali și $a+b\sqrt{d}$ este rădăcină ($a,b\in \mathbb{Q}$, $b\ne 0$, $\sqrt{d}\notin \mathbb{Q}$), atunci și $a-b\sqrt{d}$ este rădăcină.
• În ambele cazuri $f$ se divide cu polinomul de gradul 2 care are cele două rădăcini: $X^2-2aX+(a^2+b^2)$, respectiv $X^2-2aX+(a^2-b^{2}d)$.

De reținut

• Coeficienți întregi: rădăcina întreagă divide termenul liber.
• Rădăcina rațională $\frac{p}{q}$ (ireductibilă): $p\mid a_0$, $q\mid a_n$.
• Polinom monic cu coeficienți întregi: rădăcinile raționale sunt întregi.
• Teoremele dau doar candidați; fiecare candidat trebuie verificat.
• Gradul 2 sau 3 fără rădăcini raționale ⇒ ireductibil peste $\mathbb{Q}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^3-3x^2-4x+12=0$.

Vezi rezolvarea

1. Coeficientul dominant este 1, deci rădăcinile raționale sunt întregi și divid 12: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$.
2. $f(1)=6\ne 0$, $f(2)=8-12-8+12=0$. Horner cu 2 (1, −3, −4, 12): $1,-1,-6$, rest 0.
3. $x^2-x-6=0\iff x\in \{3,-2\}$.

Răspuns: $S=\{-2,2,3\}$

Exemplul 2. Rezolvați ecuația $2x^3-x^2-7x+6=0$.

Vezi rezolvarea

1. Candidați raționali $\frac{p}{q}$: $p\mid 6$, $q\mid 2$: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{3}{2}$.
2. $f(1)=2-1-7+6=0$. Horner cu 1 (2, −1, −7, 6): $2,1,-6$, rest 0. Câtul: $2x^2+x-6$.
3. $2x^2+x-6=0$: $\mathrm{\Delta }=1+48=49$, $x=\frac{-1\pm 7}{4}\in \{\frac{3}{2},-2\}$.

Răspuns: $S=\{-2,1,\frac{3}{2}\}$

Exemplul 3. Arătați că polinomul $f=X^3-3X+1$ nu are rădăcini raționale și deduceți că este ireductibil în $\mathbb{Q}[X]$.

Vezi rezolvarea

1. $f$ este monic cu coeficienți întregi, deci o rădăcină rațională ar fi întreagă și ar divide 1: candidații sunt $\pm 1$.
2. $f(1)=1-3+1=-1\ne 0$, $f(-1)=-1+3+1=3\ne 0$. Nu are rădăcini raționale.
3. Are gradul 3 și nicio rădăcină în $\mathbb{Q}$, deci este ireductibil în $\mathbb{Q}[X]$ (o descompunere ar conține un factor de gradul 1).

Răspuns: nicio rădăcină rațională; $f$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$

Exemplul 4. Arătați că numărul $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ este irațional.

Vezi rezolvarea

1. Căutăm o ecuație cu coeficienți întregi verificată de $\alpha$: ${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$, deci $({\alpha }^2-5{)}^2=24$, adică ${\alpha }^4-10{\alpha }^2+1=0$.
2. Polinomul $X^4-10X^2+1$ este monic, deci rădăcinile lui raționale ar fi întregi, divizori ai lui 1: $\pm 1$.
3. $1-10+1=-8\ne 0$ (același rezultat pentru $-1$). Deci ecuația nu are rădăcini raționale, iar $\alpha$, fiind rădăcină, nu este rațional.

Răspuns: $\sqrt{2}+\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$

Exemplul 5. Determinați numerele întregi $a$ pentru care ecuația $x^3+ax+2=0$ are cel puțin o rădăcină întreagă.

Vezi rezolvarea

1. O rădăcină întreagă $\alpha$ divide termenul liber 2: $\alpha \in \{-2,-1,1,2\}$.
2. $\alpha =1$: $1+a+2=0\Rightarrow a=-3$. $\alpha =-1$: $-1-a+2=0\Rightarrow a=1$.
3. $\alpha =2$: $8+2a+2=0\Rightarrow a=-5$. $\alpha =-2$: $-8-2a+2=0\Rightarrow a=-3$.
4. Toate valorile obținute sunt întregi și sunt acceptabile.

Răspuns: $a\in \{-5,-3,1\}$

Exemplul 6 (tip Bac). Determinați numerele raționale $a$ și $b$ pentru care $x_1=2+\sqrt{3}$ este rădăcină a polinomului $f=X^3+a{X}^2+bX+1$, apoi aflați celelalte rădăcini.

Vezi rezolvarea

1. Coeficienții sunt raționali, deci și $x_2=2-\sqrt{3}$ este rădăcină. $x_1+x_2=4$, $x_1{x}_2=4-3=1$, deci $X^2-4X+1\mid f$.
2. Scriem $f=(X^2-4X+1)(X+c)$. Termenul liber: $c=1$.
3. $(X^2-4X+1)(X+1)=X^3-3X^2-3X+1$, deci $a=-3$, $b=-3$; a treia rădăcină este $x_3=-1$.

Răspuns: $a=b=-3$; rădăcinile sunt $2+\sqrt{3},2-\sqrt{3},-1$

Greșeli frecvente

• Candidații luați drept rădăcini. Teoremele spun doar unde pot fi rădăcinile; fiecare candidat se verifică ($f(\alpha )=0$ sau Horner).
• Uiți semnul minus. Candidații sunt $\pm$ divizorii: pentru 6 ai $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$.
• La rădăcini raționale uiți numitorii. Pentru $2x^3-x^2-7x+6=0$, rădăcina $\frac{3}{2}$ nu apare printre divizorii lui 6; trebuie luat și $q\mid 2$.
• Rădăcini conjugate fără condiție. Regula $a+b\sqrt{d}\Rightarrow a-b\sqrt{d}$ cere coeficienți raționali; pentru $X-\sqrt{2}$ (coeficient irațional) $-\sqrt{2}$ nu este rădăcină.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: polinoame, clasa a 12-a — exercițiile 8, 14 și 16 (rădăcini după o rădăcină cunoscută, rădăcina $1+\sqrt{2}$ cu coeficienți raționali, rădăcinile raționale ale lui $2X^3-3X^2-3X+2$), cu răspunsuri.
• La Bacalaureat: Bac M1 2023, sesiunea august, Subiectul II.2 c) (numărul rațional $m$ pentru care polinomul are rădăcina $1+\sqrt{3}$, prin rădăcini conjugate, rezolvat aici) și Bac M3 2026, sesiunea august, Subiectul II.2 c) (după aflarea parametrului, $f=X^3-3X^2-2X+6$ are rădăcina întreagă 3, divizor al lui 6, rezolvat aici). Toate cerințele: polinoame la Bacalaureat.
• Lecții legate: schema lui Horner, descompunerea în factori ireductibili; relațiile lui Viète: polinoame.

Întrebări frecvente

Cum aflu rădăcinile raționale ale unui polinom? Pentru coeficienți întregi scrii candidații $\pm \frac{p}{q}$, cu $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant, apoi îi verifici cu schema lui Horner. Fiecare rădăcină găsită coboară gradul cu 1.

De ce rădăcinile întregi sunt divizori ai termenului liber? Din $f(\alpha )=0$ rezultă $a_0=-\alpha (a_n{\alpha }^{n-1}+\cdots +a_1)$, iar paranteza este un număr întreg, deci $\alpha$ divide $a_0$.

Ce fac dacă nu găsesc nicio rădăcină rațională? Atunci ecuația nu are rădăcini raționale. Pentru gradul 2 sau 3 asta înseamnă că polinomul este ireductibil peste $\mathbb{Q}$; rădăcinile (iraționale sau complexe) se caută cu alte metode: substituții, rădăcini conjugate date în enunț, relațiile lui Viète.