Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr — lecție clasa a 7-a: teorie, exemple, exerciții

Când un număr nu este pătrat perfect, rădăcina lui pătrată nu se poate scrie exact cu zecimale, dar o poți estima: o încadrezi între doi întregi consecutivi, apoi între zecimi și sutimi. În lecție înveți metoda pas cu pas, aproximarea prin lipsă și prin adaos și cum o folosești la comparări, pe axa numerelor și în probleme practice.

Teorie

Ideea: radicalul păstrează ordinea

Pentru numere $a,b\ge 0$: dacă $a<b$, atunci $\sqrt{a}<\sqrt{b}$. Așa că, dacă găsești două pătrate perfecte între care se află un număr, găsești și între ce numere se află rădăcina lui:

De aceea e bine să știi pe de rost pătratele numerelor de la 1 la 20:

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$n^2$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

(Pătratele de la 1 la 10 le știi din clasele anterioare: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Lista completă: pătrate perfecte și cuburi perfecte.)

Metoda pas cu pas: exemplul $\sqrt{2}$

1. Întregi: $1^2=1<2<4=2^2$, deci $1<\sqrt{2}<2$.
2. Zecimi: încerci $1,1;1,2;\dots$ până depășești 2: $1,4^2=1,96<2$ și $1,5^2=2,25>2$. Deci $1,4<\sqrt{2}<1,5$.
3. Sutimi: $1,{41}^2=\mathrm{1,988}1<2$ și $1,{42}^2=\mathrm{2,016}4>2$. Deci $1,41<\sqrt{2}<1,42$.

Poți continua cât de mult vrei: fiecare pas îți dă încă o zecimală exactă.

Aproximări utile (rotunjite la sutimi): $\sqrt{2}\approx 1,41$; $\sqrt{3}\approx 1,73$; $\sqrt{5}\approx 2,24$; $\sqrt{6}\approx 2,45$; $\sqrt{7}\approx 2,65$; $\sqrt{10}\approx 3,16$.

Rădăcina pătrată a unui număr rațional

• Dacă numărul se scrie ca fracție cu numărător și numitor pătrate perfecte, rădăcina e exactă: $\sqrt{2,25}=\sqrt{\frac{225}{100}}=\frac{15}{10}=1,5$.
• Altfel o estimezi la fel, cu zecimale: $0,5^2=0,25<0,3<0,36=0,6^2$, deci $0,5<\sqrt{0,3}<0,6$.
• Atenție la numerele subunitare: rădăcina este mai mare decât numărul ($\sqrt{0,25}=0,5$).

Pe axa numerelor

Cu aproximările poți așeza radicalii pe axă: $\sqrt{2}\approx 1,41$, $\sqrt{5}\approx 2,24$, $\sqrt{10}\approx 3,16$.

De reținut

• Încadrezi întâi între pătrate perfecte: $n^2<a<(n+1{)}^2\Rightarrow n<\sqrt{a}<n+1$.
• Apoi încerci zecimi, sutimi: ridici la pătrat candidații și compari cu numărul.
• Prin lipsă = valoarea mai mică, prin adaos = valoarea mai mare; rotunjirea = cea mai apropiată.
• Pentru $k\sqrt{a}$ introduci întâi factorul sub radical ($3\sqrt{2}=\sqrt{18}$) și abia apoi estimezi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Între ce numere întregi consecutive se află fiecare dintre numerele $\sqrt{30}$, $\sqrt{70}$, $\sqrt{150}$ și $-\sqrt{20}$?

Vezi rezolvarea

1. $25<30<36$, deci $5<\sqrt{30}<6$.
2. $64<70<81$, deci $8<\sqrt{70}<9$.
3. $144<150<169$, deci $12<\sqrt{150}<13$.
4. $16<20<25$, deci $4<\sqrt{20}<5$; trecând la opuse, ordinea se inversează: $-5<-\sqrt{20}<-4$.

Răspuns: între 5 și 6; între 8 și 9; între 12 și 13; între −5 și −4.

Exemplul 2. Aproximează $\sqrt{11}$ prin lipsă și prin adaos cu o zecimală și cu două zecimale, apoi rotunjește-l la sutimi.

Vezi rezolvarea

1. $9<11<16$, deci $3<\sqrt{11}<4$.
2. Zecimi: $3,3^2=10,89<11$ și $3,4^2=11,56>11$, deci $3,3<\sqrt{11}<3,4$.
3. Sutimi: $3,{31}^2=\mathrm{10,956}1<11$ și $3,{32}^2=\mathrm{11,022}4>11$, deci $3,31<\sqrt{11}<3,32$.
4. Rotunjire: ${\mathrm{3,315}}^2=\mathrm{10,989}225<11$, deci $\sqrt{11}>\mathrm{3,315}$ și e mai aproape de $3,32$.

Răspuns: cu o zecimală 3,3 (prin lipsă) și 3,4 (prin adaos); cu două zecimale 3,31 și 3,32; $\sqrt{11}\approx 3,32$.

Exemplul 3. a) Calculează $\sqrt{2,25}$. b) Estimează $\sqrt{0,6}$ cu două zecimale (prin lipsă și prin adaos).

Vezi rezolvarea

1. a) $2,25=\frac{225}{100}$, iar $225={15}^2$ și $100={10}^2$. Deci $\sqrt{2,25}=\frac{15}{10}=1,5$.
2. b) $0,7^2=0,49<0,6<0,64=0,8^2$, deci $0,7<\sqrt{0,6}<0,8$.
3. $0,{77}^2=\mathrm{0,592}9<0,6$ și $0,{78}^2=\mathrm{0,608}4>0,6$, deci $0,77<\sqrt{0,6}<0,78$.

Răspuns: a) 1,5; b) 0,77 prin lipsă, 0,78 prin adaos.

Exemplul 4. Câte numere naturale se află între $\sqrt{40}$ și $\sqrt{150}$?

Vezi rezolvarea

1. $36<40<49$, deci $6<\sqrt{40}<7$.
2. Din exemplul 1, $12<\sqrt{150}<13$.
3. Numerele naturale $n$ cu $\sqrt{40}<n<\sqrt{150}$ sunt $7,8,9,10,11,12$. (Verificare: $7^2=49>40$ și ${12}^2=144<150$.)

Răspuns: 6 numere naturale.

Exemplul 5. Între ce întregi consecutivi se află numerele $a=2\sqrt{7}$, $b=3+\sqrt{8}$ și $c=7-\sqrt{30}$?

Vezi rezolvarea

1. $a=\sqrt{28}$ și $25<28<36$, deci $5<a<6$.
2. $4<8<9$, deci $2<\sqrt{8}<3$; adunând 3: $5<3+\sqrt{8}<6$.
3. $5<\sqrt{30}<6$. Scăzând din 7 un număr mai mare, rezultatul e mai mic: $7-6<7-\sqrt{30}<7-5$, adică $1<c<2$.

Răspuns: $5<a<6$; $5<b<6$; $1<c<2$.

Exemplul 6 (problemă practică). O grădină în formă de pătrat are aria de $50{\text{m}}^2$. a) Estimează latura grădinii la centimetru. b) Ajung 28 m de plasă pentru a o împrejmui?

Vezi rezolvarea

1. a) Latura este $\ell =\sqrt{50}$ m. $49<50<64$, deci $7<\ell <8$.
2. $7,0^2=49<50<50,41=7,1^2$; apoi $7,{07}^2=\mathrm{49,984}9<50$ și $7,{08}^2=\mathrm{50,126}4>50$, deci $7,07<\ell <7,08$. Cum ${\mathrm{7,075}}^2=\mathrm{50,055}625>50$, avem $\ell <\mathrm{7,075}$, deci rotunjirea este 7,07 m.
3. b) Perimetrul este $4\sqrt{50}=\sqrt{16\cdot 50}=\sqrt{800}$ m, iar $28=\sqrt{784}$. Cum $784<800$, perimetrul este mai mare de 28 m (aproximativ 28,28 m).

Răspuns: a) latura ≈ 7,07 m (707 cm); b) nu, 28 m de plasă nu ajung.

Greșeli frecvente

• $\sqrt{0,9}=0,3$? Fals: $0,3^2=0,09$. Corect: $\sqrt{0,09}=0,3$, iar $\sqrt{0,9}\approx 0,95$. Verifică mereu ridicând la pătrat.
• $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$? Fals: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, dar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
• Aproximezi, apoi înmulțești: $3\sqrt{2}\approx 3\cdot 1,41=4,23$, dar $3\sqrt{2}=\sqrt{18}\approx 4,24$. Eroarea se înmulțește și ea; introdu întâi factorul sub radical.
• Ordine greșită la numere negative: din $4<\sqrt{20}<5$ rezultă $-5<-\sqrt{20}<-4$, nu „$-4<-\sqrt{20}<-5$”.

Verifică-te

Exersează

• Fișă de lucru: mulțimea numerelor reale, clasa a 7-a (aproximări prin lipsă și prin adaos, încadrări între întregi consecutivi; cu răspunsuri).
• Verifică-ți estimările cu calculatorul de radicali; ca să lucrezi repede, învață pătratele perfecte.
• La Evaluarea Națională: Test 3 de antrenament EN 2022, Subiectul I, ex. 4 (cel mai mare dintre $\frac{33}{10}$, $\frac{5}{2}$, $\frac{3}{5}$, $\sqrt{3}$, rezolvat aici); Model EN 2025, Subiectul I, ex. 6 (este pozitiv numărul $11-5\sqrt{5}$?, rezolvat aici).
• Mai mulți itemi: radicali, modul și compararea numerelor reale la EN.

Întrebări frecvente

Cum estimezi radicalul unui număr fără calculator? Cauți pătratele perfecte vecine ($25<30<36$ dă $5<\sqrt{30}<6$), apoi ridici la pătrat numere cu o zecimală, cu două zecimale etc., până obții precizia dorită.

Ce înseamnă aproximare prin lipsă și prin adaos? Dacă $1,41<\sqrt{2}<1,42$, atunci 1,41 este aproximarea prin lipsă (mai mică decât numărul), iar 1,42 aproximarea prin adaos (mai mare), ambele cu eroare mai mică de o sutime.

Cât este $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ aproximativ? $\sqrt{2}\approx 1,41$ și $\sqrt{3}\approx 1,73$ (rotunjite la sutimi). Valorile exacte au o infinitate de zecimale, pentru că numerele sunt iraționale.