Funcția putere cu exponent întreg — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție studiezi funcția putere $f(x)=x^n$ cu exponent întreg: domeniul, paritatea, monotonia, injectivitatea și graficul, separat pentru exponent par, impar și negativ. Proprietățile ei îți permit să compari puteri, să rezolvi ecuații ca $x^5=-32$ și inecuații ca $x^4\le 16$ și stau la baza funcției radical, lecția următoare.

Teorie

Definiție și domeniu

Pentru $n\in \mathbb{Z}$, funcția putere este $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$, unde:

• pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $D=\mathbb{R}$ și $x^n=x\cdot x\cdot \dots \cdot x$ ($n$ factori);
• pentru $n=0$: $D={\mathbb{R}}^{\ast }$, $x^0=1$ (expresia $0^0$ nu are sens);
• pentru $n=-k$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $D={\mathbb{R}}^{\ast }$ și $x^{-k}=\frac{1}{x^k}$.

Pentru $n=1$ obții funcția identică, pentru $n=2$ parabola $y=x^2$, pentru $n=-1$ funcția $y=\frac{1}{x}$ (graficul este o hiperbolă).

Paritate

Domeniul este simetric față de 0 și $(-x{)}^n=(-1{)}^n{x}^n$. Deci:

• $n$ par ⇒ $f$ este pară: $f(-x)=f(x)$, graficul este simetric față de axa $Oy$;
• $n$ impar ⇒ $f$ este impară: $f(-x)=-f(x)$, graficul este simetric față de origine.

Monotonie (exponent natural)

Teoremă. Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, funcția $x^n$ este strict crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$.

Demonstrație. Fie $0\le x_1<x_2$. Folosim formula de la progresii

$$x_2^n-x_1^n=(x_2-x_1)(x_2^{n-1}+x_2^{n-2}{x}_1+\dots +x_1^{n-1}).$$

Primul factor este pozitiv, iar al doilea este o sumă de termeni nenegativi în care $x_2^{n-1}>0$; deci $x_2^n>x_1^n$. ∎

Pe $(-\mathrm{\infty },0]$ folosim paritatea: pentru $n$ impar funcția este impară, deci tot strict crescătoare; pentru $n$ par este pară, deci strict descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$.

$f(x)=x^n$	$n\ge 1$ impar	$n\ge 2$ par
paritate	impară	pară
monotonie	strict crescătoare pe $\mathbb{R}$	strict descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0]$, strict crescătoare pe $[0,+\mathrm{\infty })$
imaginea	$\mathbb{R}$	$[0,+\mathrm{\infty })$
injectivitate	injectivă, chiar bijectivă $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$	nu e injectivă pe $\mathbb{R}$ ($(-1{)}^n=1^n$); restricția la $[0,+\mathrm{\infty })$ este bijectivă pe $[0,+\mathrm{\infty })$
convexitate (grafic)	concavă pe $(-\mathrm{\infty },0]$, convexă pe $[0,+\mathrm{\infty })$ ($n\ge 3$)	convexă pe $\mathbb{R}$

Injectivitatea rezultă din monotonia strictă. Faptul că imaginea este $\mathbb{R}$, respectiv $[0,+\mathrm{\infty })$ (surjectivitatea), îl acceptăm intuitiv, din grafic: graficul „urcă” oricât de sus, fără întreruperi.

Exponent întreg negativ

Pentru $f(x)=x^{-k}=\frac{1}{x^k}$, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x\ne 0$: pe $(0,+\mathrm{\infty })$ puterea $x^k$ crește și este pozitivă, deci inversul ei scade. Rezultă:

• $k$ impar (de exemplu $\frac{1}{x}$): funcție impară, strict descrescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$; imaginea este ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Atenție: nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că $-1<1$, dar $f(-1)=-1<f(1)=1$.
• $k$ par (de exemplu $\frac{1}{x^2}$): funcție pară, strict crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0)$, strict descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$; imaginea este $(0,+\mathrm{\infty })$.

Compararea puterilor

• Același exponent $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, baze nenegative: $0\le a<b\Rightarrow a^n<b^n$ (monotonia).
• Aceeași bază, exponenți naturali $m<n$: dacă $a>1$, atunci $a^m<a^n$; dacă $0<a<1$, atunci $a^m>a^n$.

De reținut

• $x^n$ cu $n$ impar: impară, strict crescătoare, bijectivă pe $\mathbb{R}$ ⇒ $x^n=a$ are exact o soluție reală pentru orice $a$.
• $x^n$ cu $n$ par: pară; $x^n=a$ are două soluții $\pm$ pentru $a>0$, una ($x=0$) pentru $a=0$, niciuna pentru $a<0$.
• Exponent negativ: domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$; monotonia se studiază separat pe $(-\mathrm{\infty },0)$ și pe $(0,+\mathrm{\infty })$.
• Toate graficele $x^n$ trec prin $(1,1)$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Compară numerele: a) $0,7^5$ și $0,7^3$; b) $(-2{)}^5$ și $(-3{)}^5$; c) $1,2^{-3}$ și $1,3^{-3}$.

Vezi rezolvarea

1. a) Baza $0,7\in (0,1)$: puterea scade când exponentul crește, deci $0,7^5<0,7^3$.
2. b) $x^5$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și $-3<-2$, deci $(-3{)}^5<(-2{)}^5$ (adică $-243<-32$).
3. c) $x^{-3}$ este strict descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$ și $1,2<1,3$, deci $1,2^{-3}>1,3^{-3}$.

Răspuns: a) $0,7^5<0,7^3$; b) $(-2{)}^5>(-3{)}^5$; c) $1,2^{-3}>1,3^{-3}$

Exemplul 2. Studiază paritatea și monotonia funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-2}$ și află $f((-\mathrm{\infty },-1])$.

Vezi rezolvarea

1. $f(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}$ $=\frac{1}{x^2}=f(x)$: funcția este pară.
2. Pentru $0<x_1<x_2$: $x_1^2<x_2^2$, deci $\frac{1}{x_1^2}>\frac{1}{x_2^2}$: $f$ este strict descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$. Din paritate, este strict crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0)$.
3. Pe $(-\mathrm{\infty },-1]$ funcția crește de la valori apropiate de 0 până la $f(-1)=1$, iar $f(x)>0$. Imaginea este $(0,1]$.

Răspuns: pară; crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },0)$, descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$; $f((-\mathrm{\infty },-1])=(0,1]$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $x^5=-32$; b) $x^4=81$; c) $x^{-3}=8$.

Vezi rezolvarea

1. a) $(-2{)}^5=-32$, iar $x^5$ este injectivă, deci nu există altă soluție: $x=-2$.
2. b) $3^4=81$; funcția este pară, deci și $(-3{)}^4=81$. Pe $[0,+\mathrm{\infty })$ este injectivă, deci singura soluție nenegativă este 3; analog, singura negativă este $-3$.
3. c) $x\ne 0$ și $\frac{1}{x^3}=8⟺x^3=\frac{1}{8}$ $⟺x=\frac{1}{2}$ (injectivitatea lui $x^3$).

Răspuns: a) $x=-2$; b) $x\in \{-3,3\}$; c) $x=\frac{1}{2}$

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ inecuațiile: a) $x^3>27$; b) $x^4\le 16$; c) $x^{-2}>4$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x^3>3^3$ și $x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci $x>3$.
2. b) $x^4=(x^2{)}^2\le 4^2$. Cum $x^2\ge 0$ și $t^2$ crește pe $[0,+\mathrm{\infty })$, rezultă $x^2\le 4⟺|x|\le 2$ $⟺-2\le x\le 2$.
3. c) $x\ne 0$: $\frac{1}{x^2}>4$ $⟺x^2<\frac{1}{4}$ (ambii membri pozitivi) $⟺|x|<\frac{1}{2}$. Excludem 0.

Răspuns: a) $x\in (3,+\mathrm{\infty })$; b) $x\in [-2,2]$; c) $x\in (-\frac{1}{2},0)\cup (0,\frac{1}{2})$

Exemplul 5. Demonstrează direct, fără monotonie, că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$ este injectivă.

Vezi rezolvarea

1. Presupunem $f(x_1)=f(x_2)$: $x_1^3-x_2^3$ $=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)$ $=0$.
2. Al doilea factor: $x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2$ $={(x_1+\frac{x_2}{2})}^2+\frac{3x_2^2}{4}\ge 0$, cu egalitate doar dacă $x_2=0$ și $x_1=0$.
3. Deci fie $x_1=x_2$, fie $x_1=x_2=0$; în ambele cazuri $x_1=x_2$.

Răspuns: $x_1^3=x_2^3\Rightarrow x_1=x_2$, deci $x^3$ este injectivă

Exemplul 6 (aplicație în fizică). Intensitatea luminii primite de la un bec scade cu pătratul distanței: $I(d)=\frac{k}{d^2}=k\cdot d^{-2}$, $d>0$, unde $k>0$ este o constantă. De câte ori scade intensitatea dacă te depărtezi de la 1 m la 2 m? Dar la 3 m?

Vezi rezolvarea

1. $I(1)=k$, $I(2)=\frac{k}{4}$, $I(3)=\frac{k}{9}$.
2. $\frac{I(1)}{I(2)}=4$ și $\frac{I(1)}{I(3)}=9$.
3. $I$ este o funcție putere cu exponentul $-2$, strict descrescătoare pe $(0,+\mathrm{\infty })$: cu cât te depărtezi, cu atât lumina este mai slabă.

Răspuns: la 2 m intensitatea scade de 4 ori, la 3 m de 9 ori

Greșeli frecvente

• Pierzi soluția negativă: $x^4=81$ are două soluții, $3$ și $-3$; doar la exponent impar soluția este unică.
• Spui că $\frac{1}{x}$ este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: este descrescătoare pe fiecare interval $(-\mathrm{\infty },0)$ și $(0,+\mathrm{\infty })$ separat, dar nu pe reuniunea lor.
• Compari puteri cu baza subunitară ca la baza supraunitară: $0,5^3=\mathrm{0,125}>0,5^4$ $=\mathrm{0,062}5$.
• Confunzi $-x^4$ cu $(-x{)}^4$: $-3^4=-81$, dar $(-3{)}^4=81$.

Verifică-te

Exersează

• Reguli de calcul cu puteri (inclusiv exponent negativ) și compararea puterilor: puteri — formule și exemple.
• Lecția următoare din programă: radicalii de ordin $n$, inversa funcției putere — radicali: teorie și fișă de lucru: radicali de ordin n și ecuații iraționale.
• Paritatea, monotonia și injectivitatea, în general: proprietățile funcțiilor și fișa de lucru clasa a 9-a.
• La Bacalaureat M1 este în programă funcția putere cu exponent natural (programa de Bac o plasează în clasa a X-a); exponentul întreg negativ nu apare separat. Injectivitatea lui $x^3$ se folosește la ecuațiile cu radical de ordinul 3: Bac M1 2023, sesiunea iunie, Subiectul I, ex. 3 ($\sqrt[3]{x^3-2x+2}=x$, rezolvat aici) și Bac M1 2020, sesiunea august, Subiectul I, ex. 3 ($x=\sqrt[3]{x^3+2x}$, rezolvat aici).

Întrebări frecvente

Ce este funcția putere cu exponent întreg? Este funcția $f(x)=x^n$, cu $n$ număr întreg. Pentru $n\ge 1$ este definită pe $\mathbb{R}$, iar pentru $n\le 0$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, unde $x^0=1$ și $x^{-k}=\frac{1}{x^k}$.

Când este funcția putere pară și când este impară? Este pară când exponentul este par (graficul simetric față de axa $Oy$) și impară când exponentul este impar (graficul simetric față de origine).

De ce $x^2$ nu este injectivă, dar $x^3$ este? Pentru că $(-a{)}^2=a^2$: două numere opuse au același pătrat. La $x^3$, numerele opuse au cuburi opuse, iar funcția este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$, deci valori diferite dau cuburi diferite.