Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți ce este un polinom ireductibil și cum descompui un polinom în produs de factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$; răspunsul depinde de corpul în care lucrezi. Descompunerea îți dă rădăcinile, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două polinoame și rezolvă probleme de divizibilitate. Lecția este în programa de clasa a XII-a la M1 și la M2.

Teorie

Polinom ireductibil

Fie $K$ un corp comutativ. Un polinom $f\in K[X]$ de grad cel puțin 1 se numește ireductibil peste $K$ dacă nu se poate scrie ca produs $f=g\cdot h$ cu $g,h\in K[X]$, ambele de grad cel puțin 1. Altfel, $f$ este reductibil.

• Orice polinom de gradul 1 este ireductibil.
• Ireductibilitatea depinde de corp: $X^2-2$ este ireductibil în $\mathbb{Q}[X]$, dar $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$ în $\mathbb{R}[X]$; $X^2+1$ este ireductibil în $\mathbb{R}[X]$, dar $X^2+1=(X-i)(X+i)$ în $\mathbb{C}[X]$.

Criteriul pentru gradele 2 și 3

Un polinom de gradul 2 sau 3 din $K[X]$ este ireductibil dacă și numai dacă nu are rădăcini în $K$. De ce? Dacă $f=gh$ cu grade cel puțin 1 și suma gradelor 2 sau 3, unul dintre factori are gradul 1, $\alpha X+\beta$, deci $-\frac{\beta }{\alpha }\in K$ este rădăcină. Invers, dacă $f(a)=0$, atunci $X-a\mid f$ (Bézout).

Atenție: de la gradul 4 criteriul nu mai funcționează. $X^4+4$ nu are rădăcini reale, dar $X^4+4=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$ (exemplul 3).

Teorema de descompunere

Orice polinom de grad cel puțin 1 din $K[X]$ se scrie ca produs de polinoame ireductibile peste $K$; scrierea este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor și de constante nenule. Cum arată factorii ireductibili:

Corpul	Polinoamele ireductibile
$\mathbb{C}$	doar cele de gradul 1 (teorema fundamentală a algebrei): $f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n)$
$\mathbb{R}$	cele de gradul 1 și cele de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }<0$
$\mathbb{Q}$	există de orice grad (de exemplu $X^n-2$); pentru gradele 2 și 3 verifici rădăcinile raționale
${\mathbb{Z}}_p$	pentru gradele 2 și 3 încerci toate cele $p$ elemente ca rădăcini

De ce peste $\mathbb{R}$ rămân și factori de gradul 2? Rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali vin în perechi $z,\bar{z}$, iar $(X-z)(X-\bar{z})=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+|z{|}^2$ are coeficienți reali și $\mathrm{\Delta }<0$.

Metode de descompunere

1. Factor comun: $X^4+2X^3=X^3(X+2)$.
2. Formule de calcul prescurtat: $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$, pătratul unei sume.
3. Rădăcini: ghicești o rădăcină $a$ (de exemplu printre divizorii termenului liber), împarți la $X-a$ cu schema lui Horner și continui cu câtul.
4. Substituție: $X^4-X^2-6$ devine $Y^2-Y-6$ cu $Y=X^2$.
5. Gradul 2 rămas: $\mathrm{\Delta }\ge 0$ dă doi factori reali; $\mathrm{\Delta }<0$ dă un factor ireductibil peste $\mathbb{R}$ și doi factori de gradul 1 peste $\mathbb{C}$.

C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două polinoame

Le alegem monice (coeficientul dominant 1). Din descompunerile în factori ireductibili: c.m.m.d.c. = produsul factorilor comuni, fiecare la cea mai mică putere; c.m.m.m.c. = produsul tuturor factorilor, fiecare la cea mai mare putere. Pentru $f,g$ monice, $f\cdot g=(f,g)\cdot [f,g]$. C.m.m.d.c. se poate afla și fără descompunere, cu algoritmul lui Euclid (împărțiri succesive, ca la numere).

De reținut

• Spune întotdeauna peste ce corp descompui: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$.
• Gradul 2 sau 3: ireductibil ⇔ fără rădăcini în corp. Gradul 4 fără rădăcini poate fi reductibil.
• Peste $\mathbb{C}$ totul se descompune în factori de gradul 1; peste $\mathbb{R}$ rămân și factori de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }<0$.
• Descompunerea dă imediat rădăcinile, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Descompuneți $f=X^4-X^2-6$ în factori ireductibili peste $\mathbb{Q}$, peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Vezi rezolvarea

1. Cu $Y=X^2$: $Y^2-Y-6=(Y-3)(Y+2)$, deci $f=(X^2-3)(X^2+2)$.
2. Peste $\mathbb{Q}$: $X^2-3$ și $X^2+2$ nu au rădăcini raționale ($\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$), deci sunt ireductibile.
3. Peste $\mathbb{R}$: $X^2-3=(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3})$, iar $X^2+2$ are $\mathrm{\Delta }=-8<0$, ireductibil.
4. Peste $\mathbb{C}$: $X^2+2=(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})$.

Răspuns: $\mathbb{Q}$: $(X^2-3)(X^2+2)$;
$\mathbb{R}$: $(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3})(X^2+2)$;
$\mathbb{C}$: $(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3})(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})$

Exemplul 2. Descompuneți $f=X^3-8$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Vezi rezolvarea

1. Diferența de cuburi: $X^3-8=(X-2)(X^2+2X+4)$.
2. $X^2+2X+4$ are $\mathrm{\Delta }=4-16=-12<0$: ireductibil peste $\mathbb{R}$.
3. Peste $\mathbb{C}$: rădăcinile sunt $\frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$.

Răspuns: $\mathbb{R}$: $(X-2)(X^2+2X+4)$;
$\mathbb{C}$: $(X-2)(X+1-i\sqrt{3})(X+1+i\sqrt{3})$

Exemplul 3. Arătați că $f=X^4+4$ nu are rădăcini reale, dar este reductibil în $\mathbb{Q}[X]$. Descompuneți-l peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Vezi rezolvarea

1. $x^4+4\ge 4>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$: nicio rădăcină reală.
2. Completăm pătratul: $X^4+4=(X^4+4X^2+4)-4X^2=(X^2+2{)}^2-(2X{)}^2=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$.
3. Ambii factori au $\mathrm{\Delta }=4-8=-4<0$: ireductibili peste $\mathbb{R}$ (deci și peste $\mathbb{Q}$).
4. Peste $\mathbb{C}$: $X^2-2X+2$ are rădăcinile $1\pm i$, iar $X^2+2X+2$ are rădăcinile $-1\pm i$.

Răspuns: $\mathbb{Q}$ și $\mathbb{R}$: $(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$;
$\mathbb{C}$: $(X-1-i)(X-1+i)$ $\cdot (X+1-i)(X+1+i)$

Exemplul 4. Descompuneți în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ polinomul $f=X^3-2X^2-5X+6$.

Vezi rezolvarea

1. Căutăm o rădăcină printre divizorii lui 6: $f(1)=1-2-5+6=0$.
2. Schema lui Horner cu 1 (coeficienții 1, −2, −5, 6): $1,-1,-6$, rest 0. Câtul: $X^2-X-6$.
3. $X^2-X-6=(X-3)(X+2)$.

Răspuns: $f=(X-1)(X-3)(X+2)$

Exemplul 5. a) Este $X^2+\hat{1}$ ireductibil în ${\mathbb{Z}}_3[X]$? Dar în ${\mathbb{Z}}_5[X]$? b) Arătați că $X^3+\hat{2}X+\hat{1}$ este ireductibil în ${\mathbb{Z}}_3[X]$.

Vezi rezolvarea

1. a) În ${\mathbb{Z}}_3$: ${\hat{0}}^2+\hat{1}=\hat{1}$, ${\hat{1}}^2+\hat{1}=\hat{2}$, ${\hat{2}}^2+\hat{1}=\hat{5}=\hat{2}$. Nicio rădăcină, gradul 2: ireductibil.
2. În ${\mathbb{Z}}_5$: ${\hat{2}}^2+\hat{1}=\hat{5}=\hat{0}$ și ${\hat{3}}^2+\hat{1}=\widehat{10}=\hat{0}$. Deci $X^2+\hat{1}=(X-\hat{2})(X-\hat{3})=(X+\hat{3})(X+\hat{2})$: reductibil.
3. b) $f(\hat{0})=\hat{1}$, $f(\hat{1})=\hat{4}=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\widehat{8+4+1}=\widehat{13}=\hat{1}$. Nicio rădăcină, gradul 3: ireductibil.

Răspuns: a) ireductibil în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, reductibil în ${\mathbb{Z}}_5[X]$; b) ireductibil

Exemplul 6. Determinați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. ale polinoamelor $f=X^3-X$ și $g=X^3-2X^2+X$ din $\mathbb{R}[X]$.

Vezi rezolvarea

1. $f=X(X^2-1)=X(X-1)(X+1)$; $g=X(X^2-2X+1)=X(X-1{)}^2$.
2. Factori comuni la puterea cea mai mică: $X$ și $X-1$. Deci $(f,g)=X(X-1)=X^2-X$.
3. Toți factorii la puterea cea mai mare: $[f,g]=X(X-1{)}^2(X+1)=X^4-X^3-X^2+X$.
4. Verificare: $(f,g)\cdot [f,g]=X^2(X-1{)}^3(X+1)=f\cdot g$.

Răspuns: $(f,g)=X^2-X$, $[f,g]=X^4-X^3-X^2+X$

Greșeli frecvente

• „Nu are rădăcini, deci e ireductibil” la gradul 4. Criteriul este valabil doar pentru gradele 2 și 3; $X^4+4$ și $X^4+1=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$ nu au rădăcini reale, dar se descompun peste $\mathbb{R}$.
• Nu precizezi corpul. „$X^2-2$ este ireductibil” este adevărat în $\mathbb{Q}[X]$ și fals în $\mathbb{R}[X]$.
• Te oprești prea devreme peste $\mathbb{C}$. $(X-2)(X^2+2X+4)$ este descompunerea peste $\mathbb{R}$; peste $\mathbb{C}$ factorul de gradul 2 se mai descompune.
• Factori de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }\ge 0$ lăsați nedescompuși. $X^2-X-6$ nu este ireductibil peste $\mathbb{Q}$: $(X-3)(X+2)$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: polinoame, clasa a 12-a — exercițiile 8, 12 și 18 (descompunere după o rădăcină cunoscută, divizibilitate cu un polinom de gradul 2, descompunere în ${\mathbb{Z}}_7[X]$), cu răspunsuri.
• La Bacalaureat: Bac M1 2023, sesiunea august, Subiectul II.2 b) (rădăcinile lui $X^4+2X^3-8X^2$, prin descompunere: $X^2(X-2)(X+4)$, rezolvat aici) și Bac M1 2024, sesiunea august, Subiectul II.2 b) (rădăcinile lui $X^3+2X^2+X=X(X+1{)}^2$, rezolvat aici). Toate cerințele: polinoame la Bacalaureat.
• Instrumentele folosite: schema lui Horner, rădăcini întregi și raționale, ecuația de gradul al doilea, numere complexe; teoria generală: polinoame.

Întrebări frecvente

Ce este un polinom ireductibil? Un polinom de grad cel puțin 1 care nu se poate scrie ca produs a două polinoame de grad cel puțin 1 cu coeficienți în același corp. De exemplu, $X^2+1$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar nu și peste $\mathbb{C}$.

Cum descompun un polinom în factori ireductibili peste R? Cauți rădăcini reale (divizorii termenului liber, schema lui Horner), împarți succesiv la $X-a$ și te oprești la factori de gradul 1 sau de gradul 2 cu $\mathrm{\Delta }<0$. Poți folosi și factorul comun, formulele de calcul prescurtat sau substituția $Y=X^2$.

Un polinom fără rădăcini este ireductibil? Doar dacă are gradul 2 sau 3. De la gradul 4 nu: $X^4+4$ nu are rădăcini reale, dar este egal cu $(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$.