Fișă de lucru polinoame clasa a 12-a — 18 exerciții cu răspunsuri, printabilă

Fișă de lucru cu 18 exerciții pentru clasa a 12-a despre polinoame: valori, împărțire, schema lui Horner, teorema restului (Bézout), rădăcini, relațiile lui Viète și polinoame cu coeficienți reali sau raționali. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — polinoame, clasa a 12-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț.

I. Nivel ușor

  1. Fie \(f=X^3-2X^2+3X-4\). Calculează \(f(1)\), \(f(2)\) și \(f(-1)\).
  2. Determină gradul, coeficientul dominant și termenul liber ale polinomului \(f=(2X-1)(X^2+3)\).
  3. Folosind teorema restului, află restul împărțirii polinomului \(f=X^3+2X^2-5X+1\) la \(X-2\).
  4. Împarte \(f=X^3-3X^2+5X-2\) la \(X-1\) cu schema lui Horner.
  5. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care polinomul \(f=X^3+mX-6\) este divizibil cu \(X-2\).
  6. Adevărat sau fals? Numărul \(-1\) este rădăcină a polinomului \(f=X^4+X^3+X+1\).

II. Nivel mediu

  1. Determină câtul și restul împărțirii polinomului \(f=X^4-2X^3+X-3\) la \(g=X^2+1\).
  2. Știind că \(x=1\) este rădăcină a polinomului \(f=X^3-6X^2+11X-6\), determină celelalte rădăcini.
  3. Fie \(x_1,x_2,x_3\) rădăcinile polinomului \(f=X^3-2X^2+3X-5\). Calculează \(x_1+x_2+x_3\), \(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\), \(x_1x_2x_3\) și \(x_1^2+x_2^2+x_3^2\).
  4. Pentru polinomul de la exercițiul 9, calculează \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\).
  5. Determină restul împărțirii polinomului \(f=X^{2026}+X+1\) la \(X^2-1\).
  6. Determină \(a,b\in\mathbb{R}\) pentru care polinomul \(f=X^3+aX^2+bX+2\) este divizibil cu \(X^2-3X+2\).

III. Nivel greu

  1. Determină \(a,b\in\mathbb{R}\) pentru care polinomul \(f=X^3+aX+b\) are rădăcina \(1+i\), apoi află toate rădăcinile lui \(f\).
  2. Determină \(a,b\in\mathbb{Q}\) pentru care polinomul \(f=X^3+aX^2+bX-2\) are rădăcina \(1+\sqrt{2}\).
  3. Determină \(m\in\mathbb{R}\) pentru care rădăcinile polinomului \(f=X^3-6X^2+mX-6\) sunt în progresie aritmetică.
  4. Determină rădăcinile raționale ale polinomului \(f=2X^3-3X^2-3X+2\).
  5. Pentru polinomul de la exercițiul 9, calculează \(x_1^3+x_2^3+x_3^3\).
  6. (M1) Determină rădăcinile din \(\mathbb{Z}_7\) ale polinomului \(f=X^2+X+\hat{1}\in\mathbb{Z}_7[X]\) și descompune-l în factori de gradul I.
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(-2\), \(2\), \(-10\)
  2. Gradul 3, coeficientul dominant 2, termenul liber \(-3\)
  3. \(f(2)=7\)
  4. Câtul \(X^2-2X+3\), restul 1
  5. \(m=-1\) (\(f(2)=2+2m=0\))
  6. Adevărat: \(f(-1)=1-1-1+1=0\)
  7. Câtul \(X^2-2X-1\), restul \(3X-2\)
  8. \(f=(X-1)(X^2-5X+6)\); rădăcinile 1, 2, 3
  9. 2; 3; 5; \(2^2-2\cdot 3=-2\)
  10. \(\frac{3}{5}\) (\(\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}\))
  11. \(X+2\) (\(r=aX+b\), \(f(1)=3=a+b\), \(f(-1)=1=-a+b\))
  12. \(a=-2\), \(b=-1\) (\(f(1)=f(2)=0\)); \(f=(X-1)(X-2)(X+1)\)
  13. \(a=-2\), \(b=4\); rădăcinile \(1+i\), \(1-i\), \(-2\)
  14. \(a=0\), \(b=-5\) (și \(1-\sqrt{2}\) e rădăcină; \(f=(X^2-2X-1)(X+2)\))
  15. \(m=11\) (rădăcina din mijloc este 2; rădăcinile 1, 2, 3)
  16. \(2\), \(-1\), \(\frac{1}{2}\)
  17. 5 (\(x_k^3=2x_k^2-3x_k+5\), deci suma este \(2(-2)-3\cdot 2+15\))
  18. \(\hat{2}\) și \(\hat{4}\); \(f=(X-\hat{2})(X-\hat{4})\)

Teorie: Polinoame — teorie și relațiile lui Viète · Calculator ecuația de gradul 2 · Formule clasa a 12-a · Alte fișe: toate fișele de lucru