Fișă de lucru proprietățile funcțiilor clasa a 9-a — 17 exerciții cu răspunsuri
Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 9-a despre proprietățile funcțiilor: domeniu și imagine, monotonie, paritate, compunere, injectivitate și funcția inversă. Exercițiile (M1) cer demonstrații riguroase; la M2 aceleași proprietăți se studiază mai ales pe grafic.
Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________
Fișă de lucru — funcții — proprietăți, clasa a 9-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Dacă nu se precizează altfel, funcțiile sunt definite pe \(\mathbb{R}\) cu valori în \(\mathbb{R}\). Exercițiile marcate (M1) sunt pentru profilul matematică-informatică.
I. Nivel ușor
- Fie \(f:\{1,2,3,4\}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x-1\). Determină mulțimea valorilor funcției, \(\operatorname{Im}f\).
- Fie \(f(x)=x^2+1\) și \(g(x)=2x-3\). Calculează \(f(g(1))\) și \(g(f(1))\).
- Stabilește paritatea funcțiilor: \(f(x)=x^4-3x^2\), \(g(x)=x^3+x\), \(h(x)=x+1\).
- Arată, folosind definiția, că funcția \(f(x)=3x-2\) este strict crescătoare.
- Adevărat sau fals? a) \(f(x)=x^2\) este injectivă pe \(\mathbb{R}\); b) \(f(x)=2x+5\) este injectivă; c) \(f(x)=|x|\) este pară.
- Determină domeniul maxim de definiție pentru \(f(x)=\frac{1}{x-2}\) și \(g(x)=\sqrt{x+3}\).
II. Nivel mediu
- Fie \(f(x)=2x+1\) și \(g(x)=x^2\). Determină \(f\circ g\) și \(g\circ f\).
- Studiază monotonia funcției \(f:(0,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{1}{x}\).
- Arată că \(f:[1,\infty)\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2x\), este strict crescătoare, folosind raportul \(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\).
- Stabilește paritatea funcțiilor \(f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\) și \(g(x)=|x-1|+|x+1|\).
- Determină numărul real \(a\) pentru care funcția \(f(x)=(a-1)x+3\) este strict descrescătoare.
- (M1) Arată că \(f(x)=5-2x\) este bijectivă și determină inversa ei.
III. Nivel greu
- Fie \(f(x)=2x+3\). Determină funcția \(g\) pentru care \((f\circ g)(x)=6x-1\), pentru orice \(x\) real.
- Fie \(f(x)=3x-1\). Determină \(f\circ f\) și rezolvă ecuația \((f\circ f)(x)=x\).
- (M1) Arată că funcția \(f(x)=x^3+2x\) este injectivă.
- (M1) Arată că funcția \(f(x)=x^2-4x\) nu este nici injectivă, nici surjectivă.
- (M1) Fie \(f(x)=x+1\) pentru \(x\lt 1\) și \(f(x)=2x\) pentru \(x\ge 1\). Arată că \(f\) este bijectivă și determină \(f^{-1}\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa
Răspunsuri
- \(\operatorname{Im}f=\{1,3,5,7\}\)
- \(f(g(1))=f(-1)=2\); \(g(f(1))=g(2)=1\)
- \(f\) pară, \(g\) impară, \(h\) nici pară, nici impară (\(h(-1)=0\), \(h(1)=2\))
- \(x_1\lt x_2\Rightarrow 3x_1-2\lt 3x_2-2\)
- a) F (\(f(-1)=f(1)\)); b) A; c) A
- \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \([-3,\infty)\)
- \((f\circ g)(x)=2x^2+1\); \((g\circ f)(x)=(2x+1)^2\) \(=4x^2+4x+1\)
- Strict descrescătoare: pentru \(0\lt x_1\lt x_2\), \(f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt 0\)
- Raportul este \(x_1+x_2-2\gt 0\) pentru \(x_1\ne x_2\) din \([1,\infty)\)
- \(f\) impară; \(g\) pară
- \(a\lt 1\)
- \(f\) este strict descrescătoare (injectivă) și \(f(x)=y\) are soluția \(x=\frac{5-y}{2}\) (surjectivă); \(f^{-1}(x)=\frac{5-x}{2}\)
- \(g(x)=3x-2\)
- \((f\circ f)(x)=9x-4\); \(x=\frac{1}{2}\)
- \(f(x_1)-f(x_2)\) \(=(x_1-x_2)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2\right)\), iar a doua paranteză este pozitivă; deci \(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)
- \(f(0)=f(4)=0\); \(f(x)=(x-2)^2-4\ge -4\), deci, de exemplu, \(-5\notin\operatorname{Im}f\)
- \(f\) este strict crescătoare, cu imaginile \((-\infty,2)\) și \([2,\infty)\); \(f^{-1}(x)=x-1\) pentru \(x\lt 2\) și \(f^{-1}(x)=\frac{x}{2}\) pentru \(x\ge 2\)