Metoda inducției matematice — lecție clasa a 9-a: teorie, exemple, exerciții

Metoda inducției matematice demonstrează că o afirmație $P(n)$ este adevărată pentru toate numerele naturale $n\ge n_0$, în doar doi pași: verifici primul caz și arăți că din cazul $k$ rezultă cazul $k+1$. În această lecție o aplici la formule de sume, divizibilitate, inegalități și șiruri definite prin recurență.

Teorie

Principiul inducției matematice

Fie $P(n)$ o propoziție care depinde de numărul natural $n$ și $n_0\in \mathbb{N}$. Dacă:

1. Etapa de verificare: $P(n_0)$ este adevărată și
2. Etapa de demonstrație (pasul de inducție): pentru orice $k\ge n_0$, din $P(k)$ adevărată rezultă $P(k+1)$ adevărată, adică implicația $P(k)\to P(k+1)$ este adevărată,

atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice număr natural $n\ge n_0$.

$$[P(n_0)\wedge (\mathrm{\forall }k\ge n_0)(P(k)\to P(k+1))]⟹(\mathrm{\forall }n\ge n_0)P(n).$$

În etapa a doua, $P(k)$ se numește ipoteza de inducție: o presupui adevărată și o folosești ca să demonstrezi $P(k+1)$.

De ce funcționează?

Imaginează-ți un șir infinit de piese de domino: prima cade (etapa 1) și fiecare piesă care cade o dărâmă pe următoarea (etapa 2). Atunci cad toate. Riguros, prin reducere la absurd: dacă $P(n)$ ar fi falsă pentru unele $n\ge n_0$, ar exista un cel mai mic astfel de număr, $m$. Cum $P(n_0)$ e adevărată, $m>n_0$, deci $m-1\ge n_0$ și $P(m-1)$ este adevărată ($m$ era cel mai mic contraexemplu). Din etapa 2 rezultă $P(m)$ adevărată — contradicție.

Ambele etape sunt obligatorii

• Fără etapa 1: pentru $P(n)$: „$n=n+1$”, implicația $P(k)\to P(k+1)$ se verifică formal (adunând 1 în ambii membri), dar $P(n)$ nu este adevărată pentru niciun $n$.
• Fără etapa 2: numărul $n^2+n+41$ este prim pentru $n=0,1,2,\dots ,39$, dar pentru $n=40$ obținem $1681={41}^2$. Oricât de multe verificări nu înlocuiesc demonstrația.

Cum redactezi o demonstrație prin inducție

1. Scrii clar $P(n)$ și de la ce $n_0$ se cere.
2. Verifici $P(n_0)$ prin calcul direct.
3. Scrii ipoteza $P(k)$ și ce ai de demonstrat, $P(k+1)$ (înlocuiești $n$ cu $k+1$).
4. Pornești de la membrul „mai complicat” al lui $P(k+1)$, faci să apară expresia din $P(k)$ și folosești ipoteza.
5. Concluzia: „conform principiului inducției matematice, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$”.

De reținut

• Două etape: verificare pentru $n_0$ și $P(k)\to P(k+1)$ pentru orice $k\ge n_0$.
• Ipoteza de inducție trebuie folosită în pasul al doilea; dacă nu o folosești, probabil ai greșit.
• $n_0$ nu este mereu 0 sau 1: unele afirmații sunt adevărate abia de la un anumit rang (exemplul 4).
• Raționamentul inductiv (observi pe primele cazuri, ghicești formula) dă o ipoteză; inducția matematică o demonstrează.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Demonstrează că $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea

1. $P(n)$: „$1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$”. Verificare, $n=1$: membrul stâng este 1, membrul drept $1^2=1$. Adevărat.
2. Presupunem $P(k)$: $1+3+\cdots +(2k-1)=k^2$. Demonstrăm $P(k+1)$: $1+3+\cdots +(2k-1)+(2k+1)=(k+1{)}^2$.
3. Membrul stâng, cu ipoteza de inducție: $k^2+(2k+1)=(k+1{)}^2$. Deci $P(k+1)$ este adevărată.

Răspuns: conform principiului inducției, suma primelor $n$ numere impare este $n^2$, pentru orice $n\ge 1$

Exemplul 2. Demonstrează că $1^2+2^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea

1. Verificare, $n=1$: $1^2=1$ și $\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=1$. Adevărat.
2. Presupunem $1^2+\cdots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$. Trebuie arătat că $1^2+\cdots +k^2+(k+1{)}^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
3. Cu ipoteza de inducție, membrul stâng devine: $$\begin{array}{rl}\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2& =\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6}\\ & =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6},\end{array}$$ pentru că $(k+2)(2k+3)=2k^2+7k+6$.

Răspuns: formula este adevărată pentru orice $n\ge 1$ (de exemplu, pentru $n=10$ suma este 385)

Exemplul 3 (divizibilitate). Arată că $6\mid n^3+5n$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea

1. Verificare, $n=1$: $1+5=6$, divizibil cu 6.
2. Presupunem $6\mid k^3+5k$. Calculăm: $$(k+1{)}^3+5(k+1)=(k^3+5k)+3k(k+1)+6.$$
3. $k^3+5k$ se divide cu 6 (ipoteza de inducție); $k(k+1)$ este produsul a două numere consecutive, deci par, iar $3k(k+1)$ se divide cu 6; ultimul termen este 6. Suma se divide cu 6, deci $P(k+1)$ este adevărată.

Răspuns: $n^3+5n$ este divizibil cu 6 pentru orice $n\ge 1$

Exemplul 4 (inegalitate, $n_0\ne 1$). Pentru ce numere naturale $n\ge 1$ este adevărată inegalitatea $2^n>n^2$? Demonstrează.

Vezi rezolvarea

1. Încercăm primele valori: $n=1$: $2>1$ (A); $n=2$: $4>4$ (F); $n=3$: $8>9$ (F); $n=4$: $16>16$ (F); $n=5$: $32>25$ (A). Bănuim că inegalitatea e adevărată pentru $n=1$ și pentru orice $n\ge 5$.
2. Demonstrăm prin inducție de la $n_0=5$. Verificarea: $32>25$.
3. Presupunem $2^k>k^2$, $k\ge 5$. Atunci $2^{k+1}=2\cdot 2^k>2k^2$. Rămâne să arătăm că $2k^2\ge (k+1{)}^2$, adică $k^2-2k-1\ge 0⟺(k-1{)}^2\ge 2$, adevărat pentru $k\ge 5$ (chiar pentru $k\ge 3$).
4. Deci $2^{k+1}>2k^2\ge (k+1{)}^2$.

Răspuns: $2^n>n^2$ pentru $n=1$ și pentru orice $n\ge 5$; este falsă pentru $n\in \{2,3,4\}$

Exemplul 5 (inegalitatea lui Bernoulli). Arată că $(1+a{)}^n\ge 1+na$, pentru orice $a\ge -1$ și orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea

1. Verificare, $n=1$: $1+a\ge 1+a$. Adevărat (cu egalitate).
2. Presupunem $(1+a{)}^k\ge 1+ka$. Cum $a\ge -1$, avem $1+a\ge 0$, deci putem înmulți inegalitatea cu $1+a$ fără să schimbăm sensul: $$(1+a{)}^{k+1}\ge (1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+k{a}^2\ge 1+(k+1)a,$$ pentru că $k{a}^2\ge 0$.
3. Observă unde s-a folosit condiția $a\ge -1$: la înmulțirea cu $1+a$.

Răspuns: inegalitatea $(1+a{)}^n\ge 1+na$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$ și $a\ge -1$

Exemplul 6 (șir definit prin recurență). Șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ are $a_1=1$ și $a_{n+1}=2a_n+1$, pentru orice $n\ge 1$. Găsește o formulă pentru $a_n$ și demonstreaz-o.

Vezi rezolvarea

1. Primii termeni: $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=7$, $a_4=15$, $a_5=31$. Fiecare este cu 1 mai mic decât o putere a lui 2, deci bănuim $a_n=2^n-1$ (raționament inductiv).
2. Demonstrăm prin inducție. Verificare: $a_1=2^1-1=1$.
3. Presupunem $a_k=2^k-1$. Atunci $a_{k+1}=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1$.

Răspuns: $a_n=2^n-1$, pentru orice $n\ge 1$

Greșeli frecvente

• Sari peste verificare sau verifici alt caz decât cel cerut (de exemplu $n=0$ când enunțul cere $n\ge 1$ sau invers).
• Presupui ce ai de demonstrat: în pasul al doilea pleci de la $P(k)$ și ajungi la $P(k+1)$; nu scrii $P(k+1)$ ca adevărată și „verifici” egalitatea prin transformări care pierd echivalența.
• Înlocuiești greșit $n$ cu $k+1$: în exemplul 2, membrul drept al lui $P(k+1)$ este $\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$, nu $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+1$.
• Nu folosești ipoteza de inducție sau concluzionezi „e adevărată pentru orice $n$” după ce ai verificat câteva valori — vezi $n^2+n+41$.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: logică matematică și inducție, clasa a 9-a — partea a doua conține demonstrații prin inducție (sume, divizibilitate, inegalități).
• Inducția se bazează pe implicație și pe reducerea la absurd: propoziții, operații logice și cuantificatori.
• Șiruri definite prin recurență și formula termenului general: șiruri de numere reale, progresia aritmetică, progresia geometrică.
• O formulă pe care o vei demonstra tot prin inducție, în clasa a 10-a: binomul lui Newton.

Programa: capitolul 1 din programa nouă de clasa a IX-a, mate-info (OMEC 6930/2025); inducția matematică este și în programa de Bacalaureat M1 (OMEN 4430/2014). Nu face parte din trunchiul comun, deci la științele naturii depinde de programa de specializare. În subiectele oficiale de Bac 2020–2026 rezolvate pe site nu am găsit un item care să ceară explicit inducția; metoda se folosește însă la șirurile din clasa a XI-a.

Întrebări frecvente

Care sunt etapele metodei inducției matematice? Etapa de verificare: arăți că $P(n_0)$ este adevărată. Etapa de demonstrație: presupui $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge n_0$ oarecare și demonstrezi $P(k+1)$. Concluzia: $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge n_0$.

Ce este ipoteza de inducție? Este presupunerea că $P(k)$ este adevărată, făcută în etapa a doua. Nu e o presupunere „nejustificată”: arăți doar că, dacă un caz e adevărat, atunci și următorul este, iar lanțul pornește din cazul verificat.

Se poate începe inducția de la alt număr decât 1? Da. Verificarea se face pentru primul număr $n_0$ din enunț (0, 1, 3, 5 etc.), iar concluzia este valabilă pentru toate numerele naturale $n\ge n_0$. De exemplu, $2^n>n^2$ se demonstrează de la $n_0=5$.