Morfisme de inele și de corpuri — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un morfism de inele: o funcție între două inele care „respectă” ambele operații și duce unitatea în unitate. Izomorfismele (morfismele bijective) arată că două inele au aceeași structură, așa că proprietățile se pot transfera de la unul la altul. Lecția este în programa M1 (mate-info) și în programa de Bacalaureat M1; la profilul M2 se studiază doar morfismele de grupuri.

Teorie

Definiția morfismului de inele

Fie $(A,+,\cdot )$ și $(A^{\prime },+,\cdot )$ două inele (cu unitate), cu unitățile $1_A$ și $1_{A^{\prime }}$. O funcție $f:A\to A^{\prime }$ se numește morfism de inele dacă, pentru orice $x,y\in A$:

$$\begin{array}{rl}& (1)f(x+y)=f(x)+f(y),\\ & (2)f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y),\\ & (3)f(1_A)=1_{A^{\prime }}.\end{array}$$

Operațiile din membrul stâng sunt cele din $A$, iar cele din membrul drept sunt cele din $A^{\prime }$. Dacă inelele au alte notații, de exemplu $(\mathbb{R},\perp ,\circ )$, condițiile se scriu cu acele legi: $f(x+y)=f(x)\perp f(y)$, $f(xy)=f(x)\circ f(y)$, iar $f(1)$ trebuie să fie elementul neutru al legii $\circ$.

Un morfism de inele bijectiv se numește izomorfism de inele; un izomorfism al unui inel pe el însuși se numește automorfism. Dacă $A$ și $A^{\prime }$ sunt corpuri, un morfism (izomorfism) de inele între ele se numește morfism (izomorfism) de corpuri.

De ce condiția (3)? Funcția nulă $f(x)=0$ verifică (1) și (2), dar nu „păstrează” structura (duce totul în 0). Condiția $f(1_A)=1_{A^{\prime }}$ o exclude.

Proprietăți (cu justificare)

Fie $f:A\to A^{\prime }$ un morfism de inele.

• $f(0_A)=0_{A^{\prime }}$: din $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, adunând opusul lui $f(0)$, obținem $f(0)=0$.
• $f(-x)=-f(x)$ și $f(x-y)=f(x)-f(y)$: $f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0$.
• $f(x^n)=(f(x){)}^n$ și $f(nx)=nf(x)$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (inducție).
• Dacă $x$ este inversabil în $A$, atunci $f(x)$ este inversabil în $A^{\prime }$ și $f(x^{-1})=(f(x){)}^{-1}$: $f(x)f(x^{-1})=f(x{x}^{-1})=f(1_A)=1_{A^{\prime }}$ (la fel în ordinea inversă).
• Compunerea a două morfisme de inele este morfism de inele; inversa unui izomorfism de inele este tot izomorfism de inele.
• Orice morfism de corpuri este injectiv. Dacă $f(x)=f(y)$ cu $x\ne y$, atunci $f(x-y)=0$, iar $x-y\ne 0$ are invers. Rezultă $1=f(1)=f((x-y)(x-y{)}^{-1})=f(x-y)f((x-y{)}^{-1})=0$, contradicție, pentru că într-un corp $1\ne 0$.

Transferul proprietăților prin izomorfism

Dacă $f:A\to A^{\prime }$ este izomorfism, atunci $A$ și $A^{\prime }$ se comportă la fel: $A$ este comutativ ⇔ $A^{\prime }$ este comutativ; $A$ este corp ⇔ $A^{\prime }$ este corp; $x$ este inversabil în $A$ ⇔ $f(x)$ este inversabil în $A^{\prime }$; $x$ este divizor al lui zero ⇔ $f(x)$ este divizor al lui zero. Așa arăți, de exemplu, că o mulțime cu două legi „ciudate” este corp, fără a verifica toate axiomele (exemplul 2).

Exemple importante

Funcția	Ce este
$f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n,f(k)=\hat{k}$	morfism surjectiv de inele
$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},f(z)=\bar{z}$	automorfism al corpului $\mathbb{C}$
$f:\mathbb{Z}[\sqrt{2}]\to \mathbb{Z}[\sqrt{2}],f(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$	automorfism de inele
$f:\mathbb{C}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),f(a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$	morfism injectiv de inele
$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},f(x)=2x$	nu este morfism: $f(1\cdot 1)=2\ne 4=f(1)f(1)$

De reținut

• Morfism de inele: $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$, $f(1)=1$ — toate trei, pentru orice $x,y$.
• Izomorfism = morfism + bijectivitate (injectiv și surjectiv, de exemplu prin găsirea inversei).
• Un morfism duce 0 în 0, opusul în opus, inversul în invers.
• Un morfism de corpuri este întotdeauna injectiv.
• Pe ${\mathbb{Z}}_n$, o funcție dată prin reprezentanți trebuie întâi verificată că este bine definită.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Care dintre funcțiile $f,g,h:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f(x)=2x$, $g(x)=0$, $h(x)=x$, sunt morfisme de inele de la $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ la $(\mathbb{Z},+,\cdot )$?

Vezi rezolvarea

1. $f$ verifică (1), dar $f(1\cdot 1)=2$, iar $f(1)f(1)=4$; în plus $f(1)=2\ne 1$. Nu este morfism.
2. $g$ verifică (1) și (2) ($0=0+0$, $0=0\cdot 0$), dar $g(1)=0\ne 1$. Nu este morfism.
3. $h$ verifică evident toate cele trei condiții: este morfism (chiar automorfism).
4. Observație: orice morfism $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ are $\phi (1)=1$, deci $\phi (n)=n\phi (1)=n$ pentru $n\in \mathbb{N}$ și $\phi (-n)=-n$. Singurul morfism de inele de la $\mathbb{Z}$ la $\mathbb{Z}$ este identitatea.

Răspuns: doar $h$ (identitatea)

Exemplul 2. Pe $\mathbb{R}$ se definesc legile $x\perp y=x+y-3$ și $x\circ y=xy-3x-3y+12$. a) Determinați elementele neutre ale celor două legi. b) Arătați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$, este izomorfism de la $(\mathbb{R},+,\cdot )$ la $(\mathbb{R},\perp ,\circ )$. c) Deduceți că $(\mathbb{R},\perp ,\circ )$ este corp.

Vezi rezolvarea

1. a) $x\perp e=x\iff x+e-3=x\iff e=3$. Pentru $\circ$: $x\circ u=x\iff xu-3x-3u+12=x\iff (x-3)u=4(x-3)$ pentru orice $x$, deci $u=4$.
2. b) $f(x)\perp f(y)=(x+3)+(y+3)-3=x+y+3=f(x+y)$.
3. $f(x)\circ f(y)=(x+3)(y+3)-3(x+3)-3(y+3)+12=xy+3=f(xy)$.
4. $f(1)=4$, adică elementul neutru al legii $\circ$. Deci $f$ este morfism de inele.
5. $f$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(y)=y-3$. Deci $f$ este izomorfism.
6. c) $(\mathbb{R},+,\cdot )$ este corp, iar un izomorfism transferă structura: $(\mathbb{R},\perp ,\circ )$ este corp. (Observă: neutrul lui $\perp$ este $f(0)=3$, cel al lui $\circ$ este $f(1)=4$.)

Răspuns: a) 3 și 4; b) $f$ este izomorfism de inele; c) corp

Exemplul 3. Arătați că $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $f(z)=\bar{z}$, este automorfism al corpului $\mathbb{C}$. Deduceți: dacă $z_0$ este rădăcină a unui polinom cu coeficienți reali, atunci și $\overline{z_0}$ este rădăcină.

Vezi rezolvarea

1. Din proprietățile conjugatului (clasa a X-a): $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$, $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$, $\bar{1}=1$. Deci $f$ este morfism.
2. $f(f(z))=z$, deci $f$ este bijectivă (este propria inversă). Așadar $f$ este automorfism.
3. Fie $p=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu $a_k\in \mathbb{R}$ și $p(z_0)=0$. Aplicând $f$: $0=\overline{p(z_0)}=\overline{a_n}{\overline{z_0}}^n+\cdots +\overline{a_0}=a_n{\overline{z_0}}^n+\cdots +a_0=p(\overline{z_0})$, pentru că $\overline{a_k}=a_k$.

Răspuns: conjugarea este automorfism; rădăcinile nereale ale polinoamelor cu coeficienți reali apar în perechi $z_0,\overline{z_0}$

Exemplul 4. Fie $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ și $f(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$. a) Arătați că $f$ este automorfism al inelului $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$. b) Dacă $(3+2\sqrt{2}{)}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$, cu $a_n,b_n\in \mathbb{Z}$, arătați că $a_n^2-2b_n^2=1$.

Vezi rezolvarea

1. $f$ este bine definită: scrierea $a+b\sqrt{2}$ este unică, pentru că $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.
2. Adunarea: $f((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2}))=(a+c)-(b+d)\sqrt{2}=f(a+b\sqrt{2})+f(c+d\sqrt{2})$.
3. Înmulțirea: $(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}$, deci imaginea este $(ac+2bd)-(ad+bc)\sqrt{2}=(a-b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})$. Și $f(1)=1$.
4. $f\circ f$ este identitatea, deci $f$ este bijectivă: automorfism.
5. b) Morfismul păstrează puterile: $f((3+2\sqrt{2}{)}^n)=(3-2\sqrt{2}{)}^n$, adică $a_n-b_n\sqrt{2}=(3-2\sqrt{2}{)}^n$.
6. Înmulțim: $a_n^2-2b_n^2=(a_n+b_n\sqrt{2})(a_n-b_n\sqrt{2})=((3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}){)}^n=1^n=1$. (Verificare: $n=2$: ${17}^2-2\cdot {12}^2=289-288=1$.)

Răspuns: $a_n^2-2b_n^2=1$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Exemplul 5. Fie $f:\mathbb{C}\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, $f(a+bi)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$. Arătați că $f$ este morfism injectiv de inele și calculați $(f(i){)}^2$.

Vezi rezolvarea

1. Adunarea se verifică direct: $f(z+w)=f(z)+f(w)$ (adunarea matricelor se face element cu element).
2. Pentru $z=a+bi$, $w=c+di$: $zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$. Produsul matricelor: $$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(ad+bc)\\ ad+bc& ac-bd\end{array}\right)=f(zw).$$
3. $f(1)=I_2$. Deci $f$ este morfism de inele.
4. Injectivitate: $f(a+bi)=f(c+di)$ dă $a=c$, $b=d$.
5. $(f(i){)}^2=f(i^2)=f(-1)=-I_2$; direct: ${\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.

Răspuns: $f$ este morfism injectiv; $(f(i){)}^2=-I_2$. Imaginea lui $f$ este un corp izomorf cu $\mathbb{C}$.

Exemplul 6. Notăm cu $\hat{x}$ clasele din ${\mathbb{Z}}_6$ și cu $\bar{x}$ clasele din ${\mathbb{Z}}_3$. a) Arătați că $f:{\mathbb{Z}}_6\to {\mathbb{Z}}_3$, $f(\hat{x})=\bar{x}$, este bine definită și este morfism de inele. Este injectivă? b) Arătați că nu există morfisme de inele $g:{\mathbb{Z}}_3\to \mathbb{Z}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Bine definită: dacă $\hat{x}=\hat{y}$, atunci $6\mid x-y$, deci $3\mid x-y$, adică $\bar{x}=\bar{y}$. Imaginea nu depinde de reprezentant.
2. $f(\hat{x}+\hat{y})=f(\widehat{x+y})=\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y}$; analog pentru produs; $f(\hat{1})=\bar{1}$. Deci $f$ este morfism.
3. $f(\hat{3})=\bar{0}=f(\hat{0})$, deci $f$ nu este injectivă (este surjectivă).
4. b) Dacă $g$ ar fi morfism, $g(\bar{1})=1$ și $0=g(\bar{0})=g(\bar{1}+\bar{1}+\bar{1})=1+1+1=3$, contradicție.

Răspuns: a) morfism, neinjectiv; b) nu există

Greșeli frecvente

• Uiți condiția $f(1)=1$. Funcția nulă păstrează adunarea și înmulțirea, dar nu este morfism de inele. Verifică întotdeauna unitatea, cu unitatea legii din inelul de sosire (în exemplul 2 era 4, nu 1).
• Verifici pe câteva numere. $f(x+y)=f(x)+f(y)$ se demonstrează pentru orice $x,y$, cu calcul literal, nu pentru $x=1,y=2$.
• Izomorfism fără bijectivitate. Pe lângă cele trei condiții trebuie arătat că $f$ este injectivă și surjectivă (de obicei găsind inversa).
• Funcții pe ${\mathbb{Z}}_n$ nedefinite corect. $f:{\mathbb{Z}}_3\to {\mathbb{Z}}_6$, $f(\bar{x})=\hat{x}$, nu este bine definită: $\bar{0}=\bar{3}$, dar $\hat{0}\ne \hat{3}$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: inele și corpuri, clasa a 12-a — exercițiul 16 cere exact verificarea unui morfism între două inele cu legi „noi”, ca în exemplul 2 (cu răspunsuri).
• Teoria inelelor și a corpurilor, plus morfismele de grupuri: structuri algebrice; legile de compoziție: legi de compoziție.
• La Bacalaureat: morfismele de inele sunt în programa M1, dar în variantele oficiale 2020–2026 rezolvate pe site Subiectul al II-lea, problema 2, a fost la M1 o lege de compoziție, fără cerință de morfism de inele. Calculele cu legi „noi” (element neutru, verificarea unei egalități pentru orice $x,y$) le exersezi pe legile de compoziție date la Bac.
• Exemplul 3 continuă în lecția rădăcini întregi și raționale, rădăcini conjugate.

Întrebări frecvente

Ce este un morfism de inele? Este o funcție $f:A\to A^{\prime }$ între două inele care verifică $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ pentru orice $x,y$ și $f(1_A)=1_{A^{\prime }}$. Operațiile din dreapta sunt cele ale inelului $A^{\prime }$.

Care este diferența dintre morfism și izomorfism de inele? Izomorfismul este un morfism bijectiv. Două inele izomorfe au aceeași structură: unul este corp dacă și numai dacă celălalt este corp, au același număr de elemente inversabile etc.

De ce un morfism de corpuri este injectiv? Dacă $f(a)=0$ pentru un $a\ne 0$, atunci $1=f(1)=f(a)f(a^{-1})=0$, imposibil. Deci singurul element dus în 0 este 0, iar din $f(x)=f(y)$ rezultă $f(x-y)=0$, adică $x=y$.