Sisteme de ecuații de gradul al II-lea — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție rezolvi sisteme de două ecuații cu două necunoscute în care apare cel puțin o ecuație de gradul al doilea: sisteme cu o ecuație de gradul I și una de gradul al II-lea, sisteme simetrice (cu suma și produsul) și sisteme omogene. Metoda de bază este substituția; geometric, un astfel de sistem îți spune în câte puncte se intersectează o dreaptă cu o parabolă — temă care apare la Bacalaureat, în Subiectul I.

Teorie

A rezolva un sistem înseamnă a găsi toate perechile $(x,y)$ care verifică simultan ambele ecuații: între ecuațiile unui sistem este conjuncția „și”. Când o ecuație se descompune, de exemplu $(x-y)(x-2y)=0$, obții „$x=y$ sau $x=2y$”: sistemul se desparte în două sisteme, iar mulțimea soluțiilor este reuniunea soluțiilor lor.

1. O ecuație de gradul I și una de gradul al II-lea

Din ecuația de gradul I exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă și o înlocuiești în ecuația de gradul al II-lea (metoda substituției). Obții o ecuație de gradul al II-lea cu o singură necunoscută, pe care o rezolvi cu $\mathrm{\Delta }$; pentru fiecare rădăcină afli și cealaltă necunoscută.

2. Interpretarea geometrică: dreaptă și parabolă

Sistemul $\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ y=a{x}^2+bx+c\end{array}$ ($a\ne 0$) are ca soluții coordonatele punctelor comune ale dreptei și parabolei. Prin egalare obții

$$a{x}^2+(b-m)x+(c-n)=0.$$

Discriminantul ecuației	Soluții ale sistemului	Poziția dreptei față de parabolă
$\mathrm{\Delta }>0$	două	dreapta este secantă (taie parabola în două puncte)
$\mathrm{\Delta }=0$	una	dreapta este tangentă la parabolă
$\mathrm{\Delta }<0$	niciuna	dreapta este exterioară parabolei

3. Sisteme simetrice

Un sistem este simetric dacă nu se schimbă când înlocuiești $x$ cu $y$ și $y$ cu $x$. Se notează $s=x+y$ și $p=xy$ și se folosesc identitățile

$$x^2+y^2=s^2-2p,x^3+y^3=s^3-3sp.$$

După ce afli $s$ și $p$, numerele $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației (relațiile lui Viète)

$$t^2-st+p=0,$$

care are rădăcini reale doar dacă $s^2-4p\ge 0$. Dacă rădăcinile sunt $t_1\ne t_2$, sistemul are soluțiile $(t_1,t_2)$ și $(t_2,t_1)$ — nu uita perechea inversată.

4. Sisteme omogene

Un sistem de forma $\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\end{array}$ are în membrul stâng doar termeni de gradul al doilea (expresii omogene). Metoda:

1. Dacă unul dintre termenii liberi este 0, ecuația aceea este deja omogenă. Altfel, înmulțești prima ecuație cu $d_2$, a doua cu $d_1$ și le scazi: obții o ecuație omogenă egală cu 0.
2. Verifici separat cazul $y=0$; pentru $y\ne 0$ împarți ecuația omogenă la $y^2$ și notezi $k=\frac{x}{y}$: obții o ecuație de gradul al II-lea în $k$ (sau descompui direct în factori).
3. Pentru fiecare valoare $k$ înlocuiești $x=ky$ într-una dintre ecuațiile inițiale.

De reținut

• Metoda de bază: substituția (directă sau după o prelucrare).
• Dreaptă–parabolă: semnul lui $\mathrm{\Delta }$ dă numărul de puncte comune; $\mathrm{\Delta }=0$ înseamnă tangență.
• Simetric: $s=x+y$, $p=xy$, apoi $t^2-st+p=0$, cu condiția $s^2-4p\ge 0$.
• Omogen: obții o ecuație cu termenul liber 0 și notezi $x=ky$.
• Verifică soluțiile în ambele ecuații ale sistemului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x^2+y^2=25\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Din prima ecuație: $y=x-1$.
2. Înlocuim: $x^2+(x-1{)}^2=25$ $⟺2x^2-2x-24=0$ $⟺x^2-x-12=0$.
3. $\mathrm{\Delta }=1+48=49$, deci $x_1=\frac{1+7}{2}=4$, $x_2=\frac{1-7}{2}=-3$.
4. $x=4\Rightarrow y=3$; $x=-3\Rightarrow y=-4$. Verificare: $16+9=25$, $9+16=25$.

Răspuns: $S=\{(4,3),(-3,-4)\}$

Exemplul 2 (dreaptă și parabolă). Determină numerele reale $m$ pentru care dreapta $y=2x+m$ intersectează parabola $y=x^2-2x+3$ în două puncte distincte. Pentru ce valoare a lui $m$ dreapta este tangentă la parabolă și care este punctul de tangență?

Vezi rezolvarea

1. Abscisele punctelor comune verifică $x^2-2x+3=2x+m$ $⟺x^2-4x+3-m=0$.
2. $\mathrm{\Delta }=16-4(3-m)=4+4m$.
3. Două puncte distincte: $\mathrm{\Delta }>0⟺4+4m>0$ $⟺m>-1$.
4. Tangență: $\mathrm{\Delta }=0⟺m=-1$. Ecuația devine $x^2-4x+4=0$, cu rădăcina dublă $x=2$, iar $y=2\cdot 2-1=3$ (vezi figura).

Răspuns: $m\in (-1,+\mathrm{\infty })$; pentru $m=-1$ dreapta este tangentă în $T(2,3)$

Exemplul 3 (problemă). Un dreptunghi are perimetrul 34 cm și diagonala 13 cm. Află lungimile laturilor.

Vezi rezolvarea

1. Notăm laturile cu $x$ și $y$ (cm). Din perimetru: $x+y=17$; din teorema lui Pitagora: $x^2+y^2=169$. Sistemul este simetric.
2. $s=17$, iar $x^2+y^2=s^2-2p\Rightarrow 169$ $=289-2p\Rightarrow p=60$.
3. $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-17t+60=0$: $\mathrm{\Delta }=289-240=49$, $t_1=12$, $t_2=5$.
4. Verificare: $2(12+5)=34$, $144+25=169$.

Răspuns: laturile au 12 cm și 5 cm

Exemplul 4 (sistem simetric). Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ x+y+xy=7\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Cu $s=x+y$, $p=xy$: $s^2-2p=10$ și $s+p=7$.
2. Din a doua, $p=7-s$; înlocuim: $s^2-14+2s=10⟺s^2+2s-24$ $=0$, cu $s_1=4$, $s_2=-6$.
3. $s=4$, $p=3$: $t^2-4t+3=0$, rădăcinile 1 și 3, deci $(1,3)$ și $(3,1)$.
4. $s=-6$, $p=13$: $s^2-4p=36-52<0$, deci nu există $x,y$ reale.

Răspuns: $S=\{(1,3),(3,1)\}$

Exemplul 5 (sistem omogen). Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}{x}^2-3xy+2y^2=0\\ x^2+y^2=20\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Prima ecuație este omogenă și se descompune: $x^2-3xy+2y^2=(x-y)(x-2y)$, deci $x=y$ sau $x=2y$.
2. $x=y$: $2y^2=20\Rightarrow y=\pm \sqrt{10}$, deci $(\sqrt{10},\sqrt{10})$ și $(-\sqrt{10},-\sqrt{10})$.
3. $x=2y$: $5y^2=20\Rightarrow y=\pm 2$, deci $(4,2)$ și $(-4,-2)$.

Răspuns: $S=\{(\sqrt{10},\sqrt{10}),$ $(-\sqrt{10},-\sqrt{10}),$ $(4,2),(-4,-2)\}$

Exemplul 6 (nivel Bacalaureat). Rezolvă în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}{x}^2-xy+y^2=7\\ x^2-2xy=3\end{array}$.

Vezi rezolvarea

1. Membrii stângi sunt omogeni de gradul al doilea. Înmulțim prima ecuație cu 3, a doua cu 7 și scădem: $$\begin{array}{rl}3(x^2-xy+y^2)-7(x^2-2xy)& =0\\ -4x^2+11xy+3y^2& =0\\ 4x^2-11xy-3y^2& =0.\end{array}$$
2. Pentru $y=0$ ar rezulta $x=0$, care nu verifică $x^2-2xy=3$. Deci $y\ne 0$; cu $x=ky$: $4k^2-11k-3=0$, $\mathrm{\Delta }=121+48=169$, $k_1=3$, $k_2=-\frac{1}{4}$. Altfel scris: $(x-3y)(4x+y)=0$.
3. $x=3y$: în a doua ecuație $9y^2-6y^2=3y^2=3$, deci $y=\pm 1$; obținem $(3,1)$ și $(-3,-1)$.
4. $x=-\frac{y}{4}$: $\frac{y^2}{16}+\frac{y^2}{2}$ $=\frac{9y^2}{16}=3$, deci $y^2=\frac{16}{3}$ și $y=\pm \frac{4\sqrt{3}}{3}$, iar $x=\mp \frac{\sqrt{3}}{3}$.
5. Verificare pentru $(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{4\sqrt{3}}{3})$: $\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+\frac{16}{3}=7$ și $\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3$.

Răspuns: $S=\{(3,1),(-3,-1),$ $(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{4\sqrt{3}}{3}),$ $(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3})\}$

Greșeli frecvente

• Uiți perechea inversată la sistemele simetrice: dacă $t^2-5t+6=0$ are rădăcinile 2 și 3, sistemul are două soluții, $(2,3)$ și $(3,2)$, nu una singură.
• Nu verifici condiția $s^2-4p\ge 0$: pentru $x+y=2$, $xy=5$ ecuația $t^2-2t+5=0$ are $\mathrm{\Delta }=-16<0$, deci sistemul nu are soluții reale.
• Împarți la $y$ fără să verifici $y=0$: la sistemele omogene cazul $y=0$ se tratează separat, altfel poți pierde soluții.
• Afli doar $x$: soluția unui sistem este o pereche $(x,y)$; după ce găsești $x$, calculezi $y$ corespunzător din ecuația de gradul I, nu din cea de gradul al II-lea (care ți-ar da și valori false).

Verifică-te

Exersează

• La Bacalaureat M1: Simularea Bac M1 2026, Subiectul I, ex. 2 (graficele funcțiilor $f(x)=2x-1$ și $g(x)=x^2-4x+m$ au exact un punct comun, rezolvat aici) și Simularea Bac M1 2023, Subiectul I, ex. 2 (aceeași idee, cu $f(x)=3x+1$ și $g(x)=x^2+x+m$, rezolvat aici). Tema este în programa de Bac atât la M1, cât și la M2 (sistemele cu suma și produsul și poziția unei drepte față de o parabolă).
• Ecuația de gradul al II-lea și relațiile lui Viète, pe care le folosești aici: fișă de lucru: ecuația de gradul 2, Viète, inecuații și ecuația de gradul 2 — exerciții rezolvate.
• Parabola și vârful ei: funcția de gradul al II-lea.
• Recapitulare sisteme liniare (substituție, reducere) și sistemul sumă–produs: sisteme de ecuații.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă un sistem cu o ecuație de gradul I și una de gradul al II-lea? Prin substituție: scoți o necunoscută din ecuația de gradul I, o înlocuiești în cealaltă, rezolvi ecuația de gradul al II-lea obținută și calculezi apoi cealaltă necunoscută pentru fiecare rădăcină.

Ce este un sistem simetric? Un sistem care rămâne același dacă schimbi $x$ cu $y$. Se rezolvă cu notațiile $s=x+y$, $p=xy$; apoi $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-st+p=0$.

Când este o dreaptă tangentă la o parabolă? Când sistemul format din ecuațiile lor are o singură soluție, adică ecuația de gradul al II-lea obținută prin egalare are discriminantul $\mathrm{\Delta }=0$.