Ecuații binome, bipătrate și reciproce — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți trei tipuri de ecuații algebrice care se rezolvă prin reducere la ecuații mai simple: ecuațiile binome $x^n=a$, ecuațiile bipătrate $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ și ecuațiile reciproce (cu coeficienți „simetrici”). Apar la Bacalaureat la polinoame și la legi de compoziție, de obicei la Subiectul al II-lea; lecția este în programa M1 și în programa M2.

Teorie

1. Ecuația binomă

Se numește ecuație binomă o ecuație de forma

$$x^n-a=0,n\in \mathbb{N},n\ge 2,a\in {\mathbb{C}}^{\ast }.$$

Rezolvarea în $\mathbb{C}$. Scrii $a$ în formă trigonometrică, $a=r(\cos t+i\sin t)$, cu $r=|a|>0$. Din formula lui Moivre (clasa a X-a), soluțiile sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$:

$$x_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{t+2k\pi }{n}+i\sin \frac{t+2k\pi }{n}),k=0,1,\dots ,n-1.$$

Ecuația are exact $n$ soluții complexe distincte; în planul complex ele sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $\sqrt[n]{r}$. Cazul $a=1$ dă rădăcinile de ordinul $n$ ale unității ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$; pentru $n=3$, $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, iar rădăcina $\epsilon \ne 1$ verifică ${\epsilon }^3=1$ și ${\epsilon }^2+\epsilon +1=0$.

Rezolvarea în $\mathbb{R}$ ($a$ real):

	$n$ impar	$n$ par
$a>0$	o soluție: $x=\sqrt[n]{a}$	două soluții: $x=\pm \sqrt[n]{a}$
$a<0$	o soluție: $x=-\sqrt[n]{-a}$	nicio soluție reală

Pentru grade mici este adesea mai rapid să descompui: $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$, $x^4-a^4=(x-a)(x+a)(x^2+a^2)$, $x^4+4a^4=(x^2-2ax+2a^2)(x^2+2ax+2a^2)$.

2. Ecuația bipătrată

Se numește ecuație bipătrată o ecuație de forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0,a,b,c\in \mathbb{C},a\ne 0.$$

Cu notația $y=x^2$ obții ecuația de gradul al doilea $a{y}^2+by+c=0$, cu rădăcinile $y_1,y_2$. Apoi rezolvi ecuațiile $x^2=y_1$ și $x^2=y_2$ (ecuații binome de gradul 2). Soluțiile vin în perechi de numere opuse: dacă $x_0$ e soluție, atunci și $-x_0$ este.

Soluțiile reale (coeficienți reali): pentru fiecare $y_i$ real, dacă $y_i>0$ obții $x=\pm \sqrt{y_i}$; dacă $y_i=0$ obții $x=0$; dacă $y_i<0$ nu obții soluții reale, dar în $\mathbb{C}$ obții $x=\pm i\sqrt{-y_i}$. Deci ecuația are 4 soluții reale distincte exact când $y_1,y_2$ sunt reale, distincte și strict pozitive: $\mathrm{\Delta }>0$, $P=y_1{y}_2>0$, $S=y_1+y_2>0$.

3. Ecuația reciprocă

O ecuație $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0$, cu $a_n\ne 0$, se numește reciprocă dacă coeficienții egal depărtați de extremi sunt egali: $a_k=a_{n-k}$ pentru orice $k=0,1,\dots ,n$. De exemplu $2x^3-3x^2-3x+2=0$ sau $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$.

Proprietăți. Fie $P$ polinomul din membrul stâng.

• $a_0=a_n\ne 0$, deci $0$ nu este rădăcină.
• Are loc identitatea $x^{n}P\left(\frac{1}{x}\right)=P(x)$ (coeficienții se citesc în ordine inversă și sunt aceiași). Prin urmare, dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x_0}$ este rădăcină: de aici numele „reciprocă”.
• Dacă $n$ este impar, atunci $x=-1$ este rădăcină: în $P(-1)$ termenii $a_k(-1{)}^k$ și $a_{n-k}(-1{)}^{n-k}$ au același coeficient și semne opuse ($k$ și $n-k$ au parități diferite), deci se reduc. Câtul împărțirii lui $P$ la $x+1$ este tot reciproc, de grad par.

Gradul 3: $a{x}^3+b{x}^2+bx+a=(x+1)(a{x}^2+(b-a)x+a)$.

Gradul 4: $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$. Împarți prin $x^2$ (posibil, $x\ne 0$) și grupezi:

$$a(x^2+\frac{1}{x^2})+b(x+\frac{1}{x})+c=0.$$

Notezi $y=x+\frac{1}{x}$; atunci $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, iar ecuația devine $a{y}^2+by+c-2a=0$. Pentru fiecare rădăcină $y$ rezolvi $x^2-yx+1=0$. Pentru $x$ real, $|x+\frac{1}{x}|\ge 2$, deci valorile $y$ cu $|y|<2$ dau numai soluții nereale.

Gradul 5: împarți prin $x+1$ și ajungi la o ecuație reciprocă de gradul 4.

De reținut

• Binomă $x^n=a$: în $\mathbb{C}$ are $n$ soluții, date de formula rădăcinilor de ordinul $n$; în $\mathbb{R}$ are 0, 1 sau 2 soluții (tabelul de mai sus).
• Bipătrată: $y=x^2$, apoi $x=\pm \sqrt{y}$; fiecare $y$ dă două soluții (opuse) sau una ($y=0$).
• Reciprocă: $x_0$ rădăcină $\Rightarrow \frac{1}{x_0}$ rădăcină; grad impar $\Rightarrow -1$ rădăcină; grad 4 $\Rightarrow y=x+\frac{1}{x}$.
• Orice ecuație polinomială de grad $n$ are în $\mathbb{C}$ exact $n$ rădăcini, numărate cu multiplicitate — numără-le la final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă ecuația $x^3=8$ în $\mathbb{R}$ și în $\mathbb{C}$.

Vezi rezolvarea

1. Descompui: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
2. $x-2=0\Rightarrow x=2$, singura soluție reală ($n=3$ impar, $a=8>0$).
3. $x^2+2x+4=0$: $\mathrm{\Delta }=4-16=-12$, deci $x=\frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$.
4. Verificare cu formula: $8=8(\cos 0+i\sin 0)$, $x_k=2(\cos \frac{2k\pi }{3}+i\sin \frac{2k\pi }{3})$; pentru $k=1$: $2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1+i\sqrt{3}$.

Răspuns: în $\mathbb{R}$: $x=2$; în $\mathbb{C}$: $x\in \{2,-1+i\sqrt{3},-1-i\sqrt{3}\}$

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+16=0$ și reprezintă soluțiile în planul complex.

Vezi rezolvarea

1. $x^4=-16=16(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $r=16$, $\sqrt[4]{16}=2$, $t=\pi$.
2. $x_k=2(\cos \frac{\pi +2k\pi }{4}+i\sin \frac{\pi +2k\pi }{4})$, $k=0,1,2,3$: argumentele sunt $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$.
3. $x_0=2(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$; analog $x_1=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$, $x_3=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$.
4. În $\mathbb{R}$ nu există soluții ($n=4$ par, $a=-16<0$). Punctele sunt vârfurile unui pătrat înscris în cercul de rază 2.

Răspuns: $x\in \{\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}+i\sqrt{2},-\sqrt{2}-i\sqrt{2},\sqrt{2}-i\sqrt{2}\}$

Exemplul 3. Rezolvă ecuația bipătrată $x^4+3x^2-4=0$ în $\mathbb{R}$ și în $\mathbb{C}$.

Vezi rezolvarea

1. Notezi $y=x^2$: $y^2+3y-4=0$, $\mathrm{\Delta }=9+16=25$, deci $y_1=1$, $y_2=-4$.
2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$.
3. $x^2=-4$: nu are soluții reale; în $\mathbb{C}$, $x=\pm 2i$.
4. Control: $x^4+3x^2-4=(x^2-1)(x^2+4)=(x-1)(x+1)(x-2i)(x+2i)$ — patru rădăcini, cum trebuie pentru gradul 4.

Răspuns: în $\mathbb{R}$: $x\in \{-1,1\}$; în $\mathbb{C}$: $x\in \{-1,1,-2i,2i\}$

Exemplul 4. Determină numerele reale $m$ pentru care ecuația $x^4-4x^2+m=0$ are patru soluții reale distincte.

Vezi rezolvarea

1. Cu $y=x^2$: $y^2-4y+m=0$. Fiecare rădăcină $y>0$ dă două soluții $\pm \sqrt{y}$; o rădăcină $y=0$ dă una singură, iar $y<0$ nu dă soluții reale.
2. Avem nevoie de două rădăcini $y_1\ne y_2$, ambele strict pozitive: $\mathrm{\Delta }=16-4m>0$, $P=y_1{y}_2=m>0$, $S=y_1+y_2=4>0$.
3. $16-4m>0⟺m<4$; împreună cu $m>0$: $m\in (0,4)$.
4. Control la capete: $m=0$ dă $x^2(x^2-4)=0$, doar 3 soluții distincte ($0,\pm 2$); $m=4$ dă $(x^2-2{)}^2=0$, doar 2 ($\pm \sqrt{2}$).

Răspuns: $m\in (0,4)$

Exemplul 5. Rezolvă ecuația reciprocă $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$.

Vezi rezolvarea

1. Coeficienții $1,-5,8,-5,1$ sunt simetrici: ecuația este reciprocă de gradul 4; $x=0$ nu e soluție, deci poți împărți prin $x^2$: $$x^2+\frac{1}{x^2}-5(x+\frac{1}{x})+8=0.$$
2. Cu $y=x+\frac{1}{x}$, $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$: $y^2-5y+6=0$, deci $y=2$ sau $y=3$.
3. $x+\frac{1}{x}=2⟺x^2-2x+1=0⟺x=1$ (rădăcină dublă).
4. $x+\frac{1}{x}=3⟺x^2-3x+1=0⟺x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$. Observă că $\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}=1$: rădăcinile sunt inverse una alteia.

Răspuns: $x\in \{1,\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\}$ ($x=1$ este rădăcină dublă)

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Se consideră polinomul $f=X^5+X^4-5X^3-5X^2+X+1$. Determină rădăcinile lui $f$.

Vezi rezolvarea

1. Coeficienții $1,1,-5,-5,1,1$ sunt simetrici, iar gradul este impar, deci $-1$ este rădăcină: $f(-1)=-1+1+5-5-1+1=0$.
2. Cu schema lui Horner, $f=(X+1)(X^4-5X^2+1)$.
3. $x^4-5x^2+1=0$ este bipătrată (și reciprocă): $y=x^2$, $y^2-5y+1=0$, $y=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$, ambele pozitive.
4. Radicalii se simplifică: ${\left(\frac{\sqrt{7}\pm \sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{10\pm 2\sqrt{21}}{4}=\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}$, deci $x=\pm \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ sau $x=\pm \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$.
5. Control: $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}=\frac{7-3}{4}=1$ — rădăcinile vin în perechi inverse, cum spune proprietatea ecuațiilor reciproce.

Răspuns: $x\in \{-1,\pm \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2},\pm \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}\}$

Greșeli frecvente

• Păstrezi doar soluția reală a unei ecuații binome: dacă enunțul cere rezolvarea în $\mathbb{C}$, $x^3=8$ are trei soluții, nu doar $x=2$.
• Te oprești la $y$: la ecuația bipătrată $y_1,y_2$ sunt valori ale lui $x^2$, nu soluții. Din $y=9$ obții $x=\pm 3$, ambele.
• Scrii $\sqrt{-4}$ în $\mathbb{R}$: o valoare $y<0$ nu dă soluții reale; în $\mathbb{C}$ dă $\pm i\sqrt{-y}$.
• La ecuația reciprocă de grad impar împarți direct prin $x^2$: mai întâi scoți factorul $x+1$; substituția $y=x+\frac{1}{x}$ merge numai la gradul par.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: polinoame, clasa a 12-a (printabilă, cu răspunsuri) și teoria despre polinoame: rădăcini, Viète, schema lui Horner.
• Rădăcinile de ordinul $n$ și formula lui Moivre: numere complexe — forma trigonometrică.
• La Bacalaureat: Bac M1 2020, sesiunea iunie, Subiectul al II-lea, 2.c (ecuația ajunge la $(x^3-1)(x^3-9)=0$, adică două ecuații binome, rezolvat aici) și Simularea Bac M1 2026, Subiectul al II-lea, 2.b (ecuația bipătrată $2x^4+5x^2-7=0$, rezolvat aici).
• Toate subiectele de Bac cu polinoame: polinoame la Bacalaureat — subiecte rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație binomă? Este o ecuație de forma $x^n-a=0$, cu $n\ge 2$ și $a\ne 0$. În mulțimea numerelor complexe are exact $n$ soluții, rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $a$, pe care le afli cu forma trigonometrică și formula lui Moivre.

Cum se rezolvă o ecuație bipătrată? Notezi $y=x^2$, rezolvi ecuația de gradul al doilea în $y$, apoi din fiecare valoare $y$ obții $x=\pm \sqrt{y}$. În $\mathbb{R}$ păstrezi doar valorile $y\ge 0$.

Cum recunosc o ecuație reciprocă? Coeficienții citiți de la stânga la dreapta sunt aceiași ca cei citiți de la dreapta la stânga, de exemplu $2,-3,-3,2$. La grad impar are rădăcina $-1$, iar la gradul 4 folosești substituția $y=x+\frac{1}{x}$.