Schema lui Horner — lecție clasa a 12-a: teorie, exemple, exerciții

Schema lui Horner este metoda rapidă de a împărți un polinom la $X-a$: obții câtul și restul dintr-un tabel cu o singură linie de calcule, iar restul este chiar $f(a)$. O folosești ca să afli restul unei împărțiri, să verifici dacă $a$ este rădăcină, să găsești celelalte rădăcini și ordinul de multiplicitate. Lecția este în programa de clasa a XII-a la M1 și la M2 și apare des la Bacalaureat, Subiectul al II-lea.

Teorie

Împărțirea cu $X-a$ și teorema restului

Fie $K$ un corp ($\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$, $p$ prim), $f\in K[X]$ de grad $n\ge 1$ și $a\in K$. Din teorema împărțirii cu rest există unice $q,r\in K[X]$ cu

$$f=(X-a)q+r,\mathrm{grad}r<1,$$

deci $r$ este o constantă, iar $\mathrm{grad}q=n-1$. Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $r=f(a)$. De ce? Înlocuim $X$ cu $a$: $f(a)=(a-a)q(a)+r=r$.

Cum se obțin coeficienții câtului

Fie $f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ și $q=b_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_0$. Desfacem $(X-a)q+r$ și identificăm coeficienții cu ai lui $f$:

$$\begin{array}{rl}{b}_{n-1}& =a_n,\\ b_{k-1}& =a\cdot b_k+a_k,k=n-1,\dots ,1,\\ r& =a\cdot b_0+a_0.\end{array}$$

Regula pe scurt: cobori primul coeficient; apoi, pe rând, înmulțești ultimul număr obținut cu $a$ și aduni coeficientul următor. Ultimul număr este restul.

Tabelul lui Horner

Pe primul rând scrii toți coeficienții lui $f$, de la gradul cel mai mare la termenul liber, inclusiv zerourile pentru puterile lipsă. Pe al doilea rând, în stânga, scrii $a$. Exemplu: $f=2X^3-3X^2+4X-5$ împărțit la $X-2$:

	$X^3$	$X^2$	$X^1$	$X^0$
coeficienții lui $f$	2	−3	4	−5
$a=2$	2	1	6	7

Calculele de pe rândul al doilea: cobori 2; $2\cdot 2+(-3)=1$; $2\cdot 1+4=6$; $2\cdot 6+(-5)=7$.

Pe al doilea rând citești câtul $q=2X^2+X+6$ (un grad mai mic) și restul $r=7$. Verificare: $f(2)=16-12+8-5=7$.

Împărțirea la $aX+b$

Scrii $aX+b=a(X+\frac{b}{a})$. Faci schema lui Horner cu $-\frac{b}{a}$ și obții $f=(X+\frac{b}{a})q_1+r$. Atunci $f=(aX+b)\cdot \frac{q_1}{a}+r$: câtul este $\frac{q_1}{a}$, restul rămâne $r$.

Schema repetată: ordinul de multiplicitate

Dacă restul este 0, $a$ este rădăcină și $f=(X-a)q$ (teorema lui Bézout). Aplici din nou schema lui $q$ cu același $a$: dacă iar obții rest 0, $(X-a{)}^2\mid f$, și așa mai departe. Numărul de resturi nule consecutive este ordinul de multiplicitate al rădăcinii $a$. De exemplu, pentru $f=X^4-X^3-3X^2+5X-2$ și $a=1$ obții de trei ori restul 0 și apoi câtul $X+2$, deci $f=(X-1{)}^3(X+2)$.

De reținut

• Restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; $X-a\mid f\iff f(a)=0$.
• La $X+2$ folosești $a=-2$ (pentru că $X+2=X-(-2)$).
• Scrie 0 pentru fiecare putere lipsă a lui $X$.
• La împărțirea la $aX+b$, câtul din schemă se împarte la $a$; restul nu se schimbă.
• Schema funcționează în orice corp, inclusiv ${\mathbb{Z}}_p$ (calculezi modulo $p$).

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f=X^4-3X^2+X+4$ la $g=X+2$.

Vezi rezolvarea

1. $X+2=X-(-2)$, deci $a=-2$. Coeficienții lui $f$, cu 0 pentru $X^3$: 1, 0, −3, 1, 4.
2. Schema: $1$; $(-2)\cdot 1+0=-2$; $(-2)(-2)-3=1$; $(-2)\cdot 1+1=-1$; $(-2)(-1)+4=6$.
3. Câtul are gradul 3: $q=X^3-2X^2+X-1$, restul $r=6$. Verificare: $f(-2)=16-12-2+4=6$.

Răspuns: $q=X^3-2X^2+X-1$, $r=6$

Exemplul 2. Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f=X^3+m{X}^2-5X+6$ este divizibil cu $X-3$, apoi aflați rădăcinile lui $f$.

Vezi rezolvarea

1. Teorema lui Bézout: $f(3)=0\iff 27+9m-15+6=0\iff 9m=-18\iff m=-2$.
2. Pentru $f=X^3-2X^2-5X+6$, schema cu $a=3$: $1$; $3-2=1$; $3-5=-2$; $-6+6=0$. Câtul: $X^2+X-2$.
3. $X^2+X-2=(X-1)(X+2)$, deci $f=(X-3)(X-1)(X+2)$.

Răspuns: $m=-2$; rădăcinile sunt $3,1,-2$

Exemplul 3. Determinați câtul și restul împărțirii lui $f=4X^3-2X^2+6X+1$ la $2X-1$.

Vezi rezolvarea

1. $2X-1=2(X-\frac{1}{2})$. Schema cu $a=\frac{1}{2}$: $4$; $\frac{1}{2}\cdot 4-2=0$; $\frac{1}{2}\cdot 0+6=6$; $\frac{1}{2}\cdot 6+1=4$.
2. Deci $f=(X-\frac{1}{2})(4X^2+6)+4=(2X-1)(2X^2+3)+4$.
3. Câtul la $2X-1$ este $\frac{4X^2+6}{2}=2X^2+3$; restul rămâne 4. Verificare: $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+3+1=4$.

Răspuns: $q=2X^2+3$, $r=4$

Exemplul 4. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, determinați câtul și restul împărțirii lui $f=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{4}$ la $X+\hat{1}$.

Vezi rezolvarea

1. În ${\mathbb{Z}}_5$, $X+\hat{1}=X-\hat{4}$, deci $a=\hat{4}$. Coeficienții: $\hat{1},\hat{3},\hat{0},\hat{4}$.
2. Schema (modulo 5): $\hat{1}$; $\hat{4}\cdot \hat{1}+\hat{3}=\hat{7}=\hat{2}$; $\hat{4}\cdot \hat{2}+\hat{0}=\hat{8}=\hat{3}$; $\hat{4}\cdot \hat{3}+\hat{4}=\widehat{16}=\hat{1}$.
3. Câtul $q=X^2+\hat{2}X+\hat{3}$, restul $\hat{1}$. Verificare: $f(\hat{4})=\widehat{64+48+4}=\widehat{116}=\hat{1}$.

Răspuns: $q=X^2+\hat{2}X+\hat{3}$, $r=\hat{1}$

Exemplul 5. Arătați că $a=1$ este rădăcină a polinomului $f=X^4-X^3-3X^2+5X-2$ și determinați ordinul ei de multiplicitate.

Vezi rezolvarea

1. Prima schemă cu $a=1$ (coeficienții 1, −1, −3, 5, −2): $1,0,-3,2$ și restul $0$. Deci $f=(X-1)(X^3-3X+2)$.
2. A doua schemă, pentru $X^3+0X^2-3X+2$: $1,1,-2$ și restul $0$. Deci $f=(X-1{)}^2(X^2+X-2)$.
3. A treia schemă, pentru $X^2+X-2$: $1,2$ și restul $0$. Deci $f=(X-1{)}^3(X+2)$.
4. A patra schemă, pentru $X+2$: restul $1+2=3\ne 0$. Ne oprim.

Răspuns: 1 este rădăcină triplă; $f=(X-1{)}^3(X+2)$

Exemplul 6 (tip Bac). Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care polinomul $f=X^3+aX+b$ este divizibil cu $(X-1{)}^2$.

Vezi rezolvarea

1. Schema cu 1 pentru coeficienții $1,0,a,b$: $1$; $1$; $1+a$; restul $1+a+b$. Condiția $X-1\mid f$: $1+a+b=0$.
2. Câtul este $X^2+X+(1+a)$. Schema cu 1 pentru el: $1$; $2$; restul $3+a$. Condiția $X-1\mid q$: $a=-3$.
3. Din $1+a+b=0$: $b=2$. Verificare: $X^3-3X+2=(X-1{)}^2(X+2)$.

Răspuns: $a=-3$, $b=2$

Greșeli frecvente

• Lipsesc zerourile. Pentru $X^4-3X^2+X+4$ primul rând este 1, 0, −3, 1, 4, nu 1, −3, 1, 4. Fără 0 obții alt polinom.
• Semnul lui $a$. La împărțirea la $X+2$ se lucrează cu $a=-2$, nu cu 2.
• Împărțirea la $2X-1$. Schema cu $\frac{1}{2}$ dă câtul la $X-\frac{1}{2}$; câtul la $2X-1$ se obține împărțind la 2. Restul nu se împarte.
• Restul citit greșit. Ultimul număr din rândul al doilea este restul, nu termenul liber al câtului; câtul are cu un coeficient mai puțin decât $f$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: polinoame, clasa a 12-a — exercițiile 3, 4, 5 și 8 (teorema restului, schema lui Horner, divizibilitate, rădăcinile după o rădăcină cunoscută), cu răspunsuri.
• La Bacalaureat: Bac M1 2026, sesiunea august, Subiectul II.2 b) ($f=X^3+X^2+aX+8$ divizibil cu $X+2$, rezolvat aici) și Bac M1 2025, sesiunea august, Subiectul II.2 c) (restul împărțirii la $X-a$ egal cu $a$, rezolvat aici). Toate cerințele: polinoame la Bacalaureat.
• Teoria completă: polinoame — împărțire, rădăcini, relațiile lui Viète; mai departe: descompunerea polinoamelor în factori ireductibili și rădăcini întregi și raționale.

Întrebări frecvente

Cum se face schema lui Horner? Scrii coeficienții polinomului (cu 0 pentru puterile lipsă), cobori primul coeficient, apoi înmulțești pe rând ultimul rezultat cu $a$ și aduni coeficientul următor. Numerele obținute sunt coeficienții câtului, iar ultimul este restul.

Ce reprezintă ultimul număr din schema lui Horner? Este restul împărțirii lui $f$ la $X-a$, adică $f(a)$. Dacă este 0, $a$ este rădăcină a lui $f$.

Pot folosi schema lui Horner la împărțirea cu $2X-1$? Da: faci schema cu $a=\frac{1}{2}$, apoi împarți câtul obținut la 2. Restul rămâne același. La împărțirea cu un polinom de grad 2 sau mai mare folosești împărțirea obișnuită.