Ecuația x² = a — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

În această lecție înveți să rezolvi ecuația $x^2=a$: dacă $a>0$, are două soluții reale opuse, $x=\pm \sqrt{a}$; dacă $a=0$, are soluția $x=0$; dacă $a<0$, nu are soluții reale. O folosești ori de câte ori afli latura unui pătrat din arie sau o lungime cu teorema lui Pitagora, iar la Evaluarea Națională apare la Subiectul I.

Teorie

Ce înseamnă să rezolvi ecuația $x^2=a$

Căutăm toate numerele reale $x$ al căror pătrat este $a$. Răspunsul depinde de semnul lui $a$, pentru că pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero: $x^2\ge 0$.

Cazul	Soluțiile în $\mathbb{R}$	Exemplu
$a>0$	două: $x_1=-\sqrt{a}$, $x_2=\sqrt{a}$	$x^2=9\Rightarrow S=\{-3,3\}$
$a=0$	una: $x=0$	$x^2=0\Rightarrow S=\{0\}$
$a<0$	niciuna	$x^2=-4\Rightarrow S=\mathrm{\varnothing }$

De ce două soluții? Știi că $\sqrt{x^2}=|x|$. Dacă $x^2=a$, cu $a>0$, atunci $|x|=\sqrt{a}$, adică $x$ se află pe axa numerelor la distanța $\sqrt{a}$ de origine. Există exact două astfel de puncte: $\sqrt{a}$ și $-\sqrt{a}$. Verificare: $(\sqrt{a}{)}^2=a$ și $(-\sqrt{a}{)}^2=a$.

Atenție la $\sqrt{a}$

Prin definiție, $\sqrt{a}$ este numărul pozitiv (sau zero) al cărui pătrat este $a$. De aceea $\sqrt{9}=3$, nu $\pm 3$. Semnul $\pm$ apare când rezolvi ecuația $x^2=9$, pentru că și $-3$ verifică ecuația.

Ecuații care se aduc la forma $x^2=a$

• $m{x}^2+n=p$ (cu $m\ne 0$): izolezi $x^2$ ca la ecuațiile de gradul I: $x^2=\frac{p-n}{m}$.
• $(x+b{)}^2=a$: notezi $y=x+b$ și rezolvi $y^2=a$; apoi afli $x$ din fiecare valoare a lui $y$.

Soluțiile depind de mulțime

Ecuația $x^2=7$ are în $\mathbb{R}$ soluțiile $\pm \sqrt{7}$, dar în $\mathbb{Q}$ nu are soluții ($\sqrt{7}$ este irațional). Ecuația $x^2=16$ are în $\mathbb{Z}$ soluțiile $-4$ și $4$, dar în $\mathbb{N}$ doar soluția $4$.

De reținut

• $x^2=a,a>0⟺x\in \{-\sqrt{a},\sqrt{a}\}$; scrie ambele soluții.
• $x^2=0⟺x=0$; $x^2=a,a<0$: $S=\mathrm{\varnothing }$.
• Simplifică soluțiile: $x^2=12\Rightarrow x=\pm 2\sqrt{3}$.
• Într-o problemă cu lungimi păstrezi doar soluția pozitivă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $x^2=49$; b) $x^2=0$; c) $x^2=-25$.

Vezi rezolvarea

1. a) $49>0$: $x=\pm \sqrt{49}=\pm 7$, deci $S=\{-7,7\}$.
2. b) Singurul număr cu pătratul 0 este 0: $S=\{0\}$.
3. c) $x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, deci nu poate fi egal cu $-25$: $S=\mathrm{\varnothing }$.

Răspuns: a) $\{-7,7\}$; b) $\{0\}$; c) $\mathrm{\varnothing }$

Exemplul 2. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $x^2=18$; b) $x^2=0,36$; c) $x^2=\frac{25}{4}$.

Vezi rezolvarea

1. a) $x=\pm \sqrt{18}=\pm \sqrt{9\cdot 2}=\pm 3\sqrt{2}$.
2. b) $0,36=0,6^2$, deci $x=\pm 0,6$.
3. c) $\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$, deci $x=\pm \frac{5}{2}$.

Răspuns: a) $\{-3\sqrt{2},3\sqrt{2}\}$; b) $\{-0,6;0,6\}$; c) $\{-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\}$

Exemplul 3. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $4x^2-7=29$; b) $5+2x^2=1$.

Vezi rezolvarea

1. a) Adunăm 7: $4x^2=36$; împărțim la 4: $x^2=9$, deci $x=\pm 3$.
2. b) Scădem 5: $2x^2=-4$; împărțim la 2: $x^2=-2<0$, deci ecuația nu are soluții reale.

Răspuns: a) $S=\{-3,3\}$; b) $S=\mathrm{\varnothing }$

Exemplul 4. Rezolvă în $\mathbb{R}$: a) $(x-2{)}^2=25$; b) $(2x+1{)}^2=49$.

Vezi rezolvarea

1. a) Notăm $y=x-2$: $y^2=25\Rightarrow y=5$ sau $y=-5$.
2. $x-2=5\Rightarrow x=7$; $x-2=-5\Rightarrow x=-3$.
3. b) $2x+1=7$ sau $2x+1=-7$; de aici $2x=6\Rightarrow x=3$, respectiv $2x=-8\Rightarrow x=-4$.
4. Verificare: $(7-2{)}^2=25$, $(-3-2{)}^2=25$; $(2\cdot 3+1{)}^2=49$, $(2\cdot (-4)+1{)}^2=(-7{)}^2=49$.

Răspuns: a) $S=\{-3,7\}$; b) $S=\{-4,3\}$

Exemplul 5. Scrie elementele mulțimilor: $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid x^2=16\}$, $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x^2=16\}$, $C=\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2=7\}$, $D=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2=7\}$.

Vezi rezolvarea

1. În $\mathbb{R}$, $x^2=16$ are soluțiile $-4$ și $4$; ambele sunt întregi, deci $A=\{-4,4\}$.
2. Dintre ele, doar $4$ este natural: $B=\{4\}$.
3. $x^2=7$ are soluțiile $\pm \sqrt{7}$; 7 nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{7}$ este irațional: $C=\mathrm{\varnothing }$, $D=\{-\sqrt{7},\sqrt{7}\}$.

Răspuns: $A=\{-4,4\}$, $B=\{4\}$, $C=\mathrm{\varnothing }$, $D=\{-\sqrt{7},\sqrt{7}\}$

Exemplul 6 (nivel Evaluare Națională). Un pătrat are aria egală cu aria unui dreptunghi cu lungimea de 8 cm și lățimea de 6 cm. Află latura și perimetrul pătratului.

Vezi rezolvarea

1. Aria dreptunghiului: $8\cdot 6=48$ cm², deci, dacă $l$ este latura pătratului, $l^2=48$.
2. Ecuația are soluțiile $\pm \sqrt{48}=\pm 4\sqrt{3}$; latura este o lungime, deci pozitivă: $l=4\sqrt{3}$ cm.
3. Perimetrul: $4l=16\sqrt{3}$ cm $\approx 27,7$ cm.

Răspuns: latura $4\sqrt{3}$ cm, perimetrul $16\sqrt{3}$ cm

Greșeli frecvente

• Uiți soluția negativă: $x^2=25$ are două soluții, $-5$ și $5$. Scrie $S=\{-5,5\}$, nu doar $x=5$.
• Scrii $\sqrt{25}=\pm 5$: radicalul este întotdeauna pozitiv, $\sqrt{25}=5$. Semnul $\pm$ ține de ecuație, nu de radical.
• „Rezolvi” ecuația cu $a<0$: $x^2=-9$ nu are soluțiile $\pm 3$, pentru că $(-3{)}^2=9$, nu $-9$. Mulțimea soluțiilor reale este vidă.
• Păstrezi soluția negativă într-o problemă de geometrie: o latură sau o diagonală nu poate avea $-4\sqrt{3}$ cm; reții doar valoarea pozitivă.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: operații cu numere reale, clasa a 7-a (conține și ecuații de forma $x^2=a$, cu răspunsuri).
• La Evaluarea Națională: EN 2024, subiectul de rezervă, Subiectul I, itemul 4 (mulțimea soluțiilor ecuației $2x^2=8$, rezolvat aici). Alte ecuații date la EN: ecuații la Evaluarea Națională.
• Când $a$ nu este pătrat perfect, estimează soluțiile: estimarea rădăcinii pătrate; reguli pentru radicali: formule cu radicali.
• Pentru mai târziu (clasa a VIII-a): ecuația de gradul al doilea.

Întrebări frecvente

Câte soluții are ecuația x² = a? Două soluții reale opuse, $-\sqrt{a}$ și $\sqrt{a}$, dacă $a>0$; o singură soluție, $x=0$, dacă $a=0$; niciuna dacă $a<0$.

De ce ecuația x² = −4 nu are soluții? Pentru că pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero: $2^2=4$ și $(-2{)}^2=4$. Niciun număr real ridicat la pătrat nu dă un rezultat negativ.

Care este diferența dintre √9 și soluțiile ecuației x² = 9? $\sqrt{9}=3$ este un singur număr, cel pozitiv. Ecuația $x^2=9$ are însă două soluții, $3$ și $-3$, pentru că și $(-3{)}^2=9$.