Condiția ca n numere să fie în progresie — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți cum recunoști că trei sau mai multe numere sunt, în ordinea dată, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice sau geometrice: termenul din mijloc este media aritmetică, respectiv (în modul) media geometrică a vecinilor săi. Cu aceste condiții afli necunoscute, rezolvi probleme cu sumă și produs date și deduci formula $a^n-b^n$, folosită apoi la divizibilitate și la polinoame.

Teorie

1. Progresia aritmetică: relația dintre trei termeni consecutivi

Recapitulare: $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este progresie aritmetică de rație $r$ dacă $a_{n+1}=a_n+r$ pentru orice $n\ge 1$; atunci $a_n=a_1+(n-1)r$.

Teoremă. Un șir $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este progresie aritmetică dacă și numai dacă fiecare termen, începând cu al doilea, este media aritmetică a vecinilor săi:

$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},\text{pentru orice }n\ge 2.$$

De ce? „⇒”: $a_{n-1}=a_n-r$ și $a_{n+1}=a_n+r$, deci $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$. „⇐”: din $2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$ rezultă $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$, deci diferența dintre doi termeni consecutivi este mereu aceeași, $r=a_2-a_1$.

2. Progresia geometrică: relația dintre trei termeni consecutivi

Recapitulare: $(b_n{)}_{n\ge 1}$, cu $b_1\ne 0$, este progresie geometrică de rație $q\ne 0$ dacă $b_{n+1}=b_n\cdot q$ pentru orice $n\ge 1$; atunci $b_n=b_1{q}^{n-1}$ și toți termenii sunt nenuli.

Teoremă. Un șir de numere reale nenule este progresie geometrică dacă și numai dacă

$$b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\text{pentru orice }n\ge 2.$$

De ce? „⇒”: $b_{n-1}=\frac{b_n}{q}$, $b_{n+1}=b_{n}q$, deci produsul lor este $b_n^2$. „⇐”: împărțind la $b_{n-1}{b}_n\ne 0$, obținem $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{b_n}{b_{n-1}}$: raportul a doi termeni consecutivi este constant. Pentru termeni pozitivi, condiția se scrie $b_n=\sqrt{b_{n-1}{b}_{n+1}}$ (media geometrică). Atenție la zero: $0,0,5$ verifică $0^2=0\cdot 5$, dar nu sunt în progresie geometrică.

3. Condiția ca n numere să fie în progresie (n ≥ 3)

Numerele $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ($n\ge 3$) sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii:

• aritmetice $⟺$ $2x_k=x_{k-1}+x_{k+1}$ pentru $k=2,3,\dots ,n-1$ $⟺$ $x_2-x_1=x_3-x_2=\cdots =x_n-x_{n-1}$;
• geometrice (numere nenule) $⟺$ $x_k^2=x_{k-1}{x}_{k+1}$ pentru $k=2,\dots ,n-1$ $⟺$ $\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=\cdots =\frac{x_n}{x_{n-1}}$.

Pentru $n=3$ este o singură condiție; pentru $n$ numere sunt $n-2$ condiții. Dacă se cunosc doar capetele, rația se află din $x_n=x_1+(n-1)r$, respectiv $x_n=x_1{q}^{n-1}$.

Notații simetrice (simplifică problemele cu sumă și produs): trei numere în progresie aritmetică: $a-r,a,a+r$; patru: $a-3r,a-r,a+r,a+3r$ (rația $2r$); trei numere în progresie geometrică: $\frac{a}{q},a,aq$.

4. Aplicație: formula $a^n-b^n$

Pentru orice numere reale $a,b$ și orice $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$:

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}).$$

Deducere cu progresii. Pentru $a\ne 0$, $a\ne b$, paranteza din dreapta este suma primilor $n$ termeni ai progresiei geometrice cu primul termen $a^{n-1}$ și rația $q=\frac{b}{a}\ne 1$:

$$S_n=a^{n-1}\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a^{n-1}\cdot \frac{\frac{b^n-a^n}{a^n}}{\frac{b-a}{a}}=\frac{b^n-a^n}{b-a}=\frac{a^n-b^n}{a-b}.$$

Înmulțind cu $a-b$ obținem formula. Cazurile $a=0$ sau $a=b$ se verifică direct; de altfel, formula se poate verifica și desfăcând parantezele: termenii se reduc doi câte doi și rămân doar $a^n$ și $-b^n$. Cazuri particulare: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Consecință. Dacă $a,b\in \mathbb{Z}$, atunci $a-b$ divide $a^n-b^n$. De exemplu, $7\mid 8^n-1$ și $5\mid 6^n-1$ pentru orice $n\ge 1$.

De reținut

• Progresie aritmetică: $2b=a+c$ (mijlocul este media aritmetică).
• Progresie geometrică (numere nenule): $b^2=ac$.
• „În această ordine” contează: $1,3,2$ nu sunt în progresie aritmetică, deși $1,2,3$ sunt.
• După ce afli necunoscuta, verifică numerele obținute (mai ales la progresia geometrică: termeni nenuli).
• $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Determină numărul real $x$ pentru care numerele $x+2$, $2x+1$ și $4x-3$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi rezolvarea

1. Condiția: $2(2x+1)=(x+2)+(4x-3)$.
2. $4x+2=5x-1\Rightarrow x=3$.
3. Verificare: numerele sunt $5,7,9$, cu rația 2.

Răspuns: $x=3$

Exemplul 2. Determină numerele reale $x$ pentru care $x$, $x+3$ și $4x$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

1. Condiția (numere nenule): $(x+3{)}^2=x\cdot 4x=(2x{)}^2$.
2. $(x+3{)}^2-(2x{)}^2=0\Rightarrow (x+3-2x)(x+3+2x)=0\Rightarrow (3-x)(3x+3)=0$, deci $x=3$ sau $x=-1$.
3. Verificare: $x=3$: $3,6,12$ (rația 2); $x=-1$: $-1,2,-4$ (rația $-2$). Ambele sunt nenule, deci ambele convin.

Răspuns: $x\in \{-1,3\}$

Exemplul 3 (n numere). a) Numerele $3,x,y,z,23$ sunt, în această ordine, în progresie aritmetică. Află $x,y,z$.
b) Numerele $2,u,v,54$ sunt, în această ordine, în progresie geometrică. Află $u$ și $v$.

Vezi rezolvarea

1. a) Sunt 5 termeni: $23=3+4r\Rightarrow r=5$. Deci $x=8$, $y=13$, $z=18$. Verificare: diferențele consecutive sunt toate 5.
2. b) Sunt 4 termeni: $54=2q^3\Rightarrow q^3=27\Rightarrow q=3$ (singurul număr real cu cubul 27). Deci $u=6$, $v=18$. Verificare: $6^2=2\cdot 18$ și ${18}^2=6\cdot 54=324$.

Răspuns: a) $8,13,18$; b) $u=6$, $v=18$

Exemplul 4. Trei numere în progresie aritmetică au suma 15 și produsul 80. Află numerele.

Vezi rezolvarea

1. Notăm numerele $a-r,a,a+r$. Suma: $3a=15\Rightarrow a=5$.
2. Produsul: $(5-r)\cdot 5\cdot (5+r)=80\Rightarrow 25-r^2=16\Rightarrow r^2=9\Rightarrow r=\pm 3$.
3. Pentru $r=3$: $2,5,8$; pentru $r=-3$: $8,5,2$. Verificare: $2+5+8=15$, $2\cdot 5\cdot 8=80$.

Răspuns: numerele sunt $2,5,8$ (sau, în ordine inversă, $8,5,2$)

Exemplul 5. Trei numere în progresie geometrică au produsul 216 și suma 21. Află numerele.

Vezi rezolvarea

1. Notăm numerele $\frac{a}{q},a,aq$. Produsul: $a^3=216\Rightarrow a=6$.
2. Suma: $\frac{6}{q}+6+6q=21$. Înmulțim cu $q\ne 0$: $6q^2-15q+6=0$, adică $2q^2-5q+2=0$.
3. Descompunem: $2q^2-5q+2=(2q-1)(q-2)$, deci $q=2$ sau $q=\frac{1}{2}$.
4. Pentru $q=2$: $3,6,12$; pentru $q=\frac{1}{2}$: $12,6,3$. Verificare: $3+6+12=21$, $3\cdot 6\cdot 12=216$.

Răspuns: numerele sunt $3,6,12$ (sau $12,6,3$)

Exemplul 6. Laturile unui triunghi dreptunghic sunt, în ordinea crescătoare a lungimilor, în progresie aritmetică. Arată că lungimile lor sunt proporționale cu 3, 4 și 5.

Vezi rezolvarea

1. Notăm laturile $a-r,a,a+r$, cu $r>0$ și $a-r>0$; cea mai lungă, $a+r$, este ipotenuza.
2. Teorema lui Pitagora: $(a-r{)}^2+a^2=(a+r{)}^2\Rightarrow a^2-2ar+r^2+a^2=a^2+2ar+r^2\Rightarrow a^2=4ar$.
3. Cum $a\ne 0$: $a=4r$, deci laturile sunt $3r,4r,5r$.

Răspuns: laturile sunt $3r,4r,5r$, adică proporționale cu 3, 4, 5

Exemplul 7 (formula $a^n-b^n$). a) Calculează $1+2+2^2+\cdots +2^9$.
b) Arată că $2^{20}-1$ se divide cu 31.

Vezi rezolvarea

1. a) Cu $a=2$, $b=1$, $n=10$: $2^{10}-1=(2-1)(2^9+2^8+\cdots +1)$, deci suma este $2^{10}-1=1023$.
2. b) $2^{20}-1=(2^5{)}^4-1^4={32}^4-1^4=(32-1)({32}^3+{32}^2+32+1)$, deci se divide cu $32-1=31$.

Răspuns: a) 1023; b) $2^{20}-1=31\cdot ({32}^3+{32}^2+32+1)$

Greșeli frecvente

• Pui alt termen la mijloc: condiția se scrie pentru termenul din mijloc al ordinii date. Pentru $x+2,2x+1,4x-3$ este $2(2x+1)=\dots$, nu $2(x+2)=\dots$.
• Scrii $b=\sqrt{ac}$ când termenii pot fi negativi: condiția corectă este $b^2=ac$; în exemplul 2, soluția $x=-1$ (numerele $-1,2,-4$) s-ar pierde.
• Nu verifici că termenii sunt nenuli la progresia geometrică: dacă obții un termen 0, valoarea nu convine.
• Greșești numărul de rații: între $x_1$ și $x_n$ sunt $n-1$ pași, deci $x_n=x_1+(n-1)r$; în exemplul 3, între 3 și 23 sunt 4 rații, nu 5.

Verifică-te

Exersează

• Teoria fiecărei progresii: progresia aritmetică și progresia geometrică.
• Progresii — exerciții rezolvate pas cu pas, clasa a 9-a și fișa de lucru cu progresii.
• La Bacalaureat: Bac 2020 M1, sesiunea august, Subiectul I, ex. 6 — măsurile unghiurilor unui triunghi sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice; din $2B=A+C$ și $A+B+C=\pi$ rezultă $B=\frac{\pi }{3}$ (rezolvat aici). Toți itemii cu progresii din variantele oficiale: progresii la Bac.
• Demonstrații cu formula termenului general prin inducție: metoda inducției matematice.

Programa: capitolul 2 „Șiruri și progresii” din programa nouă de clasa a IX-a, mate-info (OMEC 6930/2025), cu aplicația „deducerea formulei $a^n-b^n$”; condiția ca $n$ numere să fie în progresie este și în programa de Bacalaureat M1 și M2 (OMEN 4430/2014), dar nu și în trunchiul comun nou.

Întrebări frecvente

Cum arăt că trei numere sunt în progresie aritmetică? Verifici că dublul termenului din mijloc este egal cu suma celorlalți doi: $2b=a+c$. Echivalent, diferențele $b-a$ și $c-b$ sunt egale.

Care este condiția ca trei numere să fie în progresie geometrică? Pentru numere nenule $a,b,c$, condiția este $b^2=ac$. Dacă numerele sunt pozitive, $b=\sqrt{ac}$, adică termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor.

Cum se deduce formula a^n − b^n? Paranteza $a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}$ este suma unei progresii geometrice cu rația $\frac{b}{a}$; aplicând formula sumei obții $\frac{a^n-b^n}{a-b}$. Formula se verifică și direct, desfăcând parantezele.